1、考研数学一（高等数学）模拟试卷 202 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f+(a)与 f (a)都存在，则 ( )（A）f(x)在 x=a 处不连续（B） f(x)在 x=a 处连续（C） f(x)在 x=a 处可导（D）f(x)在 x=a 处连续可导2 设 f(x)在 R 上是以 T 为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )（A） axf(t)dt（B） x af(t)dtfdt（C） x 0f(t)dt x0f(t)dt（D） x xtf(t)dt3 设 un=(1) nln(1+ )，
2、则( ) 二、填空题4 5 设函数 y=y(x)由 确定，则 y=y(x)在 x=ln2 处的法线方程为_6 7 设直线 l 过点 M(1，2，0)且与两条直线 l1：垂直，则 l 的参数方程为 _8 函数 u=x2 2yz 在点(1 ，2，2)处的方向导数最大值为_9 设 f(u)连续，则 d2dx 20xduu1vf(u2v 2)dv=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 f(x)可导且 f“(0)=6，且11 12 13 设函数 f(x)在 x=1 的某邻域内有定义，且满足|f(x)2e x|(x1) 2，研究函数 f(x)在 x=1 处的可导性14 求由方程 x
3、2+y3xy=0 确定的函数在 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值15 设 f(x)在 1，1上可导， f(x)在 x=0 处二阶可导，且 f(0)=0，f“(0)=4 求16 设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= ，又 F(0)=1，F(x) 0，求 f(x)17 设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： |f(x)|12 ab|f(x)|dx(axb)18 设 f(x)C0，1，f(x)0证明积分不等式：ln 01f(x)dx01lnf(x)dx18 设直线 y=ax 与抛物线 y=x2 所围成的图形面积为 S1，它们与直线 x
4、=1 所围成的图形面积为 S2，且 a119 确定 a，使 S1+S2 达到最小，并求出最小值；20 求该最小值所对应的平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积21 计算 ，2(x 2+y2)dxdy22 证明：用二重积分证明 0+23 设 S：x 2+y2+z2=a2，计算 (x2+4y2+9z2)dS24 设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且|f(x)|q1，令 un=f(un1 )(n=1，2，)，u0a，b，证明：级数 (un+1u n)绝对收敛25 设级数 (ana n1 )收敛，且 bn 绝对收敛证明： anbn 绝对收敛25 设 f(x)是连续函数26 求初值问题
5、的解，其中 a0；27 若|f(x)|k，证明：当 x0 时，有|y(x)|k a(e ax1)28 设 f(x)为偶函数，且满足 f(x)+2f(x)3 0xf(tx)dt=3x+2 ，求 f(x)29 飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为 v0(ms) ，飞机与地面的摩擦系数为 ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为 kx(kgs 2m 2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg s2m 2)设飞机的质量为 m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间考研数学一（高等数学）模拟试卷 202 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
6、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f+(a)存在，所以 f(x)=f(a)，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f (a)存在可得 f(x)在 x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，选(B) 【知识模块】 高等数学2 【正确答案】 D【试题解析】 设 (x)= xxtf(t)dt=20xtf(t)dt， (x+T)=2 0x+Ttf(t)dt+20xtf(t)dt(x)，选(D)【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 B【试题解析】 显然 因为 n时，ln2(1+ )1n 2，而 1n 2 收敛，所以 un2 收敛，选 (B)【知识模块】 高等数学
7、二、填空题4 【正确答案】 2【试题解析】 当 x0 时，有 1cos axa2x 2，则 1 14(2x)2=x2， 1cos 12，【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 y=1(xln2)【试题解析】 当 x=ln2 时， t=1；当 t=1 时，y=0 (1)当 t=1 时，由 dxdt=得 dx dt|t=1 =1，则dydt| t=1 = ，dydx| x=ln2=，则法线方程为 y=1(xln2)；(2)当 t=1 时，由 dxdt=2t(1+t 2)得 dxdt| t=1=1则dydt| t=1=，dydx| x=ln2=，法线方程为 y=1(xln2)，即法线方程为y= 1
8、(x ln2)【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 【试题解析】 直线 l1 的方向向量为 s1=2，0，11 ，1，3=1，5，2，直线 l2 的方向向量为 s2=1，4，0 ，则直线 l 的方向向量为 s=s1s2=8，2，1，直线 l 的方程为【知识模块】 高等数学8 【正确答案】 6【试题解析】 函数 u=x22yz 在点(1，2，2)处的方向导数的最大值即为函数u=x22yz 在点(1，2，2)处的梯度的模，而 gradu|(1，2，2) =2x，2z，2y|(1，2，2) =2，4，4 ，方向导数的最大值为 =6【知识模块】
9、高等数学9 【正确答案】 xf(x 21)【试题解析】 u1vf(u2v 2)dv=12 u1f(u2v 2)d(u2v 2) f(t)dt，则ddx 0xduu1vf(u2v 2)dv=12ddx 0xdu f(t)dt，d 2dx 20xduu1vf(u2v 2)dr=xf(x 21)【知识模块】 高等数学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 由 f(x)x=0 得 f(0)=0，f(0)=0，【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 由夹逼定理得【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 当|x|1 时，y= 2sin2x；当 x1 时，y=1 ；当 x1
10、时，y=1； 得 y 在 x=1 处不连续，故 y(1)不存在；因为 y (1)y+(1)，所以 y 在 x=1 处不可导，【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 把 x=1 代入不等式中，得 f(1)=2e当 x1 时，不等式两边同除以|x1|，得【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 根据隐函数求导数法，得 y= 令 y= =0，得 y=2x，再将 y=2x 代入原方程得 x=18，函数值为 y=1 4将 x=18，y=14，y=0 代入 y“得y“|x=18 =320，所以 x=18 为函数的极大值点，且极大值为 y=14【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 对 x0，有ln(1
11、+x)x 所以原式=2【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 两边积分得 F2(x)= dx，解得 F2(x)= +C，由 F(0)=1，F(x)0，得 【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 因为 且 f(a)=f(b)=0，所以两式相加得|f(x)|12 ab|f(x)|dx【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 令 g(t)=lnt(t0)，g“(t)=1t 20，再令 x0=01f(x)dx，则有 g(t)g(x0)+g(x0)(tx 0) gf(x)g(x0)+g(x0)f(x)x 0，两边积分，得 01lnf(x)dxln01ff(x)dx【知识模块】 高等数学【知识模块】
12、高等数学19 【正确答案】 直线 y=ax 与抛物线 y=x2 的交点为(0，0)，(a，a 2)当 0a 1 时，S=S1+S2=0a(axx 2)dx+a1(x2ax)dx当 a0 时，S= a0(axx 2)dx+01(x2ax)dx 因为 S=12(a 2+1)0，所以 S(a)单调减少，故 a=0 时 S1+S2 取最小值，而 S(0)=13，因为S1+S2 最小【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 旋转体的体积为【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 【知识模块】 高等数学22 【正确答案】 令 D1=(x，y)|x 2+y2R2，x0，y0，S=(x，y)|0xR，0yR，
13、D2=(x，y)|x 2+y22R2，x0，y0【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 由对称性得【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 由|u n+1u n|=|f(un)f(u n1 )|=|f(1)|unu n1 |q|unu n1 |q2|un1 u n2 |q n|u1u 0|且 |un+1u n|收敛，于是 (un+1u n)绝对收敛【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 令 Sn=(a1a 0)+(a2a 1)+(an an1 )，则 Sn=ana 0因为级数(ana n1 )收敛，所以 an 存在，于是存在 M0，对一切的自然数 n 有|a n|M因为|bn|收敛，又 0
14、|anbn|M|bn|，再由 M|bn|收敛，根据正项级数的比较审敛法得 |anbn|收敛，即级数 anbn 绝对收敛【知识模块】 高等数学【知识模块】 高等数学26 【正确答案】 y+ay=f(x)的通解为 y=0xf(t)eatdt+Ceax ， 由 y(0)=0 得 C=0，所以 y=eax 0xf(t)eatdt【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 当 x0 时， |y|=e ax |0xf(t)eatdt|eax 0x|f(t)|eatdtkeax 0xeatdt=kae ax (eax1) ， 因为 eax 1，所以 |y|ka(e ax 1)【知识模块】 高等数学28 【正确
15、答案】 0xf(tx)dt= 0xf(tx)d(x t) x0f(u)du= 0xf(u)du，则有f(x)+2f(x)3 0xf(u)du=3x+2 ，因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)是奇函数，于是 f(0)=0，代入上式得 f(0)=1将 f(x)+2f(x)3 0xf(u)du=3x+2 两边对 x 求导数得 f“(x)+2f(x)3f(x)= 3，其通解为 f(x)=C1ex+C2e3x +1，将初始条件代入得 f(x)=1【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 水平方向的空气阻力 Rx=kxv2，垂直方向的空气阻力 Ry=kyv2，摩擦力为 W=(mgR y)，由牛顿第二定律，有 记A=(kxk y)m，B=g，显然 A0，故有【知识模块】 高等数学
