1、考研数学一-424 及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D.不能判断连续性的点2.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3.下列级数收敛的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.4.直线 的夹角为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.5
2、.设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是_（分数：4.00）A.若 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 只有唯一解。B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解C.若 R(A)=n，则 Ax=b 有唯一解D.若 R(A)=m，则 Ax=b 一定有解6.设 A 是 mn 矩阵，R(A)=n，则下列结论不正确的是_（分数：4.00）A.若 AB=0，则 B=0B.对任意矩阵 B，总有 R(AB)=R(B)C.存在 B，使 BA=ED.对任意矩阵 B，总有 R(BA)=R(B)7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(1， )，YN(1， （分数：4.00）A.随 1，2 的增加而增加B.
3、随 1，2 的增加而减少C.与 1，2 的取值无关D.随 1 的增加而增加，随 2 的增加而减少8.学生考试成绩服从正态分布 N(，3 2 )，任取 36 个学生的成绩，测得样本平均值 ，则 的置信度为 0.95 的置信区间为_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时，(1+2x) x -cos xax 2 ，则 a= 1 （分数：4.00）10. （分数：4.00）11.微分方程 y“-3y“+2y=2e x 满足 （分数：4.00）12. （分数：4.00）13.设 （分数：4.00）14.设 X，Y 独立同分布，其共
4、同分布为 N(， 2 )，U=aX+bY，V=aX-bY，其中 a，b 为非零常数，则相关系数 UV = 1 （分数：4.00）三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 处取得极小值，并且 （分数：10.00）_16.求椭球面 （分数：10.00）_17.设为 x 2 +y 2 +z 2 =1(20)的外侧，连续函数 f(x，y)，)满足 f(x，y)=2(x-y) 2 + （分数：10.00）_18.设 f(x)在a，b上二次可微，且 f(a)f(b)0，f“(x)0，f“(x)0， xa，b证明数列 （分数：10.00）_19.将函数 展开成傅立叶级数，利用展开式，求 （分数：1
5、0.00）_20.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 Ax=0 的解， （分数：11.00）_21.已知 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 4 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是 k(1，-2，4，0) T +(1，2，2，1) T 又 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )，求方程组 Bx= 1 - 2 的通解 （分数：11.00）_设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数为 2 的指数分布，且 X，Y 相互独立，随机变量Z=X+2Y（分数：11.00）(1).求 Z 的概率密度；（分数：5.50）_(2).求 E(
6、Z)，D(Z)（分数：5.50）_22.接连不断且独立地对同一目标射击，直到命中为止，假设共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击的次数相应为 k 1 ，k 2 ，k n ，试求命中率 p 的最大似然估计和矩估计 （分数：11.00）_考研数学一-424 答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 （分数：4.00）A.连续点B.第一类间断点 C.第二类间断点D.不能判断连续性的点解析：解析 (如下图) 2.设 f“(x)在 x=0 处连续，且 （分数：4.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，
7、f(0)是曲线 y=f(x)的拐点 D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析 由 得 f“(0)=0，由极限保号定理可知存在 0，当|x| 时， 当 x(-，0)时，ln(1+x)0，f“(x)0； 当 x(0，)时，ln(1+x)0，f“(x)0 于是(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点，选 C 还可用特例法 于是取 f“(x)=x， 3.下列级数收敛的是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 收敛，又 发散，所以 发散，排除 A 又 ，所以 发散 又 (前面有限项除外)，且 ，所以由莱布尼兹审敛法， 收敛，选
8、C 4.直线 的夹角为_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 l 1 的方向向量为 s 1 =1，-2，1，l 2 的方向向量为 s 2 =1，-1，00，2，1=-1，-1，2，设 l 1 与 l 2 的夹角为 ，则 则 5.设 A 为 mn 矩阵，以下命题正确的是_（分数：4.00）A.若 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 只有唯一解。B.若 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解C.若 R(A)=n，则 Ax=b 有唯一解D.若 R(A)=m，则 Ax=b 一定有解 解析：解析 Ax=b 有解 R(A)=R(A b)，在 A，B，C 中均得不出 R(A)
9、=R(A b)故排除A，B，CD 中 R(A)一晰即 A 为行满秩矩阵，当然有 R(A)=R(A6.设 A 是 mn 矩阵，R(A)=n，则下列结论不正确的是_（分数：4.00）A.若 AB=0，则 B=0B.对任意矩阵 B，总有 R(AB)=R(B)C.存在 B，使 BA=ED.对任意矩阵 B，总有 R(BA)=R(B) 解析：解析 A 为 mn 矩阵，R(A)=n，A 为列满秩矩阵 AB=0，R(A)+R(B)n而 R(A)=n， R(B)=0，B=0排除 A 又 R(A)=n，A 为列满秩矩阵，于是存在 m 阶可逆矩阵 P，n 阶可逆矩阵 Q，使 排除 B 又 A 为 mn 矩阵，R(A
10、)=n，A 为列满秩矩阵，于是存在 m 阶可逆矩阵 P，n 阶可逆矩阵 Q，使得 取 B=Q(E n 0)P，于是有 排除 C 对于 D，若取 7.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(1， )，YN(1， （分数：4.00）A.随 1，2 的增加而增加B.随 1，2 的增加而减少 C.与 1，2 的取值无关D.随 1 的增加而增加，随 2 的增加而减少解析：解析 因 X，Y 相互独立，则 X，Y 的线性组合亦服从正态分布，Z=X-Y， 则 8.学生考试成绩服从正态分布 N(，3 2 )，任取 36 个学生的成绩，测得样本平均值 ，则 的置信度为 0.95 的置信区间为_ A B C D （
11、分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 取 由 所以 的置信度为 0.95 的置信区间为 二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.若当 x0 时，(1+2x) x -cos xax 2 ，则 a= 1 （分数：4.00）解析： 解析 10. （分数：4.00）解析： 解析 令 收敛域为-1，1， 11.微分方程 y“-3y“+2y=2e x 满足 （分数：4.00）解析：y=-3e x +3e 2x -2xe x 解析 先解 y“-3y“+2y=0，其特征方程为 r 2 -3r+2=0，r 1 -1，r 2 =2， y“-3y“+2y=0 的通解为：Y=C 1 e x +C 2 e
12、 2x (齐通) 由原方程 y“-3y“+2y=2e kx ，其中 k=1 是特征方程 r 2 -3r+2=0 的一重根，所以，令 y * =Axe x ，代入原方程得 A=-2 原方程的通解 y=C 1 e x +C 2 e 2x -2xe x 又由 12. （分数：4.00）解析：0 解析 正方形边界：|x|+|y|=1 AB：y=-x+1，BC：y=x+1，CD：y=-x-1，DA：y=x-1 13.设 （分数：4.00）解析：(-4，-2，2) 解析 14.设 X，Y 独立同分布，其共同分布为 N(， 2 )，U=aX+bY，V=aX-bY，其中 a，b 为非零常数，则相关系数 UV
13、= 1 （分数：4.00）解析： 解析 EU=E(aX+bY)=(a+b)， EV=E(aX-bY)=(a-b)， DU=D(aX+bY)=(a 2 +b 2 ) 2 ， DV=D(aX-bY)=(a 2 +b 2 ) 2 ， E(UV)=E(aX+bY)(aX-bY) =E(a 2 X 2 -b 2 Y 2 ) =a 2 EX 2 -b 2 EY 2 =a 2 DX+(EX) 2 -b 2 DY+(EY) 2 =(a 2 -b 2 )( 2 + 2 )， Cov(U，V)=E(UV)-EUEV =(a 2 -b 2 )( 2 + 2 )-(a 2 -b 2 ) 2 =(a 2 -b 2 )
14、2 ， 三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 处取得极小值，并且 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 因 f(x)为偶函数，所以f(x) 2 也是偶函数，从而 于是有 16.求椭球面 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设 P(x 0 ，y 0 ，z 0 )为椭圆面上的一点，令 过点 P(x 0 ，y 0 ，z 0 )的切平面方程为 即 该切平面在 x，y，z 轴上的截距分别为 则切平面与三坐标面所围四面体体积为 因此，问题归结为求 V 在条件 下的最小值 取目标函数为 f=1n(x 0 y 0 z 0 )， 解得 因此，切平面为 四面体体积的最小值为 17.
15、设为 x 2 +y 2 +z 2 =1(20)的外侧，连续函数 f(x，y)，)满足 f(x，y)=2(x-y) 2 + （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 设 则 f(x，y)=2(x-y) 2 +a，设 D 为 xOy 平面上的圆 x 2 +y 2 1， 下 为 D 的下侧 于是， 18.设 f(x)在a，b上二次可微，且 f(a)f(b)0，f“(x)0，f“(x)0， xa，b证明数列 （分数：10.00）_正确答案：()解析：证 由已知条件 f(x)=0 在(a，b)内有唯一实根，记为 c，f(c)=0，且 acb )若 x 1 c，下证x n 且以 c 为下界，事实上，
16、用数学归纳法可证x n ，且 x n c )若 x 1 =c，则 ，从而 x n =c 证毕 )若 x 1 c， 这时由)得x n (n2)，且以 c 为下界 综上所述， 存在设 19.将函数 展开成傅立叶级数，利用展开式，求 （分数：10.00）_正确答案：()解析：解 又 f(x)在(-，)内只有一个第一类间断点， 故傅里叶级数收敛，且有 若令 ，则有 即有 20.设 A 为三阶实对称矩阵， 为方程组 Ax=0 的解， （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 显然 为 A 的特征向量，其对应的特征值分别为 1 =0， 2 =2，又因为 A 为实对称矩阵，所以 1 与 2 正交， 即有
17、 得 k=1， 于是 又|E+A|=|A-(-E)|=0，所以 3 =-1 是 A 的另一特征值，其对应的特征向量 将 1 ， 2 ， 3 单位化，得正交矩阵 P 且有 亦可取 由 得 21.已知 A=( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )是 4 阶矩阵， 1 ， 2 ， 3 ， 4 是 4 维列向量，若方程组 Ax= 的通解是 k(1，-2，4，0) T +(1，2，2，1) T 又 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )，求方程组 Bx= 1 - 2 的通解 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 由 Ax= 的解的结构得 n-R(A)=1，即 4-R(A)=1，R(A)=3 又 ，即
18、有 1 -2 2 +4 3 =0， ，即有 1 +2 2 +2 3 + 4 = 于是 1 ， 2 ， 3 线性相关，R( 1 ， 2 ， 3 )=2 反证若 R( 1 ， 2 ， 3 )1，则 R( 1 ， 2 ， 3 ， 4 )2，与 R(A)=3 矛盾 又 B=( 3 ， 2 ， 1 ，- 4 )=( 3 ， 2 ， 1 ， 1 +2 2 +2 3 )， R(B)=R(B 1 - 2 )=2， Bx= 1 - 2 有解 n-R(B)=4-2-2，故 Bx=0 有两个线性无关的解向量： 又 Bx= 1 - 2 的通解为 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，Y 服从参数为 2 的指数分
19、布，且 X，Y 相互独立，随机变量Z=X+2Y（分数：11.00）(1).求 Z 的概率密度；（分数：5.50）_正确答案：()解析：解 由于 X，Y 相互独立，则 用密度函数法 图 1图 2图 3(2).求 E(Z)，D(Z)（分数：5.50）_正确答案：()解析： 又 X，Y 相互独立， EZ=E(X+2Y)=EX+2EY=1+1=2。 22.接连不断且独立地对同一目标射击，直到命中为止，假设共进行 n(n1)轮这样的射击，各轮射击的次数相应为 k 1 ，k 2 ，k n ，试求命中率 p 的最大似然估计和矩估计 （分数：11.00）_正确答案：()解析：解 PX=k=P(1-p) k-1 () 则 是 p 的极大似然估计 ()求 p 的矩估计量
