1、考研数学一（大数定律和中心极限定理）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立，S n=X1+X2+Xn，则根据列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时 Sn 近似服从正态分布，只要 X1，X 2，X n（A）有相同期望和方差（B）服从同一离散型分布（C）服从同一均匀分布（D）服从同一连续型分布2 假设随机变量 X1，X 2，相互独立且服从同参数 的泊松分布，则下面随机变量序列中不满足切比雪夫大数定律条件的是（A）X 1，X 2，X n，（B） X1+1， X 2+2， Xn+n，（C） X1，2X
2、 2，nX n，（D）X 1， Xn，3 设随机变量序列 X1，X n，相互独立，根据辛钦大数定律，当 n时Xi 依概率收敛于其数学期望，只要X n，n1（A）有相同的数学期望（B）服从同一离散型分布（C）服从同一泊松分布（D）服从同一连续型分布4 设 Xn 表示将一枚匀称的硬币随意投掷 n 次其“正面”出现的次数，则5 设随机变量 X 的方差存在，并且满足不等式 PXEX3 ，则一定有（A）DX=2（B） PX EX3（C） DX2（D）PXEX36 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，则根据辛钦大数定律，当 n时 Xi 依概率收敛于其数学期望，只要X n，n1（A）有相同的期望
3、（B）有相同的方差（C）有相同的分布（D）服从同参数 P 的 0-1 分布7 设随机变量 X1，X n，相互独立，记 Yn=X2n 一 X2n1 (n1)，根据大数定律，当 n时 依概率收敛到零，只要X n，n1（A）数学期望存在（B）有相同的数学期望与方差（C）服从同一离散型分布（D）服从同一连续型分布8 设 X1，X 2，X n，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当n时以 (x)为极限的是9 设随机变量 X1，X 2，X n 相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且DXi=1，i=1 ，n，则对任意 0根据切比雪夫不等式直接可得二、填空题10 将一颗骰子连续重复掷 4 次，以 X
4、表示 4 次掷出的点数之和，则根据切比雪夫不等式，P10X18_11 设随机变量 X1，X n 相互独立同分布，EX i=，DX i=8(i=1，2，n)，则概率 P 一 4 p+4_，其中12 已知随机变量 X 与 Y 的相关系数 = ，且 EX=EY，DX= DY，则根据切比雪夫不等式有估计式 P XY _13 将一枚骰子重复掷 n 次，则当 n时，n 次掷出点数的算术平均值 依概率收敛于_14 设随机变量序列 X1，X n，相互独立且都服从正态分布 N(， 2)，记Yn=X2nX 2n1 ，根据辛钦大数定律，当 n 时 依概率收敛于_15 设随机变量序列 X1，X n，相互独立且都在(一
5、 1，1)上服从均匀分布，则Xi1)=_(结果用标准正态分布函数 (x)表示)16 设随机试验成功的概率 p=020，现在将试验独立地重复进行 100 次，则试验成功的次数介于 16 和 32 次之间的概率 =_17 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 XB(5，08)，Y N(1，1)，则P0X+Y10_18 设随机变量序列 X1，X 2，X n，相互独立，EXi=i，DX i=2，i=1，2，则当 n 时， (Xi 一 i)依概率收敛于_19 随机从数集1，2，3， 4，5 中有返回的取出 n 个数 X1，X 2，X n，则当n时 Xi 依概率收敛于_； 依概率收敛于_三、解答题解答应写
6、出文字说明、证明过程或演算步骤。20 对某一目标进行多次同等规模的轰炸，每次轰炸命中目标的炸弹数目是个随机变量，假设其期望值为 2，标准差是 13，计算在 100 次轰炸中有 180 颗到 220 颗炸弹命中目标的概率21 假设某种型号的螺丝钉的重量是随机变量，期望值为 50 克，标准差为 5 克求：()100 个螺丝钉一袋的重量超过 51 千克的概率；()每箱螺丝钉装有 500 袋，500 袋中最多有 4的重量超过 51 千克的概率22 假设随机变量 X1，X n 相互独立，服从同参数 的泊松分布记Sn= Xi+n，当 n 充分大时，求 Sn 的近似分布23 假设排球运动员的平均身高(单位：
7、厘米)为 ，标准差为 4求 100 名排球运动员的平均身高与所有排球运动员平均身高之差在(一 1，1)内的概率24 一大袋麦种的发芽率为 80，从中任意取出 500 粒进行发芽试验，计算其发芽率的偏差不超过 2的概率25 有 100 道单项选择题，每个题中有 4 个备选答案，且其中只有一个答案是正确的规定选择正确得 1 分，选择错误得 0 分假设无知者对于每一个题都是从 4 个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过 40 分的概率26 设某种商品的合格率为 90，某单位要想给 100 名职工每人一件这种商品试求：该单位至少购买多少件这种商品才能以 975的概率保证每人都可以得
8、到一件合格品?考研数学一（大数定律和中心极限定理）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为列维一林德伯格中心极限定理的条件是，X 1，X 2，X n 独立同分布而且各个随机变量的数学期望和方差存在显然 4 个选项中只有选项(C)满足此条件：均匀分布的数学期望和方差都存在 选项(A)不成立，因为X1，X 2，X n 有相同期望和方差，但未必有相同的分布，所以不满足列维-林德伯格中心极限定理的条件；而选项(B)和(D)虽然满足同分布，但数学期望和方差未必存在，因此也不满足列维一林德伯格中心极限定理的条件，故选项(B
9、)和(D)一般也不能保证中心极限定理成立【知识模块】 大数定律和中心极限定理2 【正确答案】 C【试题解析】 切比雪夫大数定律的条件有三个：第一个条件要求构成随机变量序列的各随机变量是相互独立的显然无论是 X1， ，X n，还是 X1+1， X2+2， ， X n+n，X 1，2X 2，nX n，以及 X1， Xn，都是相互独立的；第二个条件要求各随机变量的期望与方差都存在由于EXn=，DX n=，E(X n+n)=+n，D(X n+n)=，E(nX n)=n，D(nX n)=n2，E， 因此四个备选答案都满足第二个条件；第三个条件是方差 DX1，DX n，有公共上界，即 DXnc，c 是与
10、n 无关的常数对于(A)：DXn=+1；对于(B) ：D(X n+n)=DXn=+1；对于(C)：D(nX n)=n2DXn=n2 没有公共上界；对于(D) ：D +1 综上分析，只有(C) 中方差不满足方差一致有界的条件，因此应选(C)【知识模块】 大数定律和中心极限定理3 【正确答案】 C【试题解析】 辛钦大数定律要求：X n，n1 ；独立同分布且数学期望存在选项(A)缺少同分布条件，选项(B)、(D) 虽然服从同一分布但不能保证期望存在，因此选(C)【知识模块】 大数定律和中心极限定理4 【正确答案】 C【试题解析】 于 XnB(n， ，因此根据“二项分布以正态分布为极限分布”定理，有故
11、选(C)【知识模块】 大数定律和中心极限定理5 【正确答案】 D【试题解析】 因事件 X EX3是事件 XEX3的对立事件，且题设PXEX 3 ，因此一定有 PXEX3 ，即选项(D)正确进一步分析，满足不等式 P XEX3 的随机变量，其方差既可能不等于 2，亦可以等于 2，因此结论(A)与(C) 都不能选比如： X 服从参数为 p 的 0-1 分布，DX=pq1，显然 DX2，但是 PXEX3=P 因此(A) 不成立若 X 服从参数 n=8， p=05 的二项分布，则有 EX=4，DX=2但是 PX EX3 =P X 一 43 =PX=0+PX=1+PX=7+PX=8= 因此(B)也不成立
12、【知识模块】 大数定律和中心极限定理6 【正确答案】 D【试题解析】 由于辛钦大数定律除了要求随机变量 X1，X 2，X n，相互独立的条件之外，还要求 X1，X 2，X n，同分布与期望存在，只有选项 (D)同时满足后面的两个条件，应选(D)【知识模块】 大数定律和中心极限定理7 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Xn 相互独立，所以 Yn 相互独立选项 (A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在 ”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B) 事实上，若 EXn=，DX n=2 存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意 0 有 即依概率收敛到零【知识模块】 大数定
13、律和中心极限定理8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X1，X 2，X n，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E =nD 以 (x)为极限，故应选(C) 【知识模块】 大数定律和中心极限定理9 【正确答案】 C【试题解析】 由题意知EXi=0， i=1，n 记 根据切比雪夫不等式，有 故选(C)【知识模块】 大数定律和中心极限定理二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 以 Xk(k=1，2，3，4)表示第 k 次掷出的点数，则 Xk 独立同分布：PXk=i= (i=1，2，6)所以又由于X=X1+X2+X3+X4，而 Xk(k=1，2，3，4)相互独立，所以因此，根据切比雪夫不等式
14、，有P10X18=P一 4X 一 144=PX 一 144=PX EX41 一【知识模块】 大数定律和中心极限定理11 【正确答案】 【试题解析】 由于 X1，X n 相互独立同分布，因此有 E 应用切比雪夫不等式，有 即 P 一4【知识模块】 大数定律和中心极限定理12 【正确答案】 【试题解析】 由于 E(XY)=EXEY=0，D(XY)=DX+DY 一 2Cov(X，Y)= DY+DY 一 2. 所以【知识模块】 大数定律和中心极限定理13 【正确答案】 72【试题解析】 设 X1，X 2，X n 是各次掷出的点数，它们显然独立同分布，每次掷出点数的数学期望等于 216=72因此，根据辛
15、钦大数定律， 依概率收敛于 72【知识模块】 大数定律和中心极限定理14 【正确答案】 2 2【试题解析】 由于X n，n1相互独立，故 Yn=X2n 一 X2n1 (n1)相互独立并且都服从 N(0，2 2)，所以 ，n1 独立同分布且 =DYn+(EYn)2=22，根据辛钦大数定律，当 n 时 依概率收敛于 22【知识模块】 大数定律和中心极限定理15 【正确答案】 【试题解析】 由于 Xn 相互独立且都在 (一 1，1)上服从均匀分布，所以EXn=0，DX n= ，根据独立同分布中心极限定理，对任意 xR 有【知识模块】 大数定律和中心极限定理16 【正确答案】 084【试题解析】 以
16、X 表示“在 100 次独立重复试验中成功的次数 ”，则 X 服从参数为(n，p)的二项分布，其中 n=100，p=020，且由棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，知随机变量 近似服从标准正态分布 N(0，1)因此试验成功的次数介于 16 和 32 次之间的概率 (3)一 (一 1)=(3)一1 一 (1)=09987 一(1 一 08413)=0 84，其中 (u)是标准正态分布函数【知识模块】 大数定律和中心极限定理17 【正确答案】 0928【试题解析】 由于 EX=4，DX=08，EY=1 ，DY=1 ，所以 E(X+Y)=EX+EY=5， D(X+Y)=DX+DY=18 根据切比雪夫不等式
17、P0 X+Y 10=PX+Y 一 551 一 即 P0 X+Y100928【知识模块】 大数定律和中心极限定理18 【正确答案】 0【试题解析】 由于 X1，X 2，相互独立，其期望、方差都存在，且对所有i=1，2，DY i=2l(l 2)，因此根据切比雪夫大数定律，当 n时 (Xi 一i)依概率收敛于 0【知识模块】 大数定律和中心极限定理19 【正确答案】 3 11【试题解析】 依题意 X1，X n 相互独立且有相同的概率分布：PX i=k= (k=1，2，3，4，5)，与相同的数学期望： EXi= (1+2+3+4+5)=3根据辛钦大数定律，当 n 时， Xi 依概率收敛于 3同理，(1
18、+4+9+16+25)=11，当 n时 依概率收敛于 11【知识模块】 大数定律和中心极限定理三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设第 i 次轰炸中命中目标的炸弹数为 Xi，100 次轰炸中命中目标的炸弹总数为 X，则 X=X1+X100，且 X1，X 100 相互独立同分布EX i=2，DX i=13 2，EX=200，DX=169 应用独立同分布中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(200，169)，则有 P180X220 =PX 一 20020 =P2(154)一 1=0876【知识模块】 大数定律和中心极限定理21 【正确答案】 () 假设 Xi 表
19、示袋中第 z 颗螺丝钉的重量，i=1，100，则x1，X 100 相互独立同分布，EX i=50，DX i=52记一袋螺钉的重量为 S100，则S100= Xi， ES 100=5000，DS 100=2500应用列维.林德伯格中心极限定理可知 S100近似服从正态分 N(5000，50 2)，且 PS1005100=1 一 PS1005100=1 一 P1 一 (2)=002275() 设 500 袋中重量超过 51 千克的袋数为 Y，则 Y 服从参数 n=500，p=0 02275 的二项分布EY=11375，DY=11116应用棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理，可知 y 近似服从参数 =11
20、375， 2=11116 的正态分布，于是(259)=0 995【知识模块】 大数定律和中心极限定理22 【正确答案】 由于 Xi 服从泊松分布，故 EXi=DXi=，又因 X1，X n 相互独立，所以 根据独立同分布的列维一林德伯格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 一 n 近似服从正态分布 N(n，n)，因此 Sn 近似服从正态分布 N(n+n，n)【知识模块】 大数定律和中心极限定理23 【正确答案】 设 100 名中第 i 名运动员身高为 Xi，i=1 ，100，可以认为X1，X 2，X 100 相互独立同分布，且 EXi=，DX i=16，=016，应用独立同分布中心极限定理，
21、近似服从正态分布 N(，04 2)，于是2(25)一1=09876 【知识模块】 大数定律和中心极限定理24 【正确答案】 设 500 粒麦种中发芽粒数为 X，则 X 近似服从二项分布B(500，08)由于 n=500 相当大，根据拉普拉斯中心极限定理 X 近似服从正态分布 N(400，80) ，于是有【知识模块】 大数定律和中心极限定理25 【正确答案】 设 X 表示 100 个题中他能选对的题数，则 X 服从二项分布B(100，025)，从而 EX=25，DX=18 75，应用拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从正态分布 N(25，1875)，于是 PX40=1 一 PX40=1 一 P1 一 (346)=00003【知识模块】 大数定律和中心极限定理26 【正确答案】 设至少购买 n 件，n 件中合格品数为 X，易见 X 服从二项分布B(n，09) ，且 n100，根据拉普拉斯中心极限定理，X 近似服从二项分布N(09n ，009n) 依题意 PX100=0975，即 0975=PX100=解方程 n1 19【知识模块】 大数定律和中心极限定理
