1、考研数学一-235 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.x=0 是函数 （分数：4.00）A.B.C.D.2.设 f(x)是连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C.D.3.级数 （分数：4.00）A.B.C.D.4.记 （分数：4.00）A.B.C.D.5.设 A=( 1， 2， 3， 4)是四阶实对称矩阵，A *是 A 的伴随矩阵如果(1，1，0，0) T，(1，0，1，0)T和(0，0，1，1) T是方程组 A*z=0 的一个基础解系，则二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)=xTAx
2、(x=(x1，x 2，x 3，x 4)T)的标准形应形如（分数：4.00）A.B.C.D.6.设矩阵方程 AX=B(其中，A 是 mn 矩阵，B 是 ml 矩阵，X 是 nl 未知矩阵)，则该方程有无穷多解的充分必要条件是 （分数：4.00）A.B.C.D.7.设 X，Y 是随机变量，其中 XN(1，1)，概率密度为 f1(x)；Y 的概率密度为 记 则当 f(x)是概率密度时，a，b 应满足（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 X1，X 2，X n是来自总体 XN(， 2)的简单随机样本，其中，参数 ， 2末知记 ，则假设 H0:=0 的 t 检验使用的统计量为（分数：4.00）A.B.
3、C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 f(x)=cos2x 的二阶麦克劳林公式(带拉格朗日型余项)为_（分数：4.00）填空项 1:_10.对 a0，定积分 （分数：4.00）填空项 1:_11.微分方程(x 2-1) dy+(2xy-cosx)dx=0 满足 y(0)=1 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_12.设 f(x，y)是连续函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A 是三阶矩阵，满足 A3=E(三阶单位矩阵)，记 B=A2-A-2E，则 B-1关于 E，A，A 2表示式为_（分数：4.00）填空项 1:_14.设 X1，X 2，X 5是来自
4、总体 XN(0， 2)的一个简单随机样本，且统计量 （分数：4.00）填空项 1:_三、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.计算极限 其中 （分数：10.00）_16.设 f(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为 x2+y2=2，证明函数 f(x)在(1，2)内无极值点但有唯一零点（分数：10.00）_17.设 求幂级数 的和函数 s(x)，并求定积分 （分数：10.00）_18.方程 xe2x-2x-cosx=0 在(0，1)内的实根个数（分数：10.00）_19.记曲面积分 （分数：10.00）_20.设 1， 2，a 3， 4为四维列向量组，其中， 1
5、， 2， 3线性无关， 4= 1+ 2+2 3.已知方程组( 1- 2， 2+ 3，- 1+a 2+ 3)x= 4有无穷多解()求常数 a 的值；()对求得的 a 值，计算方程组的通解（分数：11.00）_21.已知矩阵 （分数：11.00）_22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_23.设 X1，X 2，X n是总体 XN(0，1)的简单随机样本， ，S 2分别是样本均值与方差，求()() （分数：11.00）_考研数学一-235 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题 lilist-style-typ(总题数：8，分数：32.00)1.x=
6、0 是函数 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：由于* * 所以，x=1 是 f(x)的可去间断点因此选 A 附注：应记住：*2.设 f(x)是连续函数，则 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：当 f(x)是偶函数时，由定积分性质知*成立反之，当*时，等式两边对 x 求导得 f(x)+f(-x)=2f(x)，即 f(x)=f(-x)(-x+)所以 f(x)是偶函数因此选 C. 附注：应记住本题的结论： 设f(x)是连续函数，则*是 f(x)为偶函数的充分必要条件，3.级数 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：记*则 an0(n=1，2，)，且a n单调减少，收敛于零，所以所给
7、级数收敛但是由于-10 时，由*及*发散，知*发散，从而所给级数在 -1 时不是绝对收敛综上所述，所给级数条件收敛因此选 B.附注：本题的题解，实际上表明所给级数在 -1 时是收敛的，但不是对任意 (-1，+)都是绝对收敛的，因此对所有的 -1，所给级数收敛性的结论是条件收敛4.记 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于* 3= 2(这是由于 D2与 D3关于直线 y=x 对称，在对称点(x，y)与(y，x)处，*的值彼此相等，所以 2= 3)，因此选 B附注：题解中，用极坐标计算得出 1， 2的值，但 2= 3是利用对称性得到的在二重积分计算中，应充分利用积分区域的对称性，以化简计算
8、5.设 A=( 1， 2， 3， 4)是四阶实对称矩阵，A *是 A 的伴随矩阵如果(1，1，0，0) T，(1，0，1，0)T和(0，0，1，1) T是方程组 A*z=0 的一个基础解系，则二次型 f(x1，x 2，x 3，x 4)=xTAx(x=(x1，x 2，x 3，x 4)T)的标准形应形如（分数：4.00）A. B.C.D.解析：由题设知 r(A*)=4-3=1，从而 r(A)=4-1=3所以 A 的特征值中有且仅有三个不为零由此推得f(x1，x 2，x 3，x 4)的标准形应形如*(a 1，a 2，a 3全不为零)因此选 A.附注：题解中利用了以下两个结论：()设 A 是 n 阶矩
9、阵，A *是它的伴随矩阵，则*()设 A 是实对称矩阵，则 A 可相似对角化6.设矩阵方程 AX=B(其中，A 是 mn 矩阵，B 是 ml 矩阵，X 是 nl 未知矩阵)，则该方程有无穷多解的充分必要条件是 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于方程组 Ax=b(A 是 mn 矩阵，x 是 n 维未知列向量，b 是 m 维列向量)有无穷多解的充分必要条件是*记 B=(b1，b 2，b 1)(b1，b 2，b 1都是 m 维列向量)，X=(x 1，x 2，x n)(x1，x 2，x n都是 n 维列向量)，则 AX=B 有无穷多解的充分必要条件是*(其中至少有一式只取不等号)，即*由此
10、得到，矩阵方程 AX=B 有无穷多解的充分必要条件是*因此选 B附注：应记住关于矩阵方程 AX=B(A 是 mn 矩阵，B 是 ml，X 是 nl 未知矩阵)的有解性结论：该方程有无穷多解的充分必要条件是*有唯一解的充分必要条件是*；无解的充分必要条件是*7.设 X，Y 是随机变量，其中 XN(1，1)，概率密度为 f1(x)；Y 的概率密度为 记 则当 f(x)是概率密度时，a，b 应满足（分数：4.00）A.B. C.D.解析：由于 f(x)是概率密度，所以*，即* (1)由 f1(x)是 XN(1，1)的概率密度知，*由 f2(x)是 y 的概率密度知*将它代入式(1)得*因此选 B附注
11、：题解中利用了以下结论：()设 XN(a， 2)，则它的概率密度 f(x)满足*()设 X 的概率密度为*则*8.设 X1，X 2，X n是来自总体 XN(， 2)的简单随机样本，其中，参数 ， 2末知记 ，则假设 H0:=0 的 t 检验使用的统计量为（分数：4.00）A.B.C. D.解析：当 =0 时，*所以*因此本题选 C.附注：应记住数理统计中服从三个抽样分布的随机变量的构成：()设 X1，X 2，X n都服从 N(0，1)的相互独立的随机变量，则*()设 xN(0，1)，YX 2(n)，且 X 与 Y 相互独立，则*()设 XX 2(n1)，YX 2(n2)，且 X 与 Y 相互独
12、立，则*二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.函数 f(x)=cos2x 的二阶麦克劳林公式(带拉格朗日型余项)为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：* * *( 是介于 0 与 x 之间的实数)）解析：sinx 的 2n-1 阶带拉格朗日型余项的麦克劳林公式为 * 而不是 * 同样，cosx 的 2n 阶带拉格朗日型余项的麦克劳林公式为 * 而不是 * 以上的 都是介于 0 与 x 之间的实数10.对 a0，定积分 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：* *）解析：题解中*是根据定积分的几何意义直接得到的11.微分方程(x 2-1) dy+(2xy-cosx)d
13、x=0 满足 y(0)=1 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于所给微分方程可改写成(x2dy+2xydx)-dy-cosxdx=0，即 d(x2y-y-sinx)=0，所以，x 2y-y-sinx=C将 x=0，y=1 代入得 C=-1. 因此所求的特解为x2y-y-sinx=-1）解析：本题也可以用以下方法求解： 将所给微分方程改写成 *(一阶线性微分方程)， 它的通解为 * 将 y(0)=1 代入上式得 C=-1. 所以所求的特解为 *12.设 f(x，y)是连续函数，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*其中，*=第一象限内由直线 x+y=1 和圆
14、 x2+y2=1 围成的闭区域*所以*）解析：本题是分两步完成的： 首先，将所给的极坐标系中的二次积分转换成直角坐标系中的二重积分，此时被积函数为 f(x，y)，积分区域为 D 然后，将所得到的二重积分转换成先 y 后 x 的二次积分13.设 A 是三阶矩阵，满足 A3=E(三阶单位矩阵)，记 B=A2-A-2E，则 B-1关于 E，A，A 2表示式为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：B=A 2-A-2E=(A+E)(A-2E). (1)由 A3=E 得 A3+E=2E，即*，所以 A+E 可逆，且* (2)由 A3=E 得 A3-8E=-7E，即*，所以 A-2E 可逆，且*
15、(3)由式(1)(3)知 B 可逆，且*）解析：本题的 A+E 与 A-2E 的逆矩阵都按定义计算的：设 A，B 都是 n 阶矩阵，如果 AB=E(E 是 n 阶单位矩阵)，则 A，B 都是可逆矩阵，且 A-1=B，B -1=A.14.设 X1，X 2，X 5是来自总体 XN(0， 2)的一个简单随机样本，且统计量 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：由于*服从 t 分布(实际上是服从 t(3)分布)，显然，其中*所以必有 * 从而由*即*由此得到*）解析：服从 t(n)的随机变量定义如下：设随机变量 XN(0，1)，Y- 2(n)，且 X 与 Y 相互独立，则随机变量*t(n)三、
16、B解答题/B(总题数：9，分数：94.00)15.计算极限 其中 （分数：10.00）_正确答案：(由于 x0 时，g(x)0；x0 时，g(x)0，并且由 * 知*因此 * 由此得到*)解析：题解中先计算出*然后计算*，这样计算*比较快捷些16.设 f(x)不变号，且曲线 y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为 x2+y2=2，证明函数 f(x)在(1，2)内无极值点但有唯一零点（分数：10.00）_正确答案：(由于曲线 y=f(x)与曲率圆 x2+y2=2 在点(1，1)处有相同的切线，从而 f(1)=y(1)=-1(曲率圆 x2+y2=2 在点(1，1)处的切线斜率为-1) (1)此外，
17、曲线 y=f(x)与曲率圆 x2+y2=2 在点(1，1)处有相同的凹凸性，而 x2+y2=2 在点(1，1)处是凸的，从而 f(1)0由于 f(x)不变号，所以在(1，2)内 f(x)0，从而 f(x)单调减少，故 f(x)f(1)=-10(x(1，2)，因此 f(x)在(1，2)内无极值点，由 f(1)=1，f(2)=f(1)+f(2)-f(1)=1+f()(其中，(1，2)1+f(1)=0知 f(1)f(2)0，并且上面已证 f(x)0(x(0，1)，所以 f(x)在(1，2)内有唯一零点)解析：曲率圆定义如下：设函数 y=f(x)在点 x0处二阶可导，则当曲线 y=f(x)在点(x 0
18、，y 0)(其中，y 0=f(x0)处的曲率 K0 时，称以点 D 为圆心，*为半径的圆为该曲线在点(x 0，y 0)的曲率圆，其中 D 位于该曲线的在点(x 0，y 0)处的法线(在凹的一侧)上，与点(x 0，y 0)的距离为 R.曲率圆与曲线 y=f(x)在点(x 0，y 0)处有相同的切线及凹凸性17.设 求幂级数 的和函数 s(x)，并求定积分 （分数：10.00）_正确答案：(由于* * 所以*即*的收敛半径为 1， 由于 x=-1，1 时，*分别成为 * 它们都是发散，因此*的收敛域为(-1，1)对任意 x(-1，1)，有 * 因此* *)解析：当计算幂级数的和函数 s(x)时，应
19、先算出该幂级数的收敛域，即确定 s(x)的定义域18.方程 xe2x-2x-cosx=0 在(0，1)内的实根个数（分数：10.00）_正确答案：(记 f(x)=xe2x-2x-cosx，则 f(x)在0，1上有连续的导数，在(0，1)内二阶可导，且由f(x)=e 2x+2xe2x-2+sinx，f(x)=4(1+x)e 2x+cosx0知 f(x)在(0，1)内单调增加，f(0)f(1)=(-1)(3e 2-2+sin1)0，所以存在唯一 x0(0，1)，使得 f(x 0)=0由此得到*因此，由 f(0)=-10，知 f(x)0(x(0，x 0)，即方程 f(x)=0 在(0，x 0上无实根
20、此外，由 f(x0)f(1)0 及 f(x)0(x(x 0，1)知方程 f(x)=0 在(x 0，1)上有唯一实根综上所述，所给方程 xe2x-2x-cosx=0 在(0，1)内有唯一实根)解析：由题解中分析可知，曲线 y=f(x)如图所示，由图可知方程 f(x)=0 在(0，1)内有且仅有一个实根 *19.记曲面积分 （分数：10.00）_正确答案：(记 S 切下 yOz 平面、xOz 平面及平面 z=1 的部分为 S1(前侧)，S 2(右侧)及 S3(下侧)，则*其中，*( 是由 S+S1+S2+S3的反向曲面围成的立体)*(其中，D z=(x，y)|x 2+y2z，x0，y0)*所以，*
21、由于 yf(x)+3e2xdx +f(x)dy 是某个二元函数的全微分，所以*即 f(x)-f(x)=3e 2x，它有通解 f(x)=C1ex+C2e-x+e2x，且f(x)=C 1ex-C2e-x+2e2x.将*代入以上两式得*所以，*)解析：题解中有两点值得注意：()利用高斯公式计算所给的曲面积分，故需添上 S1，S 2，S 3，但由此构成的闭曲面方向为内侧，故有*()f(x)-f(x)=3e 2x的通解为 f(x)=C1ex+C2e-x+e2x是这样算得的：首先，对应的齐次线性微分方程 f(x)-f(x)=0 的通解为y=C1ex+C2e-x其次，f(x)-f(x)=3e 2x有特解 y
22、*=Ae2x，将它代入这个非齐次线性微分方程得 A=1，即 y*=e2x，所以通解 f(x)=y+y*=Cex+C2e-x+e2x20.设 1， 2，a 3， 4为四维列向量组，其中， 1， 2， 3线性无关， 4= 1+ 2+2 3.已知方程组( 1- 2， 2+ 3，- 1+a 2+ 3)x= 4有无穷多解()求常数 a 的值；()对求得的 a 值，计算方程组的通解（分数：11.00）_正确答案：()由于所给方程组( 1- 2， 2+ 3，- 1+a 2+ 3)= 4，即为*于是由 1， 2， 3线性无关，即( 1， 2， 3)是可逆矩阵，得所给方程组的同解方程组* (1)对式(1)的增广
23、矩阵*施行初等行变换得*所以，当所给方程组有无穷多解时，r(A)=r(A)3(其中，A 是式(1)的系数矩阵)，于是a-2=0，即 a=2.()当 a=2 时，式(1)，即所给方程组与*(2)同解，它对应的导出组通解为 C(1，-1，1) T，且式(2)有特解(1，2，0) T所以式(2)，即所给方程组的通解为x=C(1，-1，1) T+(1，2，0) T(C 是任意常数)解析：获解的关键是根据 1， 2， 3线性无关，将所给的线性方程组化简为等价方程组(1)21.已知矩阵 （分数：11.00）_正确答案：()记 E 为三阶单位矩阵，则由*(-6) 2知 A 有特征值 =-2，6(二重)于是
24、A 可相似对角化，必有r(6E-A)=3-2=1， (1)其中，*因此，满足式(1)的 a=0，即当 A 可相似对角化时，a=0.()a=0 时，*所以*记*(实对称矩阵)，则*(其中 E 是三阶单位矩阵)所以 B 有特征值 =-3，6，7设对应 =-3 的特征向量为 =(a 1，a 2，a 3)T，则 满足*即*于是取 为它的基础解系，即 =(-1，1，0) T设对应 A =6 的特征向量为 =(b 1，b 2，b 3)T，则卢满足*即*于是取 为它的基础解系，即 =(0，0，1) T设对应 =7 的特征向量为 =(c 1，c 2，c 3)T，则 与 ， 都正交，即*于是取 为它的基础解系，
25、即 =(1，1，0) T， 是正交向量组，现将它们单位化，即*记 Q=( 1， 2， 3)(正交矩阵)，则所求的正交变换为*它将二次型 f(x1，x 2，x 3)化为标准形*)解析：用正交变换将二次型 f(x1，x 2，x 3)化为标准形，首先要将该二次型表示成 xTBx(其中，B 是实对称矩阵)，这是本题获解的关键，此外，应熟练掌握用正交变换化二次型为标准形的方法22.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：11.00）_正确答案：()记 U 的分布函数为 F(u)，则 * (u0 时，有*，如图的带阴影的三角形) * * 所以，U 的概率密度 * ()因为* * *(其中，TE(1)
26、，即 T 的概率密度为*) * 所以* *)解析：当 X 与 Y 相互独立，且概率密度分别为 f1(x)，f 2(y)时，U=maxX，Y的概率密度为(u)=f 1(u)F2(u)+f2(u)F1(u)，其中 F1(x)，F 2(y)分别是 X 与 Y 的分布函数当 X 与 Y 不相互独立，但(X，Y)的概率密度为 f(x，y)时，U=maxX，Y的概率密度应按题中的方法计算，不能直接套用上述公式23.设 X1，X 2，X n是总体 XN(0，1)的简单随机样本， ，S 2分别是样本均值与方差，求()() （分数：11.00）_正确答案：()由于*与 S2相互独立，所以*与 S4也相互独立，因此，* (1)其中，由*知，EX=0，*所以，*由(n-1)S 2- 2(n-1)知 E(S2)=1，*所以*将它们代入式(1)得*()由*知*所以*从而，*)解析：应记住以下结论：设 X1，X 2，X n是来自总体 XN(， 2)的简单随机样本，记*则*并且*
