1、考研数学一-一元函数积分学(一)及答案解析(总分：37.50，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：15.50)1.曲线 y=x2与直线 y=2x围成的平面图形绕 Y轴旋转一周所得旋转体的体积 V等于 *（分数：0.50）A.B.C.D.2.下列函数不可积的是 (A) f(x)=xa，x0，1，a0(B) *x0，2 (C) *x-1，1 (D) *x0，1（分数：0.50）A.B.C.D.3.下列结论正确的是 (A) 若函数 f(x)在a，b上可积，则 f(x)在a，b上必有界；反之，若函数 f(x)在a，b上有界，则f(x)在a，b上必可积 (B) 若函数 f(x)在a，b
2、上可积，则 f(x)在a，b内必定有原函数；反之，若函数 f(x)在a，b内有原函数，则 f(x)在a，b上必定可积 (C) 若函数 f(x)在任何有限区问上可积，则对任一点 c，有 * (D) 若函数 f(x)在a，b上可积，则必存在 a，b，使得*（分数：0.50）A.B.C.D.4.设 F(x)是函数 f(x)=maxx，x 2的一个原函数则 (A) F(x)可能在 x=0，x=1 两点处间断 (B) F(x)只可能在 x=1处间断 (C) F(x)的导函数可能在 x=1处间断 (D) F(x)的导函数处处连续（分数：0.50）A.B.C.D.5.设有一椭圆形的薄板，长半轴为 a，短半轴
3、为 b，薄板垂直立于液体巾，而其短半轴与液面相齐，液体的比重为 ，则液体对薄板的侧压力为 *（分数：0.50）A.B.C.D.6.下列反常积分发散的是 *（分数：0.50）A.B.C.D.7.下列关于反常积分的命题 设 f(x)是(-，+)上的连续奇函数，则* 设 f(x)在(-，+)上连续，且存在，则必收敛，且* 若*都发散，则不能确定*是否收敛 若*都发散，则不能确定*是否收敛 中是真命题的个数有 (A) 1个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个（分数：0.50）A.B.C.D.8.下列命题正确的是 (A) 设 f(x)为(-，+)上的偶函数且在0，+)内可导，则，f(x)在(
4、-，+)内可导 (B) 设 f(x)为(-，+)上的奇函数且在0，+)内可导，则 f(x)在(-，+)内可导 (C) 设* (D) 设 x0(a，b)，f(x)在a，b除 x0外连续，x 0是 f(x)的第一类间断点，则 f(x)在a，b上存在原函数（分数：0.50）A.B.C.D.9.设 F(x)是函数 f(x)在区间 I上的原函数，则 (A) F(x)必是初等函数且有界 (B) F(x)必是初等函数，但未必有界 (C) F(x)在 I上必连续且有界 (D) F(x)在 I上必连续，但未必有界（分数：0.50）A.B.C.D.10.设 f(x)在(-，+)内连续，则下列叙述正确的是 (A)
5、若 f(x)为偶函数，则* (B) 若 f(x)为奇函数，则* (C) 若 f(x)为非奇非偶函数，则* (D) 若 f(x)为以 T为周期的周期函数，且是奇函数，则*是以 T为周期的周期隔数（分数：0.50）A.B.C.D.11.设* (A) 为反常积分，且发散 (B) 为反常积分，且收敛 (C) 不是反常积分，且其值为 10 (D) 不是反常积分，且其值为*（分数：0.50）A.B.C.D.12.下列结论不正确的是 (A) 若函数 f(x)在a，b上可积，则定积分*表示一个常数值，且该值与区间a，b、函数 f(x)及积分变量的记号均有关 (B) 若函数 f(x)在a，b上可积，将a，bn
6、等分，在每个小区间x i上任取一点 i，则*必定存在，且* (C) 设有常数 I，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使得对于区间a，b的任何分法，不论 i在x i-1，x i中怎样选取，只要 ，总有 * (D) 若函数 f(x)在a，b上满足下列条件之一：()在a，b上连续；()在a，b上有界，且只有有限个间断点；()在a，b上单调，则 f(x)在a，b上可积（分数：0.50）A.B.C.D.13.设*，则根据定积分的几何意义可知下列结论正确的是 (A) I是由曲线 y=f(x)及直线 x=a、x=b 与 x轴所围图形的面积，所以 I0 (B) 若 I=0，则上述图形面积为零，从而图
7、形的“高”f(x)=0 (C) I是曲线 y=f(x)及直线 x=a、x=b 与 x轴之间各部分而积的代数和 (D) I是曲线 y=|f(x)|及直线 x=a、x=b 与 x轴所围图形的面积（分数：0.50）A.B.C.D.14.设函数 f(x)在a，b上有界，把a，b任意分成 n个小区间， i为每个小区间x i-1，x i上任取的一点，则*所表示的和式极限是*（分数：0.50）A.B.C.D.15.设 f(ex)=x，则函数 f(x)在区间1，2上的平均值等于 (A) ln2+1 (B) ln2-1 (C) 2ln2+1 (D) 2ln2-1（分数：0.50）A.B.C.D.16.下列等式或
8、结论正确的是 (A) f(x)dx=f(x)dx=f(x) (B) df(x)dx=f(x) (C) df(x)dx=f(x)dx (D) 若f(x)dx=g(x)dx，则f(x)dx=g(x)dx.（分数：0.50）A.B.C.D.17.下列命题 若函数 F(x)、(x)是同一个函数 f(x)在区间 I上的两个原函数，则其差 F(x)-(x)等于确定的常数 设 F(x)、(x)，f(x)在集合 D上有定义，且满足 F(x)=(x)=f(x)，则 F(x)-(x)C 若取积分常数 C=0，则可积函数 f(x)的原函数唯一 若 f(x)在区间 I上有原函数，则 f(x)的任意两个原函数之和必为
9、2f(x)的原函数 中正确的是 (A) 、 (B) 、 (C) 、 (D) 、（分数：0.50）A.B.C.D.18.设 F(x)是 f(x)在(a，b)上的一个原函数，则 f(x)+F(x)在(a，b)上 (A) 可导 (B) 连续 (C) 存在原函数 (D) 不是分段函数（分数：0.50）A.B.C.D.19.设 f(x)及 g(x)在a，b上连续，则下列命题 若在a，b上，f(x)0，则 f(x)0，* 若在a，b上，f(x)0，且*，则在a，b上 f(x)=0 若 f(x)在a，b的任意子区间，上有*，则 f(x)=0(*) 若在a，b上，f(x)g(x)，且*，则在a，b上 f(x)
10、g(x) 中正确的是 (A) 、 (B) 、 (C) 、 (D) 、（分数：0.50）A.B.C.D.20.下列各式成立的是 *（分数：0.50）A.B.C.D.21.下列命题 设f(x)dx=F(x)+C，则对任意函数 g(x)，有fg(x)dx=Fg(x)+C 设函数 f(x)在某区间上连续、可导，且 f(x)0又 f-1(x)是其反函数，且f(x)dx=F(x)+C，则 f -1(x)dx=xf-1(x)-Ff-1(x)+C 设f(x)dx=F(x)+C，x(-，+)，常数 a0，则f(ax)dx=F(ax)+C 设f(x)dx=F(x)+C，x(-，+)，则* 中正确的是 (A) 、
11、(B) 、 (C) 、 (D) 、（分数：0.50）A.B.C.D.22.设*则下列结论 在-1，1上 f1(x)存在原函数 存在定积分* 存在 f2(0) 在-1，1上 f2(x)存在原函数 中正确的是 (A) 、 (B) 、 (C) 、 (D) 、。（分数：0.50）A.B.C.D.23.积分上限函数*(axb)是一种由积分定义的新的函数，它的特征是自变量 x为积分上限，F(x)与x的对应法则由定积分给出下列对 F(x)的理解不正确的是 (A) 若函数 f(x)在a，b上连续，则 F(x)可导，且 F(x)=f(x) (B) 若函数 f(x)存a，b上连续，则 F(x)就是 f(x)在a，
12、b上的一个原函数 (C) 若函数 f(x)存a，b上(有界，且只有有限个第一类间断点)可积，则 F(x)在a，b上连续，且可微 (D) 若积分上限是 x的可微函数 g(x)，则*是 F(u)与 u=g(x)的复合函数，求导时必须使用复合函数求导法则，即 *（分数：0.50）_24.下列命题不正确的是 (A) 若 f(x)在区间(a，b)内的某个原函数是常数，则 f(x)在(a，b)内恒为零 (B) 若 f(x)的某个原函数为零，则 f(x)的所有原函数为常数 (C) 若 f(x)在区间(a，b)内不是连续函数，则在这个区间内 f(x)必无原函数 (D) 若 F(x)是 f(x)的任意一个原函数
13、，则 F(x)必定为连续函数（分数：0.50）A.B.C.D.25.下列命题不正确的是 (A) 初等函数在其定义区间(a，b)内必定存在原函数 (B) 设 acb，f(x)定义在(a，b)上，若 x=c是 f(x)的第一类间断点，则 f(x)在(a，b)不存在原函数 (C) 若函数 f(x)在区间，上含有第二类间断点，则该函数在区间，上不存在原函数 (D) 设函数*x(-，+)，则函数 f(x)在(-，+)上不存在原函数（分数：0.50）A.B.C.D.26.下列等式或结论正确的是 (A) 0dx=0 (B) *(C) * (D) 设等式 a+f(x)dx=f(x)dx 成立，则 a=0（分数
14、：0.50）A.B.C.D.27.下列计算 * * (A) 0个 (B) 1 个 (C) 2 个 (D) 3 个（分数：0.50）A.B.C.D.28.下列结果正确的是 *（分数：0.50）A.B.C.D.29.设 a0，f(x)在-a，a上连续，则在-a，a上 (A) f(cosx)的全体原函数为奇函数 (B) xf(x)-f(-x)的全体原函数为偶函数 (C) f(x2)有唯一原函数为奇函数 (D) xf(x)-f(-x)的任一原函数既不是奇函数也不是偶函数（分数：0.50）A.B.C.D.30.设*，则 F(x) (A) 是零 (B) 是一个正数 (C) 是一个负数 (D) 不是常数（分
15、数：0.50）A.B.C.D.31.下列结果不正确的是 *（分数：0.50）A.B.C.D.二、填空题(总题数：22，分数：22.00)32.*（分数：1.00）填空项 1:_33.已知 f(x)为非负连续函数，且当 x0 时*，则 f(x)=_（分数：1.00）填空项 1:_34.摆线*的一拱(0t2)的弧长为_（分数：1.00）填空项 1:_35.*（分数：1.00）填空项 1:_36.曲线 y=xsinx(0x)与 x轴所围成的图形绕 y轴旋转一周所成旋转体的体积=_（分数：1.00）填空项 1:_37.设 F(x)是 f(x)的一个原函数，f(x)具有连续导数，且 F(0)=0，F(2
16、)=F(2)=1，则*= 1（分数：1.00）填空项 1:_38.曲线 y=ln(1-x2)相应于*的一段的弧长为 1（分数：1.00）填空项 1:_39.*（分数：1.00）填空项 1:_40.*（分数：1.00）填空项 1:_41.已知 f(x)的一个原函数为*，则xf(2x)dx=_（分数：1.00）填空项 1:_42.若*的原函数 F(x)的表达式中，()不包含对数函数；()不含反正切函数，则其中的常数 a和 b分别满足条件_（分数：1.00）填空项 1:_43.*（分数：1.00）填空项 1:_44.*（分数：1.00）填空项 1:_45.若*（分数：1.00）填空项 1:_46.设
17、*，则 f(x)=_（分数：1.00）填空项 1:_47.在 y轴上的 0y2 一段上，有一根细棒，其上每一点处的线密度等于该点到棒两端的距离平方之积，则其质心*（分数：1.00）填空项 1:_48.设连续非负函数满足 f(x)f(-x)=1(-x+)，则*（分数：1.00）填空项 1:_49.*（分数：1.00）填空项 1:_50.*（分数：1.00）填空项 1:_51.设 f(x)有一个原函数为*（分数：1.00）填空项 1:_52.设 x0，*，则f(x)dx 1（分数：1.00）填空项 1:_53.*（分数：1.00）填空项 1:_考研数学一-一元函数积分学(一)答案解析(总分：37.
18、50，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：31，分数：15.50)1.曲线 y=x2与直线 y=2x围成的平面图形绕 Y轴旋转一周所得旋转体的体积 V等于 *（分数：0.50）A.B. C.D.解析：解析 解方程组*可得两交点(0，0)和(2，4)故所求体积为 *2.下列函数不可积的是 (A) f(x)=xa，x0，1，a0(B) *x0，2 (C) *x-1，1 (D) *x0，1（分数：0.50）A.B. C.D.解析：解析 对于(A)：因为 xa(a0)在0，1上连续，所以可积 对于(B)：因为 lnx在(0，2上无界，所以不可积 对于(C)：因为|f(x)|1，在-1，1上有界，
19、除 x=0外连续，所以可积 对于(D)：因为 f(x)在0，1单调上升，所以可积 综上分析，应选(B) 评注 题中给出了一个有界而不可积的函数该题表明，有下面的函数类的包含关系：a，b上的连续函数类*上的可积函数类*上的有界函数类 若函数在区间上有原函数，这函数不一定在该区间上可积例如函数 F(x)=*容易知道 F(x)在(-，+)内可导，且 f(x)=F(x)=*即函数 f(x)在(-，+)上有原函数 F(x)，但由于函数 f(x)在 x=0的任一邻域内无界，故函数 f(x)在包含 x=0的区间上不可积3.下列结论正确的是 (A) 若函数 f(x)在a，b上可积，则 f(x)在a，b上必有界
20、；反之，若函数 f(x)在a，b上有界，则f(x)在a，b上必可积 (B) 若函数 f(x)在a，b上可积，则 f(x)在a，b内必定有原函数；反之，若函数 f(x)在a，b内有原函数，则 f(x)在a，b上必定可积 (C) 若函数 f(x)在任何有限区问上可积，则对任一点 c，有 * (D) 若函数 f(x)在a，b上可积，则必存在 a，b，使得*（分数：0.50）A.B.C. D.解析：分析 对于(A)：前半句正确，注意函数 f(x)在a，b上有界是 f(x)在a，b上可积的必要条件后半句不正确，例如狄利克雷函数*在0，1上有界，但不可积因此(A)不正确 对于(B)：前半句不正确，例如函数
21、*在-1，1上可积，且*=1，但点 x=0为 f(x)的第一类间断点，从而在(-1，1)内 f(x)没有原函数后半句也不正确，例如函数*在区间(0，1)内有原函数 F(x)=lnx但f(x)在0，1上不可积故(B)不正确 评注 只有当函数 f(x)在a，b上连续时，可积与原函数存在是相互等价的，而当 f(x)在a，b上不连续时，这种相互等价的关系并不存在 对于(C)：由“定积分对于积分区间具有可加性”可知，(C)正确 对于(D)：例如函数*在0，2上可积，且 * 但不存在 0，2，使得*故(D)不正确 评注 函数在闭区间上连续是积分中值定理成立的充分、非必要条件例如符号函数 sgnx在-1，1
22、上可积，且*，若取 =0-1，1，则有 * 但 sgnx在-1，1上不连续 综上分析，应选(C)4.设 F(x)是函数 f(x)=maxx，x 2的一个原函数则 (A) F(x)可能在 x=0，x=1 两点处间断 (B) F(x)只可能在 x=1处间断 (C) F(x)的导函数可能在 x=1处间断 (D) F(x)的导函数处处连续（分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 由于*，所以 f(x)处处连续又因为 F(x)是 f(x)的 原函数，所以 F(x)=f(x)，从而选(D)5.设有一椭圆形的薄板，长半轴为 a，短半轴为 b，薄板垂直立于液体巾，而其短半轴与液面相齐，液体的比重为 ，则
23、液体对薄板的侧压力为 *（分数：0.50）A.B. C.D.解析：解析 建坐标如图所示取 y当积分变量，则其收取范围是-a，0 * 压力微元素为* 所以所受压力为* 应选(B)6.下列反常积分发散的是 *（分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 *发散选(D)7.下列关于反常积分的命题 设 f(x)是(-，+)上的连续奇函数，则* 设 f(x)在(-，+)上连续，且存在，则必收敛，且* 若*都发散，则不能确定*是否收敛 若*都发散，则不能确定*是否收敛 中是真命题的个数有 (A) 1个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个（分数：0.50）A. B.C.D.解析：解析 反常积分
24、*收敛的充分必要条件是对常数 a，两个反常积分*与 *都收敛 设 f(x)=x，f(x)是(-，+)上的连续奇函数，且*但是*发散所以、不是真命题 设 f(x)=x，g(x)=-x，由上面的讨论知*都发散，但*g(x)dx 收敛；设 f(x)=x，g(x)=x，由上面的讨论知*都发散，且*也发散这表明是真命题 所以应选(A)8.下列命题正确的是 (A) 设 f(x)为(-，+)上的偶函数且在0，+)内可导，则，f(x)在(-，+)内可导 (B) 设 f(x)为(-，+)上的奇函数且在0，+)内可导，则 f(x)在(-，+)内可导 (C) 设* (D) 设 x0(a，b)，f(x)在a，b除 x
25、0外连续，x 0是 f(x)的第一类间断点，则 f(x)在a，b上存在原函数（分数：0.50）A.B. C.D.解析：解析 对于(A)：令 f(x)=|x|，则 f(x)为(-，+)上的偶函数且在0，+)内可导，但 f(x)在x=0不可导 对于(C)：令*不存在 对于(D)：令*则 f(x)在-1，1上不存在原函数事实上在所给条件下，f(x)在a，b上一定不存在原函数 对于(B)：当 X0(-，0)时，由于 * 所以 f(x)在(-，0)内可导；当 x0=0，由于 * 故(B)正确9.设 F(x)是函数 f(x)在区间 I上的原函数，则 (A) F(x)必是初等函数且有界 (B) F(x)必是
26、初等函数，但未必有界 (C) F(x)在 I上必连续且有界 (D) F(x)在 I上必连续，但未必有界（分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 根据原函数的定义，知 F(x)在 I上可导且 F(x)=f(x)，所以 F(x)在 I上连续，但未必有界，如*在(0，1)上的原函数是 lnx，但 lnx在(0，1)内是无界的故应选(D)10.设 f(x)在(-，+)内连续，则下列叙述正确的是 (A) 若 f(x)为偶函数，则* (B) 若 f(x)为奇函数，则* (C) 若 f(x)为非奇非偶函数，则* (D) 若 f(x)为以 T为周期的周期函数，且是奇函数，则*是以 T为周期的周期隔数（分
27、数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 由于 0既是偶函数又是奇函数，且*，所以不选(A)，(B) 若 f(x)为非奇非偶函数，也可能有*例如*在(-，+)上为非奇非偶函数，但*，因此不选(C)，由排除法应选(D) 事实上，利用“若 f(x)为以 T为周期的周期函数，则*的值与 a无关”与奇函数的积分性质可得，*有 * 所以*是以 T为周期的周期函数11.设* (A) 为反常积分，且发散 (B) 为反常积分，且收敛 (C) 不是反常积分，且其值为 10 (D) 不是反常积分，且其值为*（分数：0.50）A. B.C.D.解析：解析 由于*，所以 * 于是* 而*发散，故*为反常积分，且发散
28、选(A)12.下列结论不正确的是 (A) 若函数 f(x)在a，b上可积，则定积分*表示一个常数值，且该值与区间a，b、函数 f(x)及积分变量的记号均有关 (B) 若函数 f(x)在a，b上可积，将a，bn 等分，在每个小区间x i上任取一点 i，则*必定存在，且* (C) 设有常数 I，如果对于任意给定的正数 ，总存在一个正数 ，使得对于区间a，b的任何分法，不论 i在x i-1，x i中怎样选取，只要 ，总有 * (D) 若函数 f(x)在a，b上满足下列条件之一：()在a，b上连续；()在a，b上有界，且只有有限个间断点；()在a，b上单调，则 f(x)在a，b上可积（分数：0.50）
29、A. B.C.D.解析：分析 对于(A)：定积分定义中，*是一种新的类型的极限，它既不能表示成数列的极限，也不能表示成函数的极限 愈小，表示分点愈密对于a，b的任意划分，不论小区间|x i-1，x i上点 i怎样取法，当 0 时，和*为极限因此，定积分*仅与被积函数 f(x)及积分区间a，b有关，而与积分变量的记号无关即有 * 故(A)不正确 对于(B)：由定积分的定义可知(B)正确该命题提供了一条求极限的途径 对于(C)：这是定积分定义的等价表述(利用“-”的说法)，因此，(C)正确 对于(D)：这三个条件均为 f(x)在a，b上可积的充分条件，故(D)正确 综上分析，应选(A)13.设*，
30、则根据定积分的几何意义可知下列结论正确的是 (A) I是由曲线 y=f(x)及直线 x=a、x=b 与 x轴所围图形的面积，所以 I0 (B) 若 I=0，则上述图形面积为零，从而图形的“高”f(x)=0 (C) I是曲线 y=f(x)及直线 x=a、x=b 与 x轴之间各部分而积的代数和 (D) I是曲线 y=|f(x)|及直线 x=a、x=b 与 x轴所围图形的面积（分数：0.50）A.B.C. D.解析：解析 由定积分的几何意义可知，(C)正确例如：*，而由曲线 y=sinx，x 轴与直线*所围成的曲边梯形的面积为 * 由此可知(A)，(B)均不正确(D)显然不正确故应选(C)14.设函
31、数 f(x)在a，b上有界，把a，b任意分成 n个小区间， i为每个小区间x i-1，x i上任取的一点，则*所表示的和式极限是*（分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 由定积分的定义可知(D)正确，应选(D)15.设 f(ex)=x，则函数 f(x)在区间1，2上的平均值等于 (A) ln2+1 (B) ln2-1 (C) 2ln2+1 (D) 2ln2-1（分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 令 ex=t，则 f(t)=lnt,从而它在区间1，2的平均值为*故应选(D)16.下列等式或结论正确的是 (A) f(x)dx=f(x)dx=f(x) (B) df(x)dx=f(
32、x) (C) df(x)dx=f(x)dx (D) 若f(x)dx=g(x)dx，则f(x)dx=g(x)dx.（分数：0.50）A.B.C. D.解析：解析 对于(A)：由于第二个等式的右侧没有积分常数，故(A)不正确正确的结论为： f(x)dx=f(x)，f(x)dx=f(x)+C 对于(B)：由于 df(x)dx=f(x)dx，所以df(x)dx=f(x)dx故(B)不正确 对于(C)：显然正确 对于(D)：由不定积分的性质f(x)dx=f(x)及条件f(x)dx=f(x)dx可以得到 f(x)=g(x)据不定积分的定义(带有任意常数项的原函数)，则有 f(x)dx=g(x)dx+C 故
33、(D)不正确综上分析，应选(C)17.下列命题 若函数 F(x)、(x)是同一个函数 f(x)在区间 I上的两个原函数，则其差 F(x)-(x)等于确定的常数 设 F(x)、(x)，f(x)在集合 D上有定义，且满足 F(x)=(x)=f(x)，则 F(x)-(x)C 若取积分常数 C=0，则可积函数 f(x)的原函数唯一 若 f(x)在区间 I上有原函数，则 f(x)的任意两个原函数之和必为 2f(x)的原函数 中正确的是 (A) 、 (B) 、 (C) 、 (D) 、（分数：0.50）A.B.C. D.解析：解析 对于：由题设，*有 F(x)=f(x)，(x)=f(x)，于是(x)-F(x
34、)=(x)-F(x)=f(x)-f(x)=0由“在一个区间上导数恒为零的函数必为常数”可知，(x)-F(x)=C 0(C0为某个常数)故正确 对于：例如函数 F(x)=arctanx，*，在集合 D=(-，-1)(-1，1)(1，+)内满足：F(x)=(x)=f(x)，但是 * 这说明在 D内 F(x)-(x)C这与“函数的任意两个原函数之差为常数”的结论并无矛盾，因为原函数是建立在某一区间上的故不正确 对于：例如函数 e2x为连续函数，从而 * 若取 C=0，得 e2x的一个原函数*，但容易证明 exshx，e xchx也是 e2x的原函数又如，函数 arcsin(2x-1),arocos(
35、1-2x)和的*原函数 对于：由不定积分的性质可知正确 综上分析，应选(C)18.设 F(x)是 f(x)在(a，b)上的一个原函数，则 f(x)+F(x)在(a，b)上 (A) 可导 (B) 连续 (C) 存在原函数 (D) 不是分段函数（分数：0.50）A.B.C. D.解析：分析 因为 F(x)是 f(x)在(a，b)上的一个原函数，所以 F(x)=f(x)，因此 F(x)在(a，b)上连续，于是 F(x)在(a，b)上存在原函数，从而 F(x)+f(z)在(a，b)上存在原函数，因此选(C) 函数 f(x)在(a，b)上存在原函数，f(x)在(a，b)上不一定连续(函数 f(x)在(a
36、，b)上连续是它在(a，b)上存在原函数的充分条件)又 F(x)在(a，b)上连续，因此 F(x)+f(x)在(a，b)上不一定连续，因此不选(B)，从而也不选(A) 另外，f(x)+F(x)存在原函数，但它不一定是初等函数，例如 e|x|在(-，+)上存在一个原函数*但*就是分段函数，因此不选(D)19.设 f(x)及 g(x)在a，b上连续，则下列命题 若在a，b上，f(x)0，则 f(x)0，* 若在a，b上，f(x)0，且*，则在a，b上 f(x)=0 若 f(x)在a，b的任意子区间，上有*，则 f(x)=0(*) 若在a，b上，f(x)g(x)，且*，则在a，b上 f(x)g(x)
37、 中正确的是 (A) 、 (B) 、 (C) 、 (D) 、（分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 正确根据条件必定存在 x0a，b，使得 f(x0)0由函数 f(x)在 x0连续可知，存在 ab，使得当 x，时*因此有 * 由定积分性质得到 * 故得到结论* 正确用反证法如果 f(x)0，由由得到*，与假设条件矛盾，因此成立 正确用反证法若 f(x)0(xa，b)，则*，f(x 0)0，不妨设 f(x0)0，由连续性*，*，f(x)0(xx 0-，x 0+)取，=x 0-，x 0+，则*，与已知矛盾因此，f(x)0(xa，b) 正确臣为 h(x)=g(x)-f(x)0，且*，由可得
38、h(x)0，从而结论成立 综上分析，应选(D)20.下列各式成立的是 *（分数：0.50）A.B. C.D.解析：解析 根据反常积分的定义可知(A)，(C)两个反常积分都不存在，所以不正确 而(D):* 由排除法知应选(B)21.下列命题 设f(x)dx=F(x)+C，则对任意函数 g(x)，有fg(x)dx=Fg(x)+C 设函数 f(x)在某区间上连续、可导，且 f(x)0又 f-1(x)是其反函数，且f(x)dx=F(x)+C，则 f -1(x)dx=xf-1(x)-Ff-1(x)+C 设f(x)dx=F(x)+C，x(-，+)，常数 a0，则f(ax)dx=F(ax)+C 设f(x)d
39、x=F(x)+C，x(-，+)，则* 中正确的是 (A) 、 (B) 、 (C) 、 (D) 、（分数：0.50）A.B.C.D. 解析：解析 这是一些函数恒等式，且左端均为不定积分，所以右端必须含一项任意常数项 C，否则就不成立余下就看右端的非常数项函数与左端的被积函数是否有相同的定义域以及右端函数的导数是否是左端的被积函数 对于：例如函数 g(x)=2x，有 * 故不正确但当 g(x)=x+b时，等式还是成立的，即 f(x+b)dx=F(x+b)+C 对于：应用分部积分法可得 f -1(x)dx=xf-1(x)-fxf -1(x)dx 记 y=f-1(x)，则 x=f(y)，dy=f -1
40、(x)dx，于是 xf -1(x)dx=f(y)dy=F(y)+C， f -1(x)dx=xf-1(x)-Ff-1(x)+C 故正确 对于：因为 F(x)=f(x)，所以 F(ax)=F(ax)a=af(ax)， 即 af(ax)dx=F(ax)+C，* 因此，a1 时等式不成立由此可知不正确 对于：因为 F(x)=f(x)，所以 * 因此*故正确 综上分析，应选(D)22.设*则下列结论 在-1，1上 f1(x)存在原函数 存在定积分* 存在 f2(0) 在-1，1上 f2(x)存在原函数 中正确的是 (A) 、 (B) 、 (C) 、 (D) 、。（分数：0.50）A.B.C. D.解析：
41、解析 不正确若存在原函数 F(x)，则在区间-1，0，*；在区间(0，1上 F(x)=ex+C2在x=0处 F(x)应连续，所以 C1=C2+1，于是 * 但此 F(x)在 x=0处 F-(0)=0，F +(0)=1，F(0)不存在，所以此 F(x)在-1，1上不是 f1(x)的原函数，矛盾，故不正确 正确f 1(x)在-1，1上有界且只有 1个间断点，所以*存在，且 * 不正确由导数定义可知 f2(0)不存在 正确因为 f2(x)在-1，1上连续，所以存在原函数 综上分析，应选(C)23.积分上限函数*(axb)是一种由积分定义的新的函数，它的特征是自变量 x为积分上限，F(x)与x的对应法
42、则由定积分给出下列对 F(x)的理解不正确的是 (A) 若函数 f(x)在a，b上连续，则 F(x)可导，且 F(x)=f(x) (B) 若函数 f(x)存a，b上连续，则 F(x)就是 f(x)在a，b上的一个原函数 (C) 若函数 f(x)存a，b上(有界，且只有有限个第一类间断点)可积，则 F(x)在a，b上连续，且可微 (D) 若积分上限是 x的可微函数 g(x)，则*是 F(u)与 u=g(x)的复合函数，求导时必须使用复合函数求导法则，即 *（分数：0.50）_解析：24.下列命题不正确的是 (A) 若 f(x)在区间(a，b)内的某个原函数是常数，则 f(x)在(a，b)内恒为零 (B) 若 f(x)的某个原函数为零，则 f(x)的所有原函数为常数 (C) 若 f(x)在区间(a，b)内不是连续函数，则在这个区间内 f(x)必无原函数 (D) 若 F(x)是 f(x)的任意一个原函数，则 F(x)必定为连续函数（分数：0.50）A.B.C. D.解析：解析 假设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则必有 F(x)=f(x) 对于命题(A)：如果 f(x)在区间(a，b)内的某个原函数 F(x)=k(k是常数)，则在(a，b)内任意点 x处，f(x)=F(x)=0，所以此命题正确 对于命题(B)：若
