1、考研数学一（无穷级数）-试卷 6 及答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.级数 （分数：2.00）A.收敛B.发散C.条件收敛D.绝对收敛3.当x1 时，级数 （分数：2.00）A.ln(1-x)B.C.ln(x-1)D.-ln(x 一 1)4.函数 （分数：2.00）A.周期为 2l 的延拓B.偶延拓C.周期为 l 的延拓D.奇延拓5.函数项级数 （分数：2.00）A.(-1，1)B.(-1，0)C.一 1，0D.一 1，0)6.设 f(x)=x 2
2、(0x1)，而 其中 b n = （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知级数(1) 和级数(2) （分数：2.00）A.级数(1)收敛，级数(2)发散B.级数(1)发散，级数(2)收敛C.两级数都收敛D.两级数都发散8.当级数 （分数：2.00）A.一定条件收敛B.一定绝对收敛C.一定发散D.可能收敛，也可能发散9.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关10.若正项级数 （分数：2.00）A.必收敛B.必发散C.必收敛D.必发散11.设数列a n 单调减少， 无界，则幂级数 （分数：2.00）A.(-1，1B.一 1，1)C.0，2)D.(0，212
3、.设 u n 0(n=1，2，)，且 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D.敛散性由所给条件无法确定二、填空题(总题数：12，分数：24.00)13.若将 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 （分数：2.00）填空项 1:_15.正项级数 （分数：2.00）填空项 1:_16.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_17.e x 展开成 x-3 的幂级数为 1（分数：2.00）填空项 1:_18.设 （分数：2.00）填空项 1:_19.级数 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_填空项 1:_20.若 （分数：2.00）填空项 1:_21.幂级数 （分数：2.0
4、0）填空项 1:_22.函数 在-，上展开傅里叶级数 （分数：2.00）填空项 1:_23.设 （分数：2.00）填空项 1:_24.设 f(x)在区间一 ，上连续且满足 f(x+)=一 f(x)，则 f(x)的傅里叶系数 a 2n = 1.（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：21，分数：42.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_26.设 （分数：2.00）_27.求级数 （分数：2.00）_28.设函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，且 f(x)=e ax (0x2)，其中 a0，试将 f(x)展开成傅里叶级数，并求数值级数 （
5、分数：2.00）_29.判断下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_30.设 都是正项级数试证： (1)若 收敛； (2)若 收敛，且 u n 单调减少，则 收敛； (3)若 都收敛； (4)若 （分数：2.00）_31.设 证明：级数 （分数：2.00）_32.试判断级数 （分数：2.00）_33.设 ，是正项级数，并设 (1)求证：若 （分数：2.00）_34.根据阿贝尔定理，已知 （分数：2.00）_35.设幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=2b 处发散，求幂级数 的收敛半径 R 与收敛域，并分别求幂级数 （分数：2.00）_36.将 y=sinx 展开为 （分数：2.00）_37
6、.将 （分数：2.00）_38.设 (1)将 f(x)展开为 x 的幂级数；(2)分别判断级数 （分数：2.00）_39.设 证明：级数 （分数：2.00）_40.(1)证明： (2)求 （分数：2.00）_41.求级数 （分数：2.00）_42.(1)求函数项级数 e -x +2e -2x +ne -nx +收敛时 x 的取值范围；(2)当上述级数收敛时，求其和函数 S(x)，并求 （分数：2.00）_43.设数列a n 满足 a 1 =a 2 1，且 a n+1 =a n +a n-1 ，n=2，3， 证明：在 时幂级数 （分数：2.00）_44.设 (1)求 y(0)，y “ (0)，并
7、证明：(1 一 x 2 )y “ 一 xy “ =4；(2)求 的和函数及级数 （分数：2.00）_45.(1)证明：等式 (2)求级数 （分数：2.00）_考研数学一（无穷级数）-试卷 6 答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：12，分数：24.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.级数 （分数：2.00）A.收敛B.发散C.条件收敛 D.绝对收敛解析：解析：3.当x1 时，级数 （分数：2.00）A.ln(1-x)B. C.ln(x-1)D.-ln(x 一 1)解析：解析：4.函数 （分数：2.00
8、）A.周期为 2l 的延拓B.偶延拓 C.周期为 l 的延拓D.奇延拓解析：解析：当 f(x)在-l，l上为偶函数，且满足收敛定理的条件时，则 f(x)可在一 l，l上的连续区间上展开成余弦级数，故对0，l上的 f(x)要进行偶延拓5.函数项级数 （分数：2.00）A.(-1，1)B.(-1，0)C.一 1，0D.一 1，0) 解析：解析：6.设 f(x)=x 2 (0x1)，而 其中 b n = （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由 表达式可知，b n 是将 f(x)进行奇延拓后的函数按周期为 2 展开的傅里叶系数，S(x)是其相应的傅里叶级数的和函数，将 f(x)进行周期为
9、2 的奇延拓得 F(x)，S(x)为 F(x)的傅里叶级数的和函数因 处 F(x)连续，故由狄利克雷定理可知 7.已知级数(1) 和级数(2) （分数：2.00）A.级数(1)收敛，级数(2)发散B.级数(1)发散，级数(2)收敛C.两级数都收敛D.两级数都发散 解析：解析：设 则u 2n 为单调增数列，故 0，从而级数(1)发散，由级数 8.当级数 （分数：2.00）A.一定条件收敛B.一定绝对收敛 C.一定发散D.可能收敛，也可能发散解析：解析：因级数 都为正项级数，且收敛，又 由比较审敛法9.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与 a 有关 解析：解析：当
10、a=0 时， 为交错级数，当 n3 时满足莱布尼茨定理，所以收敛当 a=1 时，的一般项10.若正项级数 （分数：2.00）A.必收敛B.必发散C.必收敛 D.必发散解析：解析：级数 存在 N，当 nN 时，a n 2 a n ，由比较审敛法， 11.设数列a n 单调减少， 无界，则幂级数 （分数：2.00）A.(-1，1B.一 1，1)C.0，2) D.(0，2解析：解析：本题主要考查交错级数的莱布尼茨判别法和幂级数的收敛区间、收敛域的概念，是一道综合了多个知识点的考题因数列a n 单调减少， ,故根据莱布尼茨判别法知，交错级数 收敛，即幂级数 在 x=0 处条件收敛；又 在 x=2 处发
11、散；综上，幂级数 12.设 u n 0(n=1，2，)，且 （分数：2.00）A.发散B.绝对收敛C.条件收敛 D.敛散性由所给条件无法确定解析：解析：由 所考查级数为交错级数，但不能保证 的单调性，不满足莱布尼茨定理的条件，于是按定义考查部分和二、填空题(总题数：12，分数：24.00)13.若将 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据狄利克雷收敛定理(需进行奇延拓)，14.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：15.正项级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：有界(或有上界)）解析：解析：级
12、数 收敛等价于S n 收敛对于正项级数 16.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1，1）解析：解析：17.e x 展开成 x-3 的幂级数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：e=e 3+(x-3) =e 3 .e -3 ，因 18.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由狄利克雷收敛定理及 f(x)的周期性可知，不管 f(x)在 x= 处是连续还是间断，其傅里叶级数的和 S()都可用 统一表示因 f() - =一 5，f(一 + )= x=-x = 2 故 19.级数 （分数：2.
13、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：p1）填空项 1:_ （正确答案：0p1）填空项 1:_ （正确答案：p0）解析：解析：20.若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：因 在 x=一 3 收敛，故由阿贝尔定理，x3 时， 绝对收敛又因 在 x=一 3 条件收敛，故x3 时， 发散如若不然，必存在 x 1 ，使x 1 3 且有在x=x 1 处 收敛由阿贝尔定理便可推出xx 1 时，特别是 x=一 3 时 21.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：22.函数 在-，上展开傅里叶级数 （分数：2.00）填空项
14、1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：f(x)在一 ，上满足狄利克雷收敛定理条件，进行周期延拓得 F(x)，有 F(x)f(x)，x-，由收敛定理可知：23.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：24.设 f(x)在区间一 ，上连续且满足 f(x+)=一 f(x)，则 f(x)的傅里叶系数 a 2n = 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：三、解答题(总题数：21，分数：42.00)25.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：26.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
15、：令 x=n 一 t，则 )解析：27.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28.设函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，且 f(x)=e ax (0x2)，其中 a0，试将 f(x)展开成傅里叶级数，并求数值级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.判断下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.设 都是正项级数试证： (1)若 收敛； (2)若 收敛，且 u n 单调减少，则 收敛； (3)若 都收敛； (4)若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 证明：级数 （分数：2.00
16、）_正确答案：(正确答案： )解析：32.试判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.设 ，是正项级数，并设 (1)求证：若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：34.根据阿贝尔定理，已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据阿贝尔定理，(1)(2)是显然的对于(3)，因幂级数 在点 x 1 处收敛，则 Rx 1 一 x 0 ；另一方面，因幂级数 )解析：35.设幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=2b 处发散，求幂级数 的收敛半径 R 与收敛域，并分别求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定
17、义即知 的收敛半径R=b，其收敛域为一bxb注意到幂级数 )解析：36.将 y=sinx 展开为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：37.将 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果此题这样做： 是行不通的改用“先积后导”的方法： )解析：38.设 (1)将 f(x)展开为 x 的幂级数；(2)分别判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)把 f(x)作初等变换，并利用几何级数 得 f(x)展开为 x 的幂级数 (2)根据幂级数展开式的唯一性得 f(x)在 x 0 =0 处的高阶导数 )解析：39.设 证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案
18、： )解析：40.(1)证明： (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2)解 )解析：41.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：42.(1)求函数项级数 e -x +2e -2x +ne -nx +收敛时 x 的取值范围；(2)当上述级数收敛时，求其和函数 S(x)，并求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)该函数项级数的通项 u n (x)=ne -nx ，u n-1 (x)=(n+1)e -(n+1)x )解析：43.设数列a n 满足 a 1 =a 2 1，且 a n+1 =a n +a n-1 ，n=2，3， 证明：在 时幂级
19、数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)显然，a n 是正项严格单调增加数列，且有 a 3 =2，a 4 =a 2 +a 3 2a =2 2 ，假设 a n a n-2 ，则有 a n+1 =a n +a n-1 2a n 2 n-1 ，故由归纳法得 a n 2 n-2 于是，所考虑的级数的通项有 (2)原幂级数化为 移项后得原幂级数的和函数为 (3)将 展开为 x 的幂级数，有 而 的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂级数的系数， )解析：44.设 (1)求 y(0)，y “ (0)，并证明：(1 一 x 2 )y “ 一 xy “ =4；(2)求 的和函数及级数
20、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) (2)下面求解微分方程(1 一 x 2 )y “ 一 xy “ =4首先，应该可以想到本题用“二阶可降阶”的方法，令 y “ =p，考生可以自练但是本题更好的做法是如下的分析： )解析：45.(1)证明：等式 (2)求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)考虑待证明等式右边的函数 展开为余弦级数，因 y=x是偶函数，故只要将 f(x)=x在区间一 1，1上展开为傅里叶级数，其中半周期 l=1，它的傅里叶系数 b n =0n=12， 因 f(x)=x在一 1，1上连续，故它的傅里叶级数展开式 (2)在上述等式中，令 x=0，即得数项级数 )解析：
