1、考研数学一（一元函数积分学）-试卷 1 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.由曲线 y= x(0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.抛物线 y 2 =2x 与直线 y=x-4 所围成的图形的面积为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.曲线 上相应于 x 从 3 到 8 的一段弧的长度为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：11，分数：22.00)5.设
2、 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_6.设 n 是正整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.定积分中值定理的条件是 f(x)在a，b上连续，结论是 1（分数：2.00）填空项 1:_9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_12.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 9y 2 =4x 3 上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 1（分数：2.00）填空项 1:_14.由曲线 y=x 3 ，y=0 及 x=1 所围图
3、形绕 z 轴旋转一周得到的旋转体的体积为 1（分数：2.00）填空项 1:_15.函数 y=lnx 在区间1，e上的平均值为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：16，分数：34.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 （分数：2.00）_18.设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且满足 （分数：2.00）_19.设函数 f(x)有连续导数，F(x)= （分数：2.00）_20.f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0，证明：存在 0，1，使得 （分数：
4、2.00）_21.设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加，证明： （分数：2.00）_22.设函数 f“(x)在a，b上连续，且 f(a)=0，证明： （分数：2.00）_23.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0，f“(x)0，g“(x)0证明：对任何 a0，1，有 （分数：2.00）_24.设 f(x)在0，上连续，在(0，)内可导，且 （分数：2.00）_设函数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，6)内二阶可导，且 （分数：4.00）(1).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f()；（分数：2.00）_(2).在(a，b)内至少存在一点 ，使得
5、f“()=f()（分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明：存在一点 a，b，使 （分数：2.00）_设 f(x)在区间-a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0，（分数：4.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（分数：2.00）_(2).证明：在-a，a上存在 ，使 （分数：2.00）_26.设 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 f(0).f(1)0，f(1)+ （分数：2.00）_27.f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导， （分数：2.00）_28.设 ab，证明：不等式 （分数：2.00）_29.设 f(
6、x)，g(x)在a，b上连续，且满足 （分数：2.00）_考研数学一（一元函数积分学）-试卷 1 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.由曲线 y= x(0x)与 x 轴围成的图形绕 x 轴旋转所成旋转体的体积为 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：3.抛物线 y 2 =2x 与直线 y=x-4 所围成的图形的面积为 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：选积分变量为 y(如图 13-2)，两条曲线的交点4.曲线
7、上相应于 x 从 3 到 8 的一段弧的长度为 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：11，分数：22.00)5.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf(x 2 )）解析：解析：6.设 n 是正整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析： 当 f(x)+f(a+b-x)便于积分时可简化定积分7.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.定积分中值定理的条件是 f(x)在a，b上连续，结论是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答
8、案：正确答案：在a，b上至少存在一点 ，使 ）解析：9.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 ，则 x=t 2 +2，dx=2tdt， 原积分= 11.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：12.反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.曲线 9y 2 =4x 3 上从 x=0 到 x=1 的一段弧的长度为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：
9、解析：曲线方程可化为 ，弧长元素14.由曲线 y=x 3 ，y=0 及 x=1 所围图形绕 z 轴旋转一周得到的旋转体的体积为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该旋转体体积15.函数 y=lnx 在区间1，e上的平均值为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：平均值三、解答题(总题数：16，分数：34.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：17.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 G(x)= 求得 G(x
10、)的原函数 F(x)= ，其中 C 为任意常数因为 f(x)，g(x)在a，b上连续，所以 F(x)：(1)在a，b上连续；(2)在(a，b)内可导；(3)F(a)=F(b)=C，即 F(x)在a，b上满足罗尔定理，所以，至少存在一个 (a，b)，使得 F“()=0，即 )解析：18.设 f(x)在区间0，1上连续，在(0，1)内可导，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由积分中值定理，得 令 F(x)= ，则 F(x)在 1 ，1上连续，在( 1 ，1)内可导，且 F(1)=f(1)= f( 1 )=F( 1 ) 由罗尔定理，在( 1 ，1)内至少有一点，使得 F“()= f“
11、()-2f()=0， 于是 f“()=2f()，( 1 ，1) )解析：19.设函数 f(x)有连续导数，F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(2a)-2F(a) )解析：20.f(x)在0，1上有连续导数，且 f(0)=0，证明：存在 0，1，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f“(x)在0，1上连续，所以，f“(x)在0，1上有最小值和最大值，设为m，M，即有 x 1 ，x 2 0，1，使 f“(x 1 )=m，f“(x 2 )=M 由中值定理，对任意 x0，1，存在(0，x)，使 f(x)=f(x)-f(0)=f“()x，于是有 f“(x 1 )x
12、=mxf(x)=f(x)-f(0)=f“()xMx=f“(x 2 )x， 因为 f“(x)在0，1上连续，由介值定理，必有 x 1 ，x 2 0，1，或 x 2 ，x 1 0，1，使 f“()= )解析：21.设 f(x)在a，b上连续且严格单调增加，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(t)= 因为 axt，且 f(x)在a，b上严格单调增加，所以 f(x)-f(t)0，于是有 即 F(t)单调递减，又 F(a)=0，所以 F(b)0，从而(a+b) )解析：22.设函数 f“(x)在a，b上连续，且 f(a)=0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为
13、f 2 (x)=f(x)-f(a) 2 = ，而 )解析：23.设 f(x)，g(x)在0，1上的导数连续，且 f(0)=0，f“(x)0，g“(x)0证明：对任何 a0，1，有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(a)= f(x)g“(x)dx-f(a)g(1)，a0，1，则 F“(a)=g(a)f“(a)-f“(a)g(1)=f(a)g(a)-g(1) 因为 x0，1时，f“(x)0，g“(x)0，即函数 f(x)，g(x)在0，1上单调递增，又 a1，所以 F“(a)=f“(a)g(a)-g(1)0， 即函数 F(a)在0，1上单调递减，又 )解析：24.设 f(x)在0，
14、上连续，在(0，)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先证明 f(x)在(0，)内必有零点 因为在(0，)内 f(x)连续，且sinx0，所以，若无零点，则恒有 f(x)0 或 f(x)0，从而有 ，与题设矛盾 所以，f(x)在(0，)内必有零点 下面证明 f(x)在(0，)内零点不唯一，即至少有两个零点用反证法假设 f(x)在(0，)内只有一个零点 x 0 ，则 f(x)在(0，x 0 )和(x 0 ，)上取不同的符号(且不等于零)，否则与 矛盾这样，函数 sin(x-x 0 )f(x)在(0，x 0 )和(x 0 ，)上取相同的符号，即恒正或恒负 那么有： )解析：设函
15、数 f(x)在a，b上有连续导数，在(a，6)内二阶可导，且 （分数：4.00）(1).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f()；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由加强型的积分中值定理知，至少存在一点 c(a，b)，使得 )解析：(2).在(a，b)内至少存在一点 ，使得 f“()=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)=e x f“(x)-f(x)，则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F( 1 )=F( 2 )=0，则 F“(x)=e x f“(x)-f“(x)+e x f“(x)-f(x)=e x f“(x)-f(x) 对 F(x
16、)在区间 1 ， 2 上应用罗尔定理，即存在 ( 1 ， 2 )，使得 F“()=0，故有 f“()=f()，且 i (i=1，2)解析：25.设 f(x)在a，b上连续，且 g(x)0，证明：存在一点 a，b，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)在a，b上连续，故 mf(c)M 因为 g(x)0，mg(x)f(x)g(x)Mg(x)，)解析：设 f(x)在区间-a，a(a0)上具有二阶连续导数，f(0)=0，（分数：4.00）(1).写出 f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意 x-a，a， )解析：(2).证明：在
17、-a，a上存在 ，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 f“(x)在-a，a上连续，由最值定理：mf“(x)M，x-a，a mx 2 f“()x 2 Mx 2 ， )解析：26.设 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 f(0).f(1)0，f(1)+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= =f(1)+f(c)=0，C(0，1)，由此可知 f(c)0，否则 f(1)=0，与题设 f(0)f(1)0 矛盾，不妨设 f(c)0，则 f(1)0，f(0)0 由连续函数的零点定理知存在a(0，c)，b(c，1)，使 f(a)=f(b)=0，即 F(a)=F(b)，由罗尔定理可知，存在 (a，b)，使 F“()=0，即 )解析：27.f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)=xe -x f(x)，因 f(1)= F(1)=e -1 f(1)=e - f()=F()， 故在，1 0，1上，对 F(x)运用罗尔定理，可得 (，1) )解析：28.设 ab，证明：不等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 )解析：29.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 xa，b)时， )解析：
