1、考研数学一（大数定律和中心极限定理）-试卷 1及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，S n =X 1 +X 2 +X n ，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n充分大时 S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X 2 ，X n（分数：2.00）A.有相同期望和方差B.服从同一离散型分布C.服从同一均匀分布D.服从同一连续型分布3.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，相互独立且服从同参数 的泊松分布，
2、则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（分数：2.00）A.X 1 ，X 2 ，X n ，B.X 1 +1， X 2 +2， X n +n，C.X 1 ，2X 2 ，nX n ，D.X 1 ， 4.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立，根据辛钦大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.有相同的数学期望B.服从同一离散型分布C.服从同一泊松分布D.服从同一连续型分布5.设 X n 表示将一枚匀称的硬币随意投掷 n次其“正面”出现的次数，则 （分数：2.00）A.B.C.D.6.设随机变量 X的方差存在，并且满足不等式 PXEX3 （分数：2.00）A.DX=2B.PXEX3C
3、.DX2D.PXEX37.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.有相同的期望B.有相同的方差C.有相同的分布D.服从同参数 P的 0-1分布8.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X 2n 一 X 2n1 (n1)，根据大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布9.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当 n时以 (x)为极限的是 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设随机变量 X
4、 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 DX i =1，i=1，n，则对任意 0根据切比雪夫不等式直接可得 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.将一颗骰子连续重复掷 4次，以 X表示 4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P10X18 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X 1 ，X n 相互独立同分布，EX i =，DX i =8(i=1，2，n)，则概率 P 一4 p+4 1，其中 （分数：2.00）填空项 1:_13.已知随机变量 X与 Y的相关系数 = ，且 EX=EY，DX= DY，则根据切
5、比雪夫不等式有估计式PXY （分数：2.00）填空项 1:_14.将一枚骰子重复掷 n次，则当 n时，n 次掷出点数的算术平均值 （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立且都服从正态分布 N(， 2 )，记 Y n =X 2n X 2n1 ，根据辛钦大数定律，当 n时 （分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_17.设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16和 32次之间的概率 = 1（分
6、数：2.00）填空项 1:_18.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则 P0X+Y10 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，EX i = i ，DX i =2，i=1，2，则当n时， （分数：2.00）填空项 1:_20.随机从数集1，2，3，4，5中有返回的取出 n个数 X 1 ，X 2 ，X n ，则当 n时 X i 依概率收敛于 1； （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_2
7、2.对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量，假设其期望值为2，标准差是 13，计算在 100次轰炸中有 180颗到 220颗炸弹命中目标的概率（分数：2.00）_23.假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为 50克，标准差为 5克求：()100 个螺丝钉一袋的重量超过 51 千克的概率；()每箱螺丝钉装有 500袋，500 袋中最多有 4的重量超过 51 千克的概率（分数：2.00）_24.假设随机变量 X 1 ，X n 相互独立，服从同参数 的泊松分布记 S n = （分数：2.00）_25.假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为 ，标准差为 4求
8、 100名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(一 1，1)内的概率（分数：2.00）_26.一大袋麦种的发芽率为 80，从中任意取出 500粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏差不超过 2的概率（分数：2.00）_27.有 100道单项选择题，每个题中有 4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的规定选择正确得 1分，选择错误得 0分假设无知者对于每一个题都是从 4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过 40分的概率（分数：2.00）_28.设某种商品的合格率为 90，某单位要想给 100名职工每人一件这种商品试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 975的概率
9、保证每人都可以得到一件合格品?（分数：2.00）_考研数学一（大数定律和中心极限定理）-试卷 1答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，S n =X 1 +X 2 +X n ，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n充分大时 S n 近似服从正态分布，只要 X 1 ，X 2 ，X n（分数：2.00）A.有相同期望和方差B.服从同一离散型分布C.服从同一均匀分布 D.服从同一连续型分布解析：解析：因为
10、列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在显然 4个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在 选项(A)不成立，因为 X 1 ，X 2 ，X n 有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维-林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立3.假设随机变量 X 1 ，X 2 ，相互独立且服从同参数 的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（
11、分数：2.00）A.X 1 ，X 2 ，X n ，B.X 1 +1， X 2 +2， X n +n，C.X 1 ，2X 2 ，nX n ， D.X 1 ， 解析：解析：切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的显然无论是 X 1 ，X n ，还是 X 1 +1， X 2 +2， X n +n，X 1 ，2X 2 ，nX n ，以及 X 1 ， X n ，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在由于 EX n =，DX n =，E(X n +n)=+n，D(X n +n)=，E(nX n )=n，D(nX n )=n 2 ，E ， 因此
12、四个备选答案都满足第二个条件；第三个条件是方差 DX 1 ，DX n ，有公共上界，即 DX n c，c 是与 n无关的常数对于(A)：DX n =+1；对于(B)：D(X n +n)=DX n =+1；对于(C)：D(nX n )=n 2 DX n =n 2 没有公共上界；对于(D)：D 4.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立，根据辛钦大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.有相同的数学期望B.服从同一离散型分布C.服从同一泊松分布 D.服从同一连续型分布解析：解析：辛钦大数定律要求：X n ，n1；独立同分布且数学期望存在选项(A)缺少同分布条件，选项(B)、(D)虽然服从同一
13、分布但不能保证期望存在，因此选(C)5.设 X n 表示将一枚匀称的硬币随意投掷 n次其“正面”出现的次数，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：于 X n B(n， ，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有 6.设随机变量 X的方差存在，并且满足不等式 PXEX3 （分数：2.00）A.DX=2B.PXEX3C.DX2D.PXEX3 解析：解析：因事件XEX3是事件XEX3的对立事件，且题设 PXEX3，因此一定有 PXEX3 ，即选项(D)正确 进一步分析，满足不等式 PXEX3 的随机变量，其方差既可能不等于 2，亦可以等于 2，因此结论(A)与(C)都不能选比如
14、：X 服从参数为 p的 0-1分布，DX=pq1，显然 DX2，但是 PXEX3=P 因此(A)不成立 若 X服从参数 n=8，p=05 的二项分布，则有 EX=4，DX=2但是 PXEX3 =PX 一43 =PX=0+PX=1+PX=7+PX=8=7.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，则根据辛钦大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.有相同的期望B.有相同的方差C.有相同的分布D.服从同参数 P的 0-1分布 解析：解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立的条件之外，还要求 X 1 ，X 2 ，X n ，同分布与期望存在，只有选项
15、(D)同时满足后面的两个条件，应选(D)8.设随机变量 X 1 ，X n ，相互独立，记 Y n =X 2n 一 X 2n1 (n1)，根据大数定律，当 n时 （分数：2.00）A.数学期望存在B.有相同的数学期望与方差 C.服从同一离散型分布D.服从同一连续型分布解析：解析：由于 X n 相互独立，所以 Y n 相互独立选项(A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B) 事实上，若 EX n =，DX n = 2 存在，则 根据切比雪夫大数定律：对任意 0 有 即 9.设 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立且都服从参数
16、为 (0)的泊松分布，则当 n时以 (x)为极限的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由于 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E =nD 10.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且 DX i =1，i=1，n，则对任意 0根据切比雪夫不等式直接可得 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：由题意知 EX i =0，i=1，n记 根据切比雪夫不等式，有 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.将一颗骰子连续重复掷 4次，以 X表示 4次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P10X18
17、 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：以 X k (k=1，2，3，4)表示第 k次掷出的点数，则 X k 独立同分布：PX k =i= (i=1，2，6)所以 又由于 X=X 1 +X 2 +X 3 +X 4 ，而 X k (k=1，2，3，4)相互独立，所以 因此，根据切比雪夫不等式，有 P10X18=P一 4X 一 144=PX 一 144 =PXEX41 一 12.设随机变量 X 1 ，X n 相互独立同分布，EX i =，DX i =8(i=1，2，n)，则概率 P 一4 p+4 1，其中 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
18、*）解析：解析：由于 X 1 ，X n 相互独立同分布，因此有 E 应用切比雪夫不等式，有 即 P 一 4 13.已知随机变量 X与 Y的相关系数 = ，且 EX=EY，DX= DY，则根据切比雪夫不等式有估计式PXY （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 E(XY)=EXEY=0， D(XY)=DX+DY 一 2Cov(X，Y)= DY+DY一 2. 所以14.将一枚骰子重复掷 n次，则当 n时，n 次掷出点数的算术平均值 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：72）解析：解析：设 X 1 ，X 2 ，X n 是各次掷出的点数，它们显
19、然独立同分布，每次掷出点数的数学期望等于 216=72因此，根据辛钦大数定律， 15.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立且都服从正态分布 N(， 2 )，记 Y n =X 2n X 2n1 ，根据辛钦大数定律，当 n时 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 2）解析：解析：由于X n ，n1相互独立，故 Y n =X 2n 一 X 2n1 (n1)相互独立并且都服从 N(0，2 2 )，所以 ，n1独立同分布且 =DY n +(EY n ) 2 =2 2 ，根据辛钦大数定律，当 n时 16.设随机变量序列 X 1 ，X n ，相互独立且都在(一 1，1)上服从均
20、匀分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由于 X n 相互独立且都在(一 1，1)上服从均匀分布，所以 EX n =0，DX n = ，根据独立同分布中心极限定理，对任意 xR 有 17.设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100次，则试验成功的次数介于 16和 32次之间的概率 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：084）解析：解析：以 X表示“在 100次独立重复试验中成功的次数”，则 X服从参数为(n，p)的二项分布，其中 n=100，p=020，且 由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量
21、近似服从标准正态分布 N(0，1)因此试验成功的次数介于 16和 32次之间的概率18.设随机变量 X与 Y相互独立，且 XB(5，08)，YN(1，1)，则 P0X+Y10 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0928）解析：解析：由于 EX=4，DX=08，EY=1，DY=1，所以 E(X+Y)=EX+EY=5，D(X+Y)=DX+DY=18 根据切比雪夫不等式 P0X+Y10=PX+Y 一 551 一19.设随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，相互独立，EX i = i ，DX i =2，i=1，2，则当n时， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：
22、正确答案：0）解析：解析：由于 X 1 ，X 2 ，相互独立，其期望、方差都存在，且对所有 i=1，2，DY i =2l(l2)，因此根据切比雪夫大数定律，当 n时 20.随机从数集1，2，3，4，5中有返回的取出 n个数 X 1 ，X 2 ，X n ，则当 n时 X i 依概率收敛于 1； （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）填空项 1:_ （正确答案：11）解析：解析：依题意 X 1 ，X n 相互独立且有相同的概率分布：PX i =k= (k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望：EX i = (1+2+3+4+5)=3根据辛钦大数定律，当 n时， X i 依概
23、率收敛于 3 同理， (1+4+9+16+25)=11，当 n时 三、解答题(总题数：8，分数：16.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量，假设其期望值为2，标准差是 13，计算在 100次轰炸中有 180颗到 220颗炸弹命中目标的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设第 i次轰炸中命中目标的炸弹数为 X i ，100 次轰炸中命中目标的炸弹总数为X，则 X=X 1 +X 100 ，且 X 1 ，X 100 相互独立同分布EX i =2，DX i =13 2
24、 ，EX=200，DX=169应用独立同分布中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(200，169)，则有 P180X220 =PX 一 20020 =P )解析：23.假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为 50克，标准差为 5克求：()100 个螺丝钉一袋的重量超过 51 千克的概率；()每箱螺丝钉装有 500袋，500 袋中最多有 4的重量超过 51 千克的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()假设 X i 表示袋中第 z颗螺丝钉的重量，i=1，100，则 x 1 ，X 100 相互独立同分布，EX i =50，DX i =5 2 记一袋螺钉的重量为 S 100 ，则
25、 S 100 = X i ， ES 100 =5000，DS 100 =2500 应用列维.林德伯格中心极限定理可知 S 100 近似服从正态分 N(5000，50 2 )，且 PS 100 5100=1 一 PS 100 5100=1 一 P 1 一 (2)=002275 ()设 500袋中重量超过51 千克的袋数为 Y，则 Y服从参数 n=500，p=002275 的二项分布EY=11375，DY=11116应用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知 y近似服从参数 =11375， 2 =11116 的正态分布，于是 )解析：24.假设随机变量 X 1 ，X n 相互独立，服从同参数 的泊松分
26、布记 S n = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X i 服从泊松分布，故 EX i =DX i =，又因 X 1 ，X n 相互独立，所以 )解析：25.假设排球运动员的平均身高(单位：厘米)为 ，标准差为 4求 100名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(一 1，1)内的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 100名中第 i名运动员身高为 X i ，i=1，100，可以认为 X 1 ，X 2 ，X 100 相互独立同分布，且 EX i =，DX i =16， =016，应用独立同分布中心极限定理， 近似服从正态分布 N(，04 2 )，于是 )解
27、析：26.一大袋麦种的发芽率为 80，从中任意取出 500粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏差不超过 2的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 500粒麦种中发芽粒数为 X，则 X近似服从二项分布 B(500，08)由于n=500相当大，根据拉普拉斯中心极限定理 X近似服从正态分布 N(400，80)，于是有 )解析：27.有 100道单项选择题，每个题中有 4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的规定选择正确得 1分，选择错误得 0分假设无知者对于每一个题都是从 4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过 40分的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设
28、X表示 100个题中他能选对的题数，则 X服从二项分布 B(100，025)，从而EX=25，DX=1875，应用拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(25，1875)，于是 PX40=1一 PX40=1 一 P )解析：28.设某种商品的合格率为 90，某单位要想给 100名职工每人一件这种商品试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 975的概率保证每人都可以得到一件合格品?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设至少购买 n件，n 件中合格品数为 X，易见 X服从二项分布 B(n，09)，且n100，根据拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从二项分布 N(09n，009n)依题意 PX100=0975， 即 0975=PX100= 解方程 )解析：
