1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 21 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.f(x)在(一，+)内二阶可导，f“(x)0 （分数：2.00）A.单调增加且大于零。B.单调增加且小于零。C.单调减少且大于零。D.单调减少且小于零。3.设 y=f(x)是方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，且 f(x 0 )0，f(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 处( )（分数：2.00）A.取得极大值。B.取得极小值。C.某邻域内单调增加。D.某邻
2、域内单调减少。4.曲线 y=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 (x 一 4) 4 的拐点是( )（分数：2.00）A.(1，0)。B.(2，0)。C.(3，0)。D.(4，0)。5.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x) 2 =x，且 f(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。C.点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。6.设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的
3、极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。7.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。B.充分条件但非必要条件。C.必要条件但非充分条件。D.既非充分条件又非必要条件。8.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0，F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与x 3 是同阶无穷小，则 k 等于( )（分数：2.00）A
4、.1。B.2。C.3。D.4。9.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在。B.极限存在，但不连续。C.连续，但不可导。D.可导。10.函数 f(x)=(x 2 一 x 一 2)x 3 一 x不可导点的个数是( )（分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.0。11.设 y=f(x)是满足微分方程 y“一 y一 e sinx =0 的解，且 f(x 0 )=0，则 f(x)在( )（分数：2.00）A.x 0 的某个邻域内单调增加。B.x 0 的某个邻域内单调减少。C.x 0 处取得极小值。D.x 0 处取得极大值。12.设函数 f(x)在 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a
5、 处不可导的充分条件是( )（分数：2.00）A.f(a)=0 且 f(a)=0。B.f(a)=0 且 f(a)0。C.f(a)0 且 f(a)0。D.f(a)0 且 f(a)0。13.函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则( )（分数：2.00）A.当B.当C.当D.当二、填空题(总题数：1，分数：2.00)14.函数 f(x)=4x 3 一 18x 2 +27在0，2上的最小值是 1，最大值是 2。（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_16.设函数 f(x)，
6、g(x)在a，b上连续，且 g(b)=g(a)=1，在(a，b)内 f(x)与 g(x)可导，且 g(x)+g(x)0，f(x)0。证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_17.设在区间0，2上，f(x)1，f“(x)1。证明：对于任意的 x0，2，有 f(x)2。（分数：2.00）_18.求下列极限 （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，记 F(x)= （分数：2.00）_20.设 f(x)在 x 0 的邻域内有定义，并且 （分数：2.00）_21.求曲线 y= （分数：2.00）_22.已知函数 y= （分数：2.00）_
7、23.设当 x0 时，方程 kx+ （分数：2.00）_24.设 eab，证明：a 2 （分数：2.00）_25.证明： （分数：2.00）_26.已知函数 f(x)= （分数：2.00）_27.已知两曲线 y=f(x)与 y= 0 arctanx dt 在点(0，0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 （分数：2.00）_28.设方程 y 3 +sin(xy)一 e 2x =0 确定曲线 y=y(x)。求此曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率与曲率半径。（分数：2.00）_考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 21 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数
8、：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.f(x)在(一，+)内二阶可导，f“(x)0 （分数：2.00）A.单调增加且大于零。B.单调增加且小于零。 C.单调减少且大于零。D.单调减少且小于零。解析：解析：由3.设 y=f(x)是方程 y“一 2y+4y=0 的一个解，且 f(x 0 )0，f(x 0 )=0，则函数 f(x)在点 x 0 处( )（分数：2.00）A.取得极大值。 B.取得极小值。C.某邻域内单调增加。D.某邻域内单调减少。解析：解析：由 f(x 0 )=0 知 x=x 0 是函数 y=f(x)的驻
9、点。将 x=x 0 代入方程，得 y“(x 0 )一 2y(x 0 )+4y(x 0 )=0。 由于 y(x 0 )=f(x 0 )=0，y“(x 0 )=f“(x 0 )，y(x 0 )=f(x 0 )0， 则有 f“(x 0 )=一 4f(x 0 )0， 由极值的第二充分条件知，f(x)在点 x 0 处取得极大值，故选 A。4.曲线 y=(x 一 1)(x 一 2) 2 (x 一 3) 3 (x 一 4) 4 的拐点是( )（分数：2.00）A.(1，0)。B.(2，0)。C.(3，0)。 D.(4，0)。解析：解析：根据凹凸性的定义，在区间1，2上， ， 从而 f(x)在区间1，2上是凹
10、的； 同理在2，3上 0，即 f(x)在区间2，3上也是凹的； 在3，4上5.设函数 f(x)满足关系式 f“(x)+f(x) 2 =x，且 f(0)=0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。C.点(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。 D.f(0)不是 f(x)的极值，点(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。解析：解析：令等式 f“(x)+f(x) 2 =x 中 x=0，得 f“(0)=0 一f(0) 2 =0，无法利用极值的第二充分条件进行判定。 对 f“(x)求导数 f“(x)=(x 一f(x) 2 )=12f(x)f
11、“(x)， 将 f(0)=0 代入，有f“(0)=1，所以由导数定义 6.设 f(x)有二阶连续导数，且 f(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值。B.f(0)是 f(x)的极小值。 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点。D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点。解析：解析：因为 f(x)有二阶连续导数，且 =10，所以由函数极限的局部保号性可知，在 x=0 的去心邻域内有7.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+sinx)，则 f(0)=0 是 F(x)在 x=0 处可导的( )（分数：2.00）A.充分必要条件。
12、B.充分条件但非必要条件。C.必要条件但非充分条件。D.既非充分条件又非必要条件。解析：解析：F(x)在 x=0 可导的充分必要条件是左、右导数都存在且相等，于是有8.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f(0)0，F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与x 3 是同阶无穷小，则 k 等于( )（分数：2.00）A.1。B.2。C.3。 D.4。解析：解析：因为 F(x)=(x 2 0 x f(t)dt 一 0 x t 2 f(t)dt)=2x 0 x f(t)dt，所以 9.设 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在。B.极限存在，但不连
13、续。C.连续，但不可导。D.可导。 解析：解析：已知 g(x)为有界函数，因此 10.函数 f(x)=(x 2 一 x 一 2)x 3 一 x不可导点的个数是( )（分数：2.00）A.3。B.2。 C.1。D.0。解析：解析：对原函数进行恒等变形，即 f(x)=(x+1)(x 一 2)(x2)xx+1x 一 1。 从而可知，f(x)的不可导点为 x=一 1，x=0，x=1。 因为连续函数与绝对值函数相乘时，即 f(x)=g(x)x时，当g(x)=0 时，f(x)可导。根据此结论，设 f(x)=g(x)xx+1x 一 1，由于 g(一 1)=0，g(0)=一20，g(1)=一 20，因此 f(
14、x)在 x=一 1 处可导，而在 x=0 和 x=1 处不可导，故应选 B。11.设 y=f(x)是满足微分方程 y“一 y一 e sinx =0 的解，且 f(x 0 )=0，则 f(x)在( )（分数：2.00）A.x 0 的某个邻域内单调增加。B.x 0 的某个邻域内单调减少。C.x 0 处取得极小值。 D.x 0 处取得极大值。解析：解析：由已知方程可得 f“(x)一 f(x)=e sinx ，从而 f“(x 0 )一 f(x 0 )= ，又 f(x 0 )=0，则有 f“(x 0 )= 12.设函数 f(x)在 x=a 处可导，则函数f(x)在点 x=a 处不可导的充分条件是( )（
15、分数：2.00）A.f(a)=0 且 f(a)=0。B.f(a)=0 且 f(a)0。 C.f(a)0 且 f(a)0。D.f(a)0 且 f(a)0。解析：解析：由于 f(x)在 x=a 处可导，则 f(x)在 x=a 处必连续。 当 f(a)0 时，则在 x=a 的某个邻域内有 f(x)0，此时f(x)=f(x)，f(x)在 x=a 处可导，故选项(C)不正确。 同理，当 f(x)0 时，f(x)=一 f(x)，f(x)在 x=a 处也可导，故排除(D)。 当 f(a)=0 时，设 (x)=f(x)，则有13.函数 y=f(x)在(0，+)内有界且可导，则( )（分数：2.00）A.当B.
16、当 C.当D.当解析：解析：根据已知条件，取 f(x)= 不存在，排除 A； 取 f(x)=sinx，则 =1，排除(C)和(D)；对于选项(B)，假设 f(x)=k0，设 k0，则存在 M0，当 xM 时，有 f(x) 。 与f(x)在(0，+)内有界矛盾。 因此 k=0，即二、填空题(总题数：1，分数：2.00)14.函数 f(x)=4x 3 一 18x 2 +27在0，2上的最小值是 1，最大值是 2。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：27）解析：解析：设 (x)=4x 3 一 18x 2 +27，则 三、解答题(总题数：14，分数：
17、28.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：16.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，且 g(b)=g(a)=1，在(a，b)内 f(x)与 g(x)可导，且 g(x)+g(x)0，f(x)0。证明：存在 ，(a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作辅助函数 (x)=e x g(x)，则 (x)=e x g(x)+g(x)。于是 f(x)和 (x)在a，b上满足柯西中值定理，故存在一点 (a，b)，使得 再作辅助函数 (x)=e x ，则(x)=e x ，故有 f(x)，(x)在a，b上满足柯西中值定理，于是必存在一点 (
18、a，b)，使得 )解析：17.设在区间0，2上，f(x)1，f“(x)1。证明：对于任意的 x0，2，有 f(x)2。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x0，2，将函数按(y 一 x)的幂展开成二次泰勒多项式为 f(y)=f(x)+f(x)(yx)+ (yx) 2 。 令 y=0 和 y=2，得 f(0)=f(x)一 f(x)x+ x 2 ，x 1 x。 f(2)=f(x)+f(x)(2 一 x)+ (2 一 x) 2 ，x 2 2。 上面两式相减，得 f(2)一 f(0)=2f(x)+ f“( 2 )(2 一 x) 2 一 f“( 1 )x 2 ， 即 f(x)= f“(
19、2 )(2 一 x) 2 一 f“( 1 )x 2 。由题设条件，f(x)1，且f“(x)1，则 f(x) f“( 2 )“(2 一 x) 2 +f“( 1 )x 2 1+ )解析：18.求下列极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.设 f(x)在a，+)上连续，f“(x)在(a，+)内存在且大于零，记 F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知有 F(x)= f(x)(x 一 a)一 f(x)+f(a)， 令 (x)=f(x)(xa)f(x)+f(a)，(xa)， 则 (x)=f“(x)(x 一 a)+f(x)f(x)=(x 一 a)f“(x)0(x
20、a)， 由此知 (x)在(a，+)上单调递增，于是 (x)(a)=0故 F(x)= )解析：20.设 f(x)在 x 0 的邻域内有定义，并且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：21.求曲线 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 x一，e 2x 0；x+时，e 2x +，故 因而 y=0 是曲线的一条水平渐近线。 x=一 1 是函数的间断点，且 故 x=一 1 是曲线的垂直渐近线。 )解析：22.已知函数 y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知，函数的定义域为(一，1)(1，+)。且 由上表可知，函数的单调递减区间为(一，0)和(1，+)，单调
21、递增区间为(0，1)；函数在 x=0 处取得极小值 y x=0 =0曲线的凸区间为(一，一 ，1)和(1，+)；拐点为(一 )。 由 =2，可知 y=2 为该曲线的一条水平渐近线，由 =+，可知 x=1 是曲线的垂直渐近线。 综上可知，函数图形如右图25 所示。 )解析：23.设当 x0 时，方程 kx+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=kx+ 。 (1)看 k0，则 f(x)0，f(x)在(0，+)上单调递减，并且 f(x)=+，则当 k0 时， f(x)=一 1。因此，当 k0 时，原方程在(0，+)内有且仅有一个解。 (2)若 k0，令 f(x)=k 一 上 f(
22、x)0，所以 f(x)单调递减，在( ，+)上 f(x)0，所以 f(x)单调递增，又因为 f(x)=+，要求 k0 时原方程有且仅有一个解，即 =0，亦即 综上所述，当 k0 或 k= )解析：24.设 eab，证明：a 2 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：要证明 b 2 ，只要证明 alnablnb。 令 f(x)=xlnx(xe)，则 f(x)=lnx+10(xe)，因而 f(x)单调递增(xe)，又因为 ba，所以 f(b)f(a)，即 alnablnb。 要证明a 2 。 令 (x)= 0(xe)，因此可知 (x)单调递减(xe)，已知 ab，因此 (a)(b)，即 。 综
23、上所述，当 eab 时，a 2 )解析：25.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则曲线 y=f(x)在 时，f(x)0。故 )解析：26.已知函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在 x=1 处可导，所以 f(x)在 x=1 处连续，因此有 =e=f(1)=a+b，即 a+b=e。 由于切点为(1，e)，f(1)=一 e，则切线斜率为一 e，故所求切线方程为 ye=一 e(x一 1)，即 ex+y 一 2e=0。 法线斜率为一 ，所以法线方程为 ye= )解析：27.已知两曲线 y=f(x)与 y= 0 arctanx dt 在点(0，0)
24、处的切线相同，写出此切线方程，并求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因此，过点(0，0)的切线方程为 y=x。 由于两曲线有相同的切线方程，因此 f(0)=0，f(0)=1。故有 )解析：28.设方程 y 3 +sin(xy)一 e 2x =0 确定曲线 y=y(x)。求此曲线 y=y(x)在点(0，1)处的曲率与曲率半径。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在隐函数方程两端同时对 x 求导得 3y 2 y+(y+xy)cos(xy)一 2e 2x =0。 将点(0，1)代入上式得 3y(0)+12=0，即 y(0)= 。 在等式 3y 2 y+(y+xy)cos(xy)一 2e 2x =0 的两端对 x 再次求导得 6y(y) 2 +3y 2 y“+(2y+xy“)cos(xy)一(y+xy) 2 sin(xy)一 4e 2x =0， 将点(0，1)与 y(0)= 代入上式，即得 由曲率公式，可知所求曲率为 )解析：
