1、考研数学一（一元函数积分学）-试卷 6 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 F(x)= （分数：2.00）A.a 2 B.a 2 f(a)C.0D.不存在3.若连续函数 f(x)满足关系式 f(x)= （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x xln2C.e x +ln2D.e 2x +ln24.I= 0 1 ln 2 xdx 是( )（分数：2.00）A.定积分且值为B.定积分且值为C.反常积分且发散D.反常积分且值为5.数列极限 =(
2、) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 f(x)连续，且 0 1 f(xt)dt= （分数：2.00）A.1+B.2+CxsinxC.2+CxD.2+x7.若连续函数满足关系式 f(x)= +e，则 f(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 I 1 = （分数：2.00）A.I 1 I 2 1B.1I 1 I 2 C.I 2 I 1 1D.1I 2 I 19.积分 I= ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_11.已知f“(x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数)，则 f(
3、x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 a0，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_16.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数 (1)试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积，等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的梯
4、形面积 (2)又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 f“(x) （分数：2.00）_19.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图 33 所示)已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：1 N1 m=1 J，m，N，s，J 分别表示米，牛，秒，焦抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) （分数：2.00）_20.求 （分数：2.00）_21.过坐标原点作曲线 y=lnxc 的切线，
5、该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D (1)求 D 的面积4； (2)求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V。（分数：2.00）_22.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)汽锤第一次击打将桩打进地下 a m根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1)问 (1)汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深? (注：m 表示长度单位米)（分数：2.00）_23.如
6、图 34 所示，曲线 C 方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 0 3 (x+x)f“(x)dx （分数：2.00）_24.设 f(x)是连续函数 (1)利用定义证明函数 F(x)= 0 x f(t)dt 可导，且 F“(x)=f(x) (2)当 f(x)是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 G(x)=2 0 x f(t)dt 一 x 0 2 f(t)dt 也是以 2 为周期的周期函数（分数：2.00）_25.椭球面 S 1 是椭圆 =1
7、绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 2 是过点(4，0)且与椭圆 （分数：2.00）_26.(1)比较 0 1 lntln(1+t) n dt 与 0 1 t n lntdt(n=1，2，)的大小，说明理由 (2)记u n = 0 1 lntln(1+t) n dt(n=1，2，)，求极限 （分数：2.00）_27.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 f(b).cosb= （分数：2.00）_28.计算 （分数：2.00）_考研数学一（一元函数积分学）-试卷 6 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：18.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有
8、一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 F(x)= （分数：2.00）A.a 2 B.a 2 f(a) C.0D.不存在解析：解析：利用洛必达法则因3.若连续函数 f(x)满足关系式 f(x)= （分数：2.00）A.e x ln2B.e 2x xln2 C.e x +ln2D.e 2x +ln2解析：解析：在等式 f(x)= 0 2x f( )dt+ln2 两端对 x 求导，得 f“(x)=2f(x)，则 4.I= 0 1 ln 2 xdx 是( )（分数：2.00）A.定积分且值为B.定积分且值为 C.反常积分且发散D.反常积分且值为解析：解析：被积函数 f(x)=xln
9、2 x 虽在 x=0 无定义，但 =0，若补充定义 f(0)=0，则 f(x)在0，1连续，因而 0 1 xln 2 xdx 是定积分 5.数列极限 =( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由已知6.设 f(x)连续，且 0 1 f(xt)dt= （分数：2.00）A.1+B.2+CxsinxC.2+Cx D.2+x解析：解析：令 xt=u，则 du=x.dt，那么7.若连续函数满足关系式 f(x)= +e，则 f(x)=( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意 f(1)= 1 1 f(t 2 )dt+e，所以 f(1)=e 8.设 I 1 = （分数：
10、2.00）A.I 1 I 2 1B.1I 1 I 2 C.I 2 I 1 1D.1I 2 I 1解析：解析：9.积分 I= ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：这是无界函数反常积分，x=1 为瑕点，与求定积分一样，作变量替换 x=sint，其中 t，二、填空题(总题数：7，分数：14.00)10.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 4）解析：解析：11.已知f“(x 3 )dx=x 3 +C(C 为任意常数)，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：对等式f“(x 3 )dx=x 3 +C 两
11、边求导，得 f“(x 3 )=3x 2 令 t=x 3 12.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 x 一 1=sint，则14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 t=x 一 1 得15.设 a0，则 I= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题干可知，原式可化为16.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：原式可化为三、解答题(总题数：
12、12，分数：24.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.设 y=f(x)是区间0，1上的任一非负连续函数 (1)试证存在 x 0 (0，1)，使得在区间0，x 0 上以 f(x 0 )为高的矩形面积，等于在区间x 0 ，1上以 y=f(x)为曲边的梯形面积 (2)又设 f(x)在区间(0，1)内可导，且 f“(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)本题可转化为证明 x 0 f(x 0 )= f(x)dx令 (x)=一 x x 1 f(t)dt，则 (x)在闭区间0，1上是连续的，在开区间(0，1)上是可导的，又因为 (0)=(
13、1)=0，根据罗尔定理可知，存在 x 0 (0，1)，使得 “(x 0 )=0，即 )解析：19.为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口(如图 33 所示)已知井深 30m，抓斗自重 400N，缆绳每米重 50N，抓斗抓起的污泥重 2000N，提升速度为 3ms，在提升过程中，污泥以20Ns 的速率从抓斗缝隙中漏掉现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功?(说明：1 N1 m=1 J，m，N，s，J 分别表示米，牛，秒，焦抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作 x 轴如图 310 所示，将抓起污泥的抓斗提升
14、至井口需作功记为 W，当抓斗运动到 x 处时，作用力 f(x)包括抓斗的自重 400N，缆绳的重力 50(30 一 x)N，污泥的重力 2000.20(N)，即 )解析：20.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.过坐标原点作曲线 y=lnxc 的切线，该切线与曲线 y=lnx 及 x 轴围成平面图形 D (1)求 D 的面积4； (2)求 D 绕直线 x=e 旋转一周所得旋转体的体积 V。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设切点的横坐标为 x 0 ，则曲线 y=lnx 在点(x 0 ，lnx 0 )处的切线方程是 y=lnx 0 + (xx 0 ) 由该
15、切线过原点知 lnx 0 一 1=0，从而 x 0 =e，所以该切线的方程为 (2)切线 y= 与 x 轴及直线 x=e 所围成的三角形绕直线 x=e 旋转所得的圆锥体体积为 V 1 = e， 曲线 y=lnx 与 x 轴及直线 x=e 所围成的图形绕直线 x=e 旋转所得的旋转体体积为 V 2 = 0 1 (ee y ) 2 dy， 因此所求旋转体的体积为 V=V 1 一 V 2 = )解析：22.某建筑工程打地基时，需用汽锤将桩打进土层汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而作功设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为 k，k0)汽锤第一次击打将桩打进地下 a m根据设计
16、方案，要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0r1)问 (1)汽锤击打桩 3 次后，可将桩打进地下多深? (2)若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深? (注：m 表示长度单位米)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设第 n 次击打后，桩被打进地下 x n ，第 n 次击打时，汽锤所作的功为 W n (n=1，2，3，) 由题设，当桩被打进地下的深度为 x 时，土层对桩的阻力的大小为 kx，所以 )解析：23.如图 34 所示，曲线 C 方程为 y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点，直线 l 1 与 l 2 分别是曲线 C 在点(0，0)与(3，2
17、)处的切线，其交点为(2，4)设函数 f(x)具有三阶连续导数，计算定积分 0 3 (x+x)f“(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由图形知，f(0)=0，f“(0)=2；f(3)=2，f“(3)=一 2，f“(3)=0 由分部积分，知 0 3 (3(x 2 +x)f“(x)dx= 0 3 (x 2 +x)df“(x) =(x 2 +x)f“(x) 0 3 一 0 3 f“(x)(2x+1)dx =一 0 3 (2x+1)df“(x) =一(2x+1)f“(x) 0 3 +2 0 3 f“(x)dx=20)解析：24.设 f(x)是连续函数 (1)利用定义证明函数 F(x)
18、= 0 x f(t)dt 可导，且 F“(x)=f(x) (2)当 f(x)是以 2 为周期的周期函数时，证明函数 G(x)=2 0 x f(t)dt 一 x 0 2 f(t)dt 也是以 2 为周期的周期函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)证明：由导数定义可得 )解析：25.椭球面 S 1 是椭圆 =1 绕 x 轴旋转而成，圆锥面 S 2 是过点(4，0)且与椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由题意得 S 1 的方程为 )解析：26.(1)比较 0 1 lntln(1+t) n dt 与 0 1 t n lntdt(n=1，2，)的大小，说明理由 (2)记
19、u n = 0 1 lntln(1+t) n dt(n=1，2，)，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)令 f(t)=ln(1+t)一 t 当 0t1 时，f“(t)= 一 10，故当 0t1时，f(t)f(0)=0， 即当 0t1 时，0ln(1+t)t1，从而ln(1+t) n t n (n=1，2，) 又由lnt0 得 0 1 lntln(1+t) n dz 0 1 t n lntdt(n=1，2，) (2)由(1)知，0u n = 0 1 lntln(1+t) n dt 0 1 t n lntdt， 因为 )解析：27.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 f(b).cosb= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)在区间a，b上可导，知 f(x)在区间a，b上连续，从而 F(x)=f(x)cosx在a， )解析：28.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：使用分部积分法和换元积分法 )解析：
