1、考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 22 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设常数 k0，函数 f(x)=lnx 一 （分数：2.00）A.3。B.2。C.1。D.0。3.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.都存在且相等。B.都不存在。C.都存在但不相等。D.仅有一个存在。4.设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.必取极大值。B.必取极小值。C.不可
2、能取极值。D.是否取极值不能确定。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)5.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_6.设 y=y(x)由方程组 （分数：2.00）填空项 1:_7.设函数 y=y(x)由方程 2 xy =x+y 所确定，则 dy x0 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_8.设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_9.设 （分数：2.00）填空项 1:_10.设 f(x)在(0，+)上有定义，且 f(1)=a(0)，又对任意 x，y(0，+)，有
3、f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_11.函数 y=x+2cosx 在区间0， （分数：2.00）填空项 1:_12.设函数 y=f(x)由方程 e 2x+y cos(xy)=e 一 1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_13.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.试讨论函数 f(x)= （分数：2.00）_16.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）_
4、17.设常数 a （分数：2.00）_18.试证(x+y)ln （分数：2.00）_19.证明 （分数：2.00）_20.设 f(x)= （分数：2.00）_21.试求函数 y=arctanx 在 x=0 处的各阶导数。（分数：2.00）_22.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0。证明：存在一点 (0，1)，使得 0 f(x)dx=f()。（分数：2.00）_23.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明：()在(a，b)内，g(x)0；()在(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_2
5、4.设函数 f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数 f(x)在(a，b)内有界时，函数 f(x)在(a，b)内也有界。（分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，证明：存在 ，(a，b)使得 e f()+f()=1。（分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1上具有二阶连续导数，且 f(0)=f(1)=0， f(x)=一 1。证明： （分数：2.00）_27.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，证明存在一点 (a，b)，使得 f“()（分数：2.00）_28.()设 f(x)在a，b上具有三阶连续导数
6、，写出 f(x)在a，b上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式。 ()设函数 f(x)在区间a，b上具有三阶连续导数，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)=f(a)+ （分数：2.00）_考研数学一（一元函数微分学）模拟试卷 22 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设常数 k0，函数 f(x)=lnx 一 （分数：2.00）A.3。B.2。 C.1。D.0。解析：解析：由 f(x)= ，令 f(x)=0，得 x=e。 当 xe 时，f(x)0，当 0xe
7、 时，f(x)0，在(0，e)和(e，+)内 f(x)分别是单调递增和单调递减的，若在此两个区间有零点，至多各有一个，又 f(e)=k0，3.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.都存在且相等。B.都不存在。C.都存在但不相等。 D.仅有一个存在。解析：解析：由函数左、右导数的定义，4.设两函数 f(x)及 g(x)都在 x=a 处取得极大值，则函数 F(x)=f(x)g(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.必取极大值。B.必取极小值。C.不可能取极值。D.是否取极值不能确定。 解析：解析：取 f(x)=(1 一 x 2 ) 3 和 g(x)= 二、填空题(总题数：9，分数：18
8、.00)5.设函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意，有 又 f(x)的图形如图 26 所示。 由于 1ee 2 ，故当 1xe 2 时，f(x)=ln ，从而 0f(x)1，进而 6.设 y=y(x)由方程组 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由已知参数方程得， 。 在 2yty 2 +e t =5 两边对 t 求导，有 7.设函数 y=y(x)由方程 2 xy =x+y 所确定，则 dy x0 = 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(ln21)dx）解析：解析：方程两边
9、同时对 x 求导，得 把 x=0 代入原方程得 y= 8.设函数 f(x)=(e x 一 1)(e 2x 一 2)(e nx 一 n)，其中 n 为正整数，则 f(0)= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 1) n1 (n 一 1)!）解析：解析：根据导数定义，有 f(0)= 9.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：Acosb）解析：解析：补充定义 f(a)=b，则根据导数的极限定义，有10.设 f(x)在(0，+)上有定义，且 f(1)=a(0)，又对任意 x，y(0，+)，有 f(xy)=f(x)+f(y)，则f(x)= 1。（分数：
10、2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：alnx）解析：解析：在等式 f(xy)=f(x)+f(y)中，令 y=1，得 f(x)=f(x)+f(1)，则 f(1)=0，根据导数的定义，取xy 为增量，则 因为 f(1)=a，所以 f(a)=11.函数 y=x+2cosx 在区间0， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 y=12sinx=0，解得 x= 分别代入函数解析式中得，12.设函数 y=f(x)由方程 e 2x+y cos(xy)=e 一 1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （
11、正确答案：正确答案：x 一 2y+2=0）解析：解析：在方程 e 2x+y 一 cos(xy)=e1 两边对 x 求导，得 e 2x+y (2+y)+sin(xy)(y+xy)=0。 将x=0，y=1 代入上式，得 y x=0 =一 2，则法线斜率为 ，故所求法线方程为 y 一 1= 13.设 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：对已知函数进行恒等变形，即三、解答题(总题数：15，分数：30.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.试讨论函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当x0
12、 时，f(x)=0，由导数的定义 )解析：16.设函数 y=y(x)由参数方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由参数方程求导法则可得 由上表可知，函数 y(x)的极大值为 y(一 1)=1，极小值为 ； 曲线 y=y(x)的凹区间为 ； 曲线 y=y(x)的拐点为( )解析：17.设常数 a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在区间(0，+)内，f(x)=e x 一 ax 2 =0，其等价于 (x)= 一 a=0，可讨论 (x)=0 在(0，+)内的实根个数。 由于 令 (x)=0，得驻点 x=2，列表如下： 则当x=2 时，(x)取得极小值 (2)= (x)=+， )解析
13、：18.试证(x+y)ln （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造函数 f(x)=xlnx，则 f(x)=lnx+1，f“(x)= 0，则 f(x)=xlnx 为凹函数，根据凹函数的性质 ，有 )解析：19.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先证明 ln(1+x) 一 ln(1+x)，因函数 F(x)在区间0，+)上具有连续导数，F(0)=0，且 因此 F(x)在区间0，+)上单调增加，故当 x0 时，F(x)F(0)=0 成立，即ln(1+x) 成立。 再证 ，函数 G(x)在区间0，+)上具有连续导数，G(0)=0，且 因此 G(x)在区间0，+)上单调增加，故当 x
14、0 时，G(x)G(0)=0 成立，即 )解析：20.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.试求函数 y=arctanx 在 x=0 处的各阶导数。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知得 y= )解析：22.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0。证明：存在一点 (0，1)，使得 0 f(x)dx=f()。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 由于 =F(0)=0，因此 F(x)在0，1上连续，(0，1)内可导。 又已知 f(x)=0，F(1)= 0 1 f(t)dt=0，所以 F(0)=F(1)=0，则 F
15、(x)在0，1上满足罗尔定理条件，故必存在一点 (0，1)，使得 F()=0，即 )解析：23.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明：()在(a，b)内，g(x)0；()在(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()假设对任意的 c(a，b)且 g(c)=0。 由于 g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在a，c，c，b上分别运用罗尔定理可得 g( 1 )=g( 2 )=0，其中 1 (a，c)， 2 (c，b)，对 g(x)在 1 ， 2 上运用罗尔定理，可得 g“( 3 )=0，其中
16、3 ( 1 ， 2 )。 因已知 g“(x)0，与题设矛盾，故 g(c)0，即在(a，b)内，g(x)0。 ()构造辅助函数 F(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)，则有 F(a)=0，F(b)=0，在a，b上满足罗尔定理。 故至少存在一点 (a，b)，使得 F()=f()g“()f“()g()=0，即 )解析：24.设函数 f(x)在开区间(a，b)内可导，证明：当导函数 f(x)在(a，b)内有界时，函数 f(x)在(a，b)内也有界。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 x 0 ，x(a，b)，则 f(x)在以 x 0 ，x 为端点的区间上满足拉格朗日中值定理条件，因此 f(
17、x)f(x 0 )=f()(x 一 x 0 )，(x 0 ，x)。 因为 f(x)在(a，b)内有界，即存在N0，使f(x)N，x(a，b)，所以 f(x)=f(x)f(x 0 )+f(x 0 ) f(x)f(x 0 )+f(x 0 ) f()(ba)+f(x 0 ) N(ba)+f(x 0 )=M。 根据有界的定义 f(x)在(a，b)内有界。)解析：25.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=1，证明：存在 ，(a，b)使得 e f()+f()=1。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 g(x)=e x ，则 g(x)在a，b上连续，在(
18、a，b)内可导且 g(x)=e x 。由拉格朗日中值定理，至少存在一点 (a，b)，使 =e 。 另作辅助函数 F(x)=e x f(x)，f(x)在a，b连续，(a，b)内可导，由拉格朗日中值定理得，存在 (a，b)， =F()，即 )解析：26.设 f(x)在0，1上具有二阶连续导数，且 f(0)=f(1)=0， f(x)=一 1。证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(c)= f(x)=一 1，因为 f(0)=f(1)=0，则 f(c)是 f(x)在区间(0，1)内的极小值，故 f(c)=0，将 f(x)按(x 一 c)的幂展开成二次泰勒多项式，即 f(x)=f(c)+
19、f(c)(x 一 c)+ (x 一 c) 2 ， 在上式中分别令 x=0，x=1，得 )解析：27.设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0，证明存在一点 (a，b)，使得 f“()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：已知 f(a)=f(b)=0，则将 f(x)分别按(x 一 a)，(x 一 b)的幂展开成二次泰勒多项式 令 f“()=maxf“( 1 )，f“( 2 )。 则 f“( 1 )+f“( 2 ) 2f“()=f“()， 因此 )解析：28.()设 f(x)在a，b上具有三阶连续导数，写出 f(x)在a，b上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式。 ()设函数 f(x
20、)在区间a，b上具有三阶连续导数，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)=f(a)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()任意给定 x 0 (a，b)，对任意 xa，b，则 f(x)在a，b上带有拉格朗日余项的二阶泰勒公式为 f(x)=f(x 0 )+f(x 0 )(x 一 x 0 )+ f (3) ()(x 一 x 0 ) 3 ，(x 0 ，x)。 ()把 f(b)与 f(a)分别在点 x 0 = 处展开成带拉格朗日余项的二阶泰勒公式， 将上面两式相减可得 由于 f“(x)在a，b上连续，则根据连续函数的介值定理知，存在 1 ， 2 (a，b)，使得 f“()= f“( 1 )+f“( 2 )， 将其代入 f(b)f(a)的表达式，即存在一点 (a，b)使得 f(b)=f(a)+ )解析：
