1、考研数学一-概率论与数理统计大数定律和中心极限定理及答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：9.00)1.设随机变量 X1，X 2，X n，独立同分布，EX i=(i=1，2，)，则根据切比雪夫大数定律，X1，X 2，X n，依概率收敛于 ，只要 X1，X 2，X n，（分数：1.00）A.共同的方差存在B.服从指数分布C.服从离散型分布D.服从连续型分布2.假设天平无系统误差将一质量为 10 克的物品重复进行称量，则可以断定“当称量次数充分大时，称量结果的算术平均值以接近于 1 的概率近似等于 10 克”，其理论根据是（分数：1.00）A.切比雪夫大数
2、定律B.辛钦大数定律C.伯努利大数定律D.中心极限定理3.下列命题正确的是（分数：1.00）A.由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律B.由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律C.由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律D.由伯努利大数定律可以得出切比雪夫大数定律4.设 X1，X n是相互独立的随机变量序列，X n服从参数为 n 的指数分布(n=1，2，)，则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是（分数：1.00）_5.假设随机变量序列 X1，X n独立同分布且 EXn=0，则 =（分数：1.00）A.B.C.D.6.设 Xn，n1 为相互独立的随机变量序列且都服从参数为 的指数分布，则
3、（分数：1.00）_7.设随机变量 X1，X n相互独立， ，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，S n近似服从正态分布，只要 X1，X n（分数：1.00）A.B.C.D.8.假设 X1，X n，为独立同分布随机变量序列，且 EXn=0，DX n= 2，则 =（分数：1.00）A.B.C.D.9.假设 Xn，n1 为随机变量序列， ，则当 n 充分大时，可以用正态分布作为 Sn的近似分布，如果（分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：4.00)10.设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为 0.05现在对 100 个这样的元件进行超负荷试验，以 X表示不
4、能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限定理 P5X10_（分数：1.00）填空项 1:_11.将一枚骰子重复掷 n 次，则当 n时，n 次掷出点数的算术平均值 （分数：1.00）填空项 1:_12.设随机变量序列 X1，X n，相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布， 则 （分数：1.00）填空项 1:_13.设 X1，X 2，X 100是独立同服从参数为 4 的泊松分布的随机变量， 是其算术平均值，则 P（分数：1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：7，分数：35.00)14.设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布，其平均使用寿命为 40 小时，在使用中，当一个元件
5、损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去，已知每个元件进价为 a 元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有 95%的把握保证一年够用(假定一年按 2000 个工作小时计算，(1.64)=0.95)（分数：5.00）_15.假设每人每次打电话通话时间 X(单位：分)服从参数为 l 的指数分布，试求 800 人次通话中至少有 3次超过 6 分钟的概率 ，并利用泊松定理与中心极限定理分别求出 的近似值(e -2=0.1353，e -6=0.00248，(0.707)=0.7611，(1.41)=0.9207)（分数：5.00）_16.假设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数
6、为 与 的指数分布，令 （分数：5.00）_17.编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 Xi= （分数：5.00）_18.已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 P ；PY=0= （分数：5.00）_19.已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 0-1 分布，即 PX=0=PX=1= ，PY=0=PY=1=，定义随机变量 （分数：5.00）_20.下列表格给出二维随机变量(X，Y)的联合分布、边缘分布的部分值，并已知 PX=-1|Y=1= ， ，试将其余数值填入空白处（分数：5.00）_考研数学一-概率论与数理统计大数定律和中心
7、极限定理答案解析(总分：48.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：9，分数：9.00)1.设随机变量 X1，X 2，X n，独立同分布，EX i=(i=1，2，)，则根据切比雪夫大数定律，X1，X 2，X n，依概率收敛于 ，只要 X1，X 2，X n，（分数：1.00）A.共同的方差存在 B.服从指数分布C.服从离散型分布D.服从连续型分布解析：分析 切比雪夫大数定律的条件是：方差存在且存在常数 C，使 DXiC(i=1，2，n，)由于各变量同分布，可见它们的方差都等于同一常数，从而切比雪夫大数定律的条件成立故应选(A)2.假设天平无系统误差将一质量为 10 克的物品重复进行称量
8、，则可以断定“当称量次数充分大时，称量结果的算术平均值以接近于 1 的概率近似等于 10 克”，其理论根据是（分数：1.00）A.切比雪夫大数定律B.辛钦大数定律 C.伯努利大数定律D.中心极限定理解析：分析 因为各次称量的结果可以视为独立同分布随机变量，其数学期望都等于 10 克，所以根据辛钦大数定律，当 n时，n 次称量结果的算术平均值*依概率收敛于其共同的数学期望 10 克：*故应选(B)3.下列命题正确的是（分数：1.00）A.由辛钦大数定律可以得出切比雪夫大数定律B.由切比雪夫大数定律可以得出辛钦大数定律C.由切比雪夫大数定律可以得出伯努利大数定律 D.由伯努利大数定律可以得出切比雪
9、夫大数定律解析：分析 服从切比雪夫大数定律的条件是：随机变量 X1，X 2，X n，两两独立，并且存在常数C，使 DXiC(i=1，2，n，)；这样的常数 C 对于选项(C)存在伯努利大数定律可以表述为：假设随机变量 X1，X 2，X n，独立同服从参数为 p 的 0-1 分布，则列于任意 0，都有*对于服从参数为 p 的 0-1 分布的随机变量 X1，X 2，X n，显然*从而满足服从切比雪夫大数定律的条件故应选(C)4.设 X1，X n是相互独立的随机变量序列，X n服从参数为 n 的指数分布(n=1，2，)，则下列随机变量序列中不服从切比雪夫大数定律的是（分数：1.00）_解析：分析 切
10、比雪夫大数定律要求“X n，n1是相互独立随机变量序列，且方差一致有界，即 D(Xn)C，C 为常数”依题意，X n5.假设随机变量序列 X1，X n独立同分布且 EXn=0，则 =（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 由题设条件及所求概率即知解答此题必须应用大数定律或中心极限定理，我们仪知“EXn=0”，因而考虑应用辛钦大数定律：*即*，取 =1，有*又*所以*，故选(D)6.设 Xn，n1 为相互独立的随机变量序列且都服从参数为 的指数分布，则（分数：1.00）_解析：分析 显然要应用独立同分布中心极限定理来判定由于X n独立同分布，且*=*，故*PYnx7.设随机变量 X1，X
11、 n相互独立， ，则根据列维-林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，S n近似服从正态分布，只要 X1，X n（分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 对*应用定理成立条件即知正确选项是(A)事实上，(A)中的*，故*，且*所以满足定理条件(B)中*，即 Xi服从柯西分布，由于*所以 EXi不存在，从而知*不存在，选项(B)不成立对选项(C)而言，由*，知*不存在，因而选项(C)不成立而选项(D)中的 Xi不是同分布，故*不是同分布，所以也不成立8.假设 X1，X n，为独立同分布随机变量序列，且 EXn=0，DX n= 2，则 =（分数：1.00）A.B.C. D.解析：分析 由题设
12、条件即知要应用中心极限定理计算相应的概率，即由*取 x=0，得*所以正确选项是(C)9.假设 Xn，n1 为随机变量序列， ，则当 n 充分大时，可以用正态分布作为 Sn的近似分布，如果（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析 由独立同分布中心极限定理的条件：X n独立、同分布且 EXn，DX n存在，即知正确选项是(D)事实上，(A)缺少 DXn存在条件；(B)缺少同分布条件；(C)虽然同分布，但*发散，故 EXn不存在，所以选择(D)二、填空题(总题数：4，分数：4.00)10.设某种电气元件不能承受超负荷试验的概率为 0.05现在对 100 个这样的元件进行超负荷试验，以 X表示不
13、能承受试验而烧毁的元件数，则根据中心极限定理 P5X10_（分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：0.4890）解析：分析 “电气元件不能承受超负荷试验”视为“试验成功”，p=0.05 是成功的概率，对 n=100 个元件进行超负荷试验，视为 n=100 次伯努利试验这样，不能承受试验而烧毁的元件数 X 是“试验成功的次数”，X 服从参数为(n，p)的二项分布根据棣莫弗-拉普拉斯定理，X 近似服从正态分布 N(np，npq)，其中 n=100，p=0.05，q=0.95从而，随机变量*近似服从标准正态分布因此*11.将一枚骰子重复掷 n 次，则当 n时，n 次掷出点数的算术平均值 （分数
14、：1.00）填空项 1:_ （正确答案：7/2）解析：分析 设 X1，X 2，X n是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望等于 7/2因此，根据辛钦大数定律，*依概率收敛于 7/212.设随机变量序列 X1，X n，相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布， 则 （分数：1.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：分析 由于 Xn相互独立且都在(-1，1)上服从均匀分布，所以*，根据独立同分布中心极限定理，对任意 xR 有*取*，得*13.设 X1，X 2，X 100是独立同服从参数为 4 的泊松分布的随机变量， 是其算术平均值，则 P（分数：1.00）填空项 1:_
15、 （正确答案：0.975）解析：分析 由于*因为 n=100 充分大，故由列维-林德伯格定理知，*近似地服从正态分布N(4，0.2 2)因此，有*三、解答题(总题数：7，分数：35.00)14.设某种元件使用寿命(单位：小时)服从参数为 的指数分布，其平均使用寿命为 40 小时，在使用中，当一个元件损坏后立即更换另一个新的元件，如此继续下去，已知每个元件进价为 a 元，试求在年计划中应为购买此种元件作多少预算，才可以有 95%的把握保证一年够用(假定一年按 2000 个工作小时计算，(1.64)=0.95)（分数：5.00）_正确答案：(假设一年需要 n 个元件，则预算经费为 na(元)，如果
16、每个元件使用寿命为 Xi，则 n 个元件使用寿命为*，依题意 n 应使得*，其中 Xi独立同分布(都服从参数为 的指数分布)，*为求得 n需要知道*的分布，根据独立同分布中心极限定理，当 n 充分大时，*近似服从正态分布 N(40n，40 2n)，因此 n 应使*而 (1.64)=0.95，所以*解得 n63.04故年计划预算最少应为 64a(元)解析：15.假设每人每次打电话通话时间 X(单位：分)服从参数为 l 的指数分布，试求 800 人次通话中至少有 3次超过 6 分钟的概率 ，并利用泊松定理与中心极限定理分别求出 的近似值(e -2=0.1353，e -6=0.00248，(0.70
17、7)=0.7611，(1.41)=0.9207)（分数：5.00）_解析：16.假设随机变量 X 与 Y 相互独立，且分别服从参数为 与 的指数分布，令 （分数：5.00）_正确答案：(由题设知(X，Y)的联合密度函数*所以 Z 的概率分布为*即*，其分布函数*)解析：17.编号为 1，2，3 的三个球随意放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，每盒仅放一个球，令 Xi= （分数：5.00）_解析：18.已知随机变量 X，Y 的概率分布分别为 P ；PY=0= （分数：5.00）_解析：19.已知随机变量 X 与 Y 相互独立且都服从参数为 的 0-1 分布，即 PX=0=PX=1= ，PY=0
18、=PY=1=，定义随机变量 （分数：5.00）_正确答案：(由于(X，Y)是二维离散随机变量，故由边缘分布及相互独立可求得联合分布；应用解题一般模式，即可求得 Z 及(X，Z)的分布，进而判断 X、Z 是否独立由题设知*，将其写成矩阵形式，求 Z、(X，Z)的分布：*因*，故 X 与 Z 独立)解析：20.下列表格给出二维随机变量(X，Y)的联合分布、边缘分布的部分值，并已知 PX=-1|Y=1= ， ，试将其余数值填入空白处（分数：5.00）_正确答案：(这是一道考查离散型随机变量联合分布、边缘分布与条件分布之间关系的题目，应用它们之间的关系式不难求得其余数值首先将表格中空白处用字母填上(见下表)*(1)由 a+0.1=0.2，故 a=0.1(2)已知*，即*，解得 d=0.1又*，由此得 2b=3c(3)由于 0.2+b+c+0.2+d=0.5+b+c=1，所以 b+c=0.5，又 2b=3c，解得 c=0.2，b=0.3综上计算得最终结果*)解析：
