1、考研数学一（多维随机变量及其分布）-试卷 1及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（分数：2.00）A.X 2 B.XYC.X+YD.(X，Y)3.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是（分数：2.00）A.maxF X (z)，F Y (z)B.F X (z)
2、+F Y (z)一 F X (z)F Y (z) C.F X (z).F Y (z) D.4.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 （分数：2.00）A.F 1 (x)+F 2 (x)B.C.D.5.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.(X，Y)一定服从正态分布D.(X，Y)未必服从正态分布6.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同
3、的分布C.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布7.已知随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)一 1x1，一 1y1上服从均匀分布，则（分数：2.00）A.PX+Y0=B.PXY0=C.Pmax(X，Y)0=D.Pmin(X，Y)0=8.设随机变量 X和 Y的联合概率分布服从 G=(x，y)x 2 +y 2 r 2 上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是（分数：2.00）A.随机变量 XB.随机变量 X+YC.随机变量 YD.Y关于 X=1的条件分布二、填空题(总题数：5，分数：10.00)9.设随机变量 X与 Y相互独立
4、同分布，且都服从 P= （分数：2.00）填空项 1:_10.假设随机变量 X与 Y相互独立，且 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_11.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_13.设(X，Y)N(，； 2 ， 2 ；0)，则 PXY= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_15.假设随机变量 X与 Y相
5、互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 PY=1= （分数：2.00）_16.已知随机变量 X服从参数为 1的指数分布，Y 服从标准正态分布，X 与 Y独立现对 X进行 n次独立重复观察，用 Z表示观察值大于 2的次数，求 T=Y+Z的分布函数 F T (t)（分数：2.00）_17.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X服从参数为 p的几何分布，即 PX=m=pq m1 ，m=1，2，0p1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： ()U=X+Y 的分布函数； ()V=XY的分布函数（分数：2.00）_18.汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车 A，B，C 同时进
6、入该加油站，假设 A、B 首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车 C加油假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为 的指数分布()求第三辆车 C在加油站等待加油时间 T的概率密度；()求第三辆车 C在加油站度过时间 S的概率密度（分数：2.00）_19.袋中有大小相同的 10个球，其中 6个红球，4 个白球，现随机地抽取两次，每次取一个，定义两个随机变量 X，Y 如下： （分数：2.00）_20.设二维随机变量(X，Y)的联合分布为 其中 a，b，c 为常数，且 EXY=01，PX0Y2=（分数：2.00）_21.假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)0x2，0
7、y1上服从均匀分布记 （分数：2.00）_22.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0y1，yxy+1内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断 X，Y 的独立性（分数：2.00）_23.设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：2.00）_24.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D上服从均匀分布，其中 D=(x，y)x+y1，x 一 y1，求 X的边缘密度 f X (x)与在 X=0条件下，关于 Y的条件密度 f YX (y0)（分数：2.00）_25.已知(X，Y)的概率分布为 ()求 Z=XY的概率分布； ()记 U 1 =XY，V 1 = （分数：2.00）_26.设随机变量
8、 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 f U (u)； ()V=XY的概率密度 f U (v)（分数：2.00）_27.设二维随机变量(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的联合概率密度分别为 （分数：2.00）_考研数学一（多维随机变量及其分布）-试卷 1答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X与 Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是（
9、分数：2.00）A.X 2 B.XYC.X+YD.(X，Y) 解析：解析：由 Y 4 =X 2 知，X 2 不服从均匀分布；应用独立和卷积公式可知，X+Y 与 XY都不服从均匀分布；由 X，Y 的独立性知，(X，Y)的联合密度 f(x，y)= 3.设随机变量 X与 Y相互独立，其分布函数分别为 F X (x)与 F Y (y)，则 Z=maxX，Y的分布函数 F Z (z)是（分数：2.00）A.maxF X (z)，F Y (z)B.F X (z)+F Y (z)一 F X (z)F Y (z) C.F X (z).F Y (z) D.解析：解析：F Z (z)=Pmax(X，Y)z=PXz
10、，Yz =PXz.PYz=F X (z).F Y (z)， 应选(C)4.设随机变量 X 1 与 X 2 相互独立，其分布函数分别为 （分数：2.00）A.F 1 (x)+F 2 (x)B.C.D. 解析：解析：由题意知 X 1 为离散型随机变量，其分布律为 F(x)=PX 1 +X 2 x =PX 1 =0PX 1 +X 2 xX 1 =0+PX 1 =1PX 1 +X 2 xX 1 =1 5.设随机变量 X和 Y都服从正态分布，则（分数：2.00）A.X+Y一定服从正态分布B.X和 Y不相关与独立等价C.(X，Y)一定服从正态分布D.(X，Y)未必服从正态分布 解析：解析：(A)不成立，例
11、如，若 Y=X，则 X+Y0 不服从正态分布(C)不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布(B)也不成立，因为只有当 X和 Y的联合分布是二维正态分布时“X 和 Y，独立”与“X 和 Y不相关”二者等价故应选(D)虽然随机变量 X和一 Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一 Y)未必服从正态分布6.已知随机变量 X 1 与 X 2 相互独立且有相同的分布：PX i =1=PX i =1= （分数：2.00）A.X 1 与 X 1 X 2 独立且有相同的分布 B.X 1 与 X 1 X 2 独立且有不同的分布C.X 1 与 X 1 X 2
12、 不独立且有相同的分布D.X 1 与 X 1 X 2 不独立且有不同的分布解析：解析：由题设知 X 1 X 2 可取1，1，且 PX 1 X 2 =1=PX 1 =1，X 2 =1+PX 1 =1，X 2 =1 =PX 1 =1PX 2 =1+PX 1 =1PX 2 =1 又 PX 1 =1，X 1 X 2 =1=PX 1 =1，X 2 =1= 所以 X 1 与 X 1 X 2 的概率分布为 7.已知随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)一 1x1，一 1y1上服从均匀分布，则（分数：2.00）A.PX+Y0=B.PXY0=C.Pmax(X，Y)0=D.Pmin(X，Y)0= 解析：解析：由
13、题设知(X，Y)的概率密度函数为 由于 Pmin(X，Y)0=PX0，Y0= f(x，y)dxdy 故选(D) 因 Pmax(X，Y)0=1Pmax(X，Y)0=1 一 PX0，Y08.设随机变量 X和 Y的联合概率分布服从 G=(x，y)x 2 +y 2 r 2 上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是（分数：2.00）A.随机变量 XB.随机变量 X+YC.随机变量 YD.Y关于 X=1的条件分布 解析：解析：排除法依题设，由于 X，Y 对称，(A)和(C)会同时成立，故应排除或利用计算，随机变量 X和 Y的联合概率密度为 当Xr 时，显然 f X (x)=0；当xr 时，有 二、填
14、空题(总题数：5，分数：10.00)9.设随机变量 X与 Y相互独立同分布，且都服从 P= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：显然 Z也是离散型随机变量，只取 0，1 两个值，且 PZ=0=Pmax(X，Y)=0=PX=0，Y=0=PX=0PY=0= PZ=1=1一 PZ=0= 于是 Z的分布律为10.假设随机变量 X与 Y相互独立，且 PX=k= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： Z=X+Y，的可能取值为一 2，一 1，0，1，2由于 Pz=2 =PX+Y=2=Px=1，Y=3=Px=1PY=3 于是 Z的分布律为
15、11.从数 1，2，3，4 中任取一个数，记为 X，再从 1，X 中任取一个数，记为 Y，则 PY=2= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于事件X=1，X=2，X=3，X=4是一个完备事件组，且 PX=i= ，i=1，2，3，4条件概率 PY=2X=1=0，PY=2X=i= ，i=2，3，4根据全概率公式 PY=2= PX=iPY=2X=i=12.设随机变量 X和 Y的联合分布函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数：F(x)=F(x，+)=F(x，1)，因此13
16、.设(X，Y)N(，； 2 ， 2 ；0)，则 PXY= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：PXY= dxdy三、解答题(总题数：14，分数：28.00)14.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：15.假设随机变量 X与 Y相互独立，如果 X服从标准正态分布，Y 的概率分布为 PY=1= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()依题意 PY=1= ，XN(0，1)且 X与 Y相互独立，于是 Z=XY的分布函数为 F Z (z)=PXYz=PY=1PXYzY=1+PY=1PXYzY=1 =PY=1P一 XzY=1+
17、PY=1PXz，Y=1 =PY=1PX一 z+PY=1PXz 即 Z=XY服从标准正态分布，其概率密度为 ()由于 V=XY只取非负值，因此当 v0 时，其分布函数 F V ()=PXYV=0；当 v0 时， F V ()=P一 vXYv =PY=1P一 vXYvY=1+PY=1P一 vXYvY=1 =(v 一 1)+(v+1)一 1 综上计算可得 由于 F V ()是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此 V的概率密度为 )解析：解析：由于 Y为离散型随机变量，X 与 Y独立，因此应用全概率公式可得分布函数，进而求得概率密度16.已知随机变量 X服从参数为 1的指数分布，Y 服从标准正态分布
18、，X 与 Y独立现对 X进行 n次独立重复观察，用 Z表示观察值大于 2的次数，求 T=Y+Z的分布函数 F T (t)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知 ZB(n，p)，其中 p=PX2= e x dx=e 2 ，即 ZB(n，e 2 )，又 X与 Y独立，故 Y与 Z独立，Z 为离散型随机变量，应用全概率公式可以求得 T=Y+Z的分布函数 F T (t)事实上，由于 Z=k=，所以，根据全概率公式可得 F T (t)=PY+Zt= PZ=kPY+ZtZ=k )解析：17.设随机变量 X与 Y相互独立，且 X服从参数为 p的几何分布，即 PX=m=pq m1 ，m=1，2，0
19、p1，q=1 一 p，Y 服从标准正态分布 N(0，1)求： ()U=X+Y 的分布函数； ()V=XY的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()根据全概率公式有 F V (u)=PUu=PX+Yu= PX=mPX+YuX=m ()F V ()=PVv=PXYv= Px=mPXYvX=m )解析：18.汽车加油站共有两个加油窗口，现有三辆车 A，B，C 同时进入该加油站，假设 A、B 首先开始加油，当其中一辆车加油结束后立即开始第三辆车 C加油假设各辆车加油所需时间是相互独立且都服从参数为 的指数分布()求第三辆车 C在加油站等待加油时间 T的概率密度；()求第三辆车 C在加油站
20、度过时间 S的概率密度（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：首先我们需要求出 T、S 与各辆车加油时间 X i (i=1，2，3)之间的关系假设第i辆车加油时间为 X i (i=1，2，3)，则 X i 独立同分布，且概率密度都为 依题意，第三辆车 C在加油站等待加油时间 T=min(X 1 ，X 2 )，度过时间=等待时间+加油时间，即 S=T+X 3 =min(X 1 ，X 2 )+X 3 ()由于 T=min(X 1 ，X 2 )，其中 X 1 与 X 2 独立，所以 T的分布函数 F T (t)=Pmin(X 1 ，X 2 )t=1 一 Pmin(X 1 ，X 2 )t=1 一 P
21、X 1 tPX 2 t T的密度函数 f T (t)= 即T=min(X 1 ，X 2 )服从参数为 2 的指数分布 ()S=T+X 3 =min(X 1 ，X 2 )+X 3 ，T 与 X 3 独立且已知其概率密度，由卷积公式求得 S的概率密度为 )解析：19.袋中有大小相同的 10个球，其中 6个红球，4 个白球，现随机地抽取两次，每次取一个，定义两个随机变量 X，Y 如下： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(X，Y)是二维离散型随机变量，其全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) ()有放回抽取，由于 X与 Y相互独立，则 PX=i，Y=j=PX=iPY=j
22、，i，j=0，1， PX=0，Y=0=PX=0PY=0=04 2 =016， PX=0，Y=1=PX=0PY=1=04.06=024， PX=1，Y=0=PX=1PY=0=06.04=024 PX=1，Y=1=PX=1PY=1=06 2 =036 ()不放回抽取， PX=i，Y=j=PX=iPY=jX=i，i，j=0，1， )解析：20.设二维随机变量(X，Y)的联合分布为 其中 a，b，c 为常数，且 EXY=01，PX0Y2=（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由联合分布性质，有 01+a+02+b+02+01+c=1，即 a+b+c=04 由 EXY=012a06+02+3c=
23、01 3c一 2a=04 由 ，得 3a 一 5c=07 联立，解方程组 得 a=01，b=01，c=02 ()由(X，Y)的联合分布 及Z=X+Y，可知 Z的取值为 0，1，2，3，4由于 PZ=0=PX=1，Y=1=01， PZ=1=PX=0，Y=1+PX=1，Y=2=01+01=02， PZ=2=PX=0，Y=2+PX=1，Y=3+PX=1，Y=1 =02+02=04 PZ=3=PX=0，Y=3+PX=1，Y=2=01， PZ=4=PX=1，Y=3=02， 从而得 Z的概率分布为 ()由 X，Y 的边缘分布可知 PZ=Y=PX+Y=Y=PX=0=03， PZ=X=PX+Y=X=PY=0=
24、( )解析：21.假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域 G=(x，y)0x2，0y1上服从均匀分布记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()(U，V)是二维离散型随机变量，只取(0，0)，(1，0)，(1，1)各值，且 PU=0，V=0=PXy，X2Y=PXY= PU=1，V=0=PXY，X2Y=PYX2Y= PU=1，V=1=PXY，X2Y=PX2Y= 于是(X，Y)的联合分布为 ()从()中分布表看出 EUV=PU=1，V=1= )解析：22.设二维随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)0y1，yxy+1内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断 X，Y 的独立性（分数：2.00）_
25、正确答案：(正确答案：依题意， )解析：23.设随机变量 X和 Y的联合密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()易见，当 x (0，1)时 f(x)=0；对于 0x1，有 ()事件“X 大于 Y”的概率 ()条件概率 )解析：24.设二维连续型随机变量(X，Y)在区域 D上服从均匀分布，其中 D=(x，y)x+y1，x 一 y1，求 X的边缘密度 f X (x)与在 X=0条件下，关于 Y的条件密度 f YX (y0)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：从图 32 可知，区域 D是以(一 1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，一 1)为顶点的正方形区域，其边长为 ，面积
26、S D =2，因此(X，Y)的联合密度是 根据公式 F YX (yx)= (F X (x)0)，当 x=0时，有 )解析：25.已知(X，Y)的概率分布为 ()求 Z=XY的概率分布； ()记 U 1 =XY，V 1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用矩阵法求解，由题设得 由此即得：()Z=XY 的概率分布 ()(U 1 ，V 1 )的概率分布为 ()(U 2 ，V 2 )的概率分布为 U 2 V 2 的概率分布为 )解析：26.设随机变量 X与 Y相互独立，且都在0，1上服从均匀分布，试求： ()U=XY 的概率密度 f U (u)； ()V=XY的概率密度 f U (v)（
27、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X与 Y相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出 U、V 的概率密度 ()分布函数法由题设知(X，Y)联合概率密度 所以 U=XY的分布函数为(如图 33) F U (u)=PXYu= f(x，y)dxdy 当 u0 时，F U (u)=0；当 u1 时，F U (u)=1；当 0u1 时， ()分布函数法由题设知 所以 y=X 一 Y的分布函数 F V ()=PXYv 当 v0 时，F V ()=0；当 v0 时， F V ()=PXYv=P一 vXYv = f(x，y)dxdy 由图 34 知，当 v1 时，F V ()=1；当 0v1 时， 其中 D=(x，y)：0x1，0y1，x 一 yv )解析：27.设二维随机变量(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的联合概率密度分别为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 得 k 1 =1； 又由 得 k 2 =2因此(X 1 ，Y 1 )与(X 2 ，Y 2 )的概率密度分别为 )解析：解析：(X i ，Y i )是二维连续型随机变量，在确定其联合概率密度中的未知参数时，应首先考虑用概率密度的性质
