1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 12 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 a n 0(n=1，2，3，)且 （分数：2.00）A.绝对收敛。B.条件收敛。C.发散。D.敛散性与 A 有关。3.设 （分数：2.00）A.若 B.若存在非零常数 ，使得 C.若级数 D.若级数 a n 发散，则存在非零常数 ，使 4.级数 （分数：2.00）A.仅与 取值有关。B.仅与 取值有关。C.与 和 的取值有关。D.与 和 的取值无关5.下列级数中属于条件收敛
2、的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设 a0 为常数，则 （分数：2.00）A.绝对收敛。B.条件发散。C.发散。D.收敛性与 a 有关。7.若 （分数：2.00）A.条件收敛。B.绝对收敛。C.发散。D.收敛性不确定。8.下列四个级数中发散的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.9.若级数 （分数：2.00）A.B.C.D.10.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛。B.条件收敛。C.发散。D.敛散性与 a 有关。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.若级数(a 1 +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 2n1 +a 2n )+发散，则级数 （分数：2.
3、00）填空项 1:_12.级数 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_14.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_15.设函数 f(x)=x 2 ，0x1，而 s(x)= b n sinnx，一x+，其中 b n =2 0 1 f(x)sinnxdx，n=1，2，3，则 s(一 （分数：2.00）填空项 1:_16.设 f(x)=x+x 2 ，一 x，且 f(x)在一 ，上的傅里叶级数为 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_18.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_19.设有以下命题 （分数
4、：2.00）填空项 1:_20.已知幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：14，分数：28.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22.判别级数 （分数：2.00）_23.判别下列级数的敛散性： （分数：2.00）_24.求级数 （分数：2.00）_25.求常数项级数 （分数：2.00）_26.求级数 （分数：2.00）_27.求幂级数 （分数：2.00）_28.证明级数 （分数：2.00）_29.判断级数 （分数：2.00）_30.求级数 （分数：2.00）_31.在 x=1 处将函数 f(x)= （分数：2.00）_32.将函数
5、 f(x)= 展开成 x 一 1 的幂级数，并求数项级数 （分数：2.00）_33.将函数 f(x)= （分数：2.00）_34.设函数 f(x)=x 2 ，x0，将 f(x)展开为以 2 为周期的傅里叶级数，并证明 （分数：2.00）_考研数学一（无穷级数）模拟试卷 12 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 a n 0(n=1，2，3，)且 （分数：2.00）A.绝对收敛。 B.条件收敛。C.发散。D.敛散性与 A 有关。解析：解析：由于
6、a n 为正项级数且收敛，则级数 a 2n 收敛，而 则由比较判别法知 3.设 （分数：2.00）A.若 B.若存在非零常数 ，使得 C.若级数 D.若级数 a n 发散，则存在非零常数 ，使 解析：解析：取 a n = 发散，(A)不对； 取 a n = =+，(c)不对； 取 a n = 4.级数 （分数：2.00）A.仅与 取值有关。B.仅与 取值有关。C.与 和 的取值有关。 D.与 和 的取值无关解析：解析：由于 。 (1)当 01 时，级数 发散。 (2)当 1 时，级数 收敛。 (3)当=1 时，原级数为5.下列级数中属于条件收敛的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解
7、析：解析：6.设 a0 为常数，则 （分数：2.00）A.绝对收敛。 B.条件发散。C.发散。D.收敛性与 a 有关。解析：解析：由于 1 一 cos 收敛，根据绝对收敛的定义知7.若 （分数：2.00）A.条件收敛。B.绝对收敛。 C.发散。D.收敛性不确定。解析：解析：因 x=一 1 为级数的收敛点，知级数在x 一 1一 11=2 内收敛，即当一 1x3时绝对收敛，x=2 在区间(一 1，3)内，故应选 B。8.下列四个级数中发散的是( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：对于(A)，因为 而级数 发散，由比较审敛法的极限形式知级数 发散。应选 B。 对于(C)，这是一个交
8、错级数，而且 令 f(x)= ，因此当 xe 2 时，f(x)0，f(x)单调减少，所以当 ne 2 (e 2 表示不大于 e 2 的最大整数)时， ，由交错级数的莱布尼茨判别法知，级数 收敛。 对于(D)，因为 9.若级数 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由 10.级数 （分数：2.00）A.绝对收敛。B.条件收敛。C.发散。D.敛散性与 a 有关。 解析：解析：当 a=0 时， 为交错级数，且当 n3 时满足莱布尼茨定理，所以收敛。当 a=1 时，二、填空题(总题数：10，分数：20.00)11.若级数(a 1 +a 2 )+(a 3 +a 4 )+(a 2n1 +a 2n
9、 )+发散，则级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：如果 12.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2 一 1）解析：解析：由于 e x = 13.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由狄利克雷收敛定理知，f(x)在 x= 处收敛于14.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：该幂级数的收敛半径15.设函数 f(x)=x 2 ，0x1，而 s(x)= b n sinnx，一x+，其中 b n =2 0 1 f(x)sinnxdx，n
10、=1，2，3，则 s(一 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：正弦级数 s(x)是对 f(x)在(一 1，0)上作奇延拓后函数的傅里叶级数，故16.设 f(x)=x+x 2 ，一 x，且 f(x)在一 ，上的傅里叶级数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据傅里叶系数的计算公式可得17.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e -1）解析：解析：由于函数在 x=1 处的泰勒级数展开式唯一，所以 f(x)= (x 一 1) n ，对照比较已知表达式得 18.幂级数 （分数：2.00）填空
11、项 1:_ （正确答案：正确答案：ln2 一 ln(3 一 x)，x一 1，3)）解析：解析：令 s(x)= ，则 s(1)=0，对等式两边求导得 再在等式两边从 1 到 x 积分，得 s(x)一 s(1)= =ln2 一 ln(3 一 x)，x(一 1，3)， 所以 s(x)=ln2 一 ln(3 一 x)，x(一 1，3)。 当 x=一 1 时，s(x)连续， 收敛；当 x=3 时，s(x)无意义，19.设有以下命题 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析：级数加括号 (u 2n1 +u 2n )收敛，原级数 (一 1) n1 ，则不正确； u n 去掉了前
12、100 项，则由 u n+100 收敛，则正确； 则当 n 充分大时u n+1 u n 0，从而 20.已知幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 1）解析：解析：由 =1，则该幂级数的收敛半径为 1，从而得其收敛区间为 x 一 a1，即 a 一1xa+1。 当 x 一 a=1，即 x=a+1 时，原函数为 收敛；当 x 一 a=一 1，即 x=a 一 1 时，原级数为三、解答题(总题数：14，分数：28.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 u n = )解
13、析：23.判别下列级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用根值判别法 )解析：24.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.求常数项级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 =1，所以级数的收敛半径 R=1，且在 x=1 处级数发散，故收敛域为(一 1，1)。 )解析：28.证明级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 a n = 发散，所以由比较判别法可知，级数 a n 不绝对收敛。 注意到
14、原级数 并没有单调性，所以不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。转而考虑其部分和数列s 2n 和s 2n+1 。 因为(注意部分和数列从 k=2 开始) 即数列s 2n 单调递减有下界，所以由单调有界原理司知数列s 2n 收敛。 再由 s 2n+1 =s 2n +a 2n+2 ，且 =0，可知数列s 2n+1 也收敛，且 s 2n+1 。所以部分和数列s n 收敛。 由级数收敛的定义可知，级数 )解析：29.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原级数 nx 2n1 ，其收敛区间为(一，+)，并记其和函数 s(x)=
15、，则有 )解析：31.在 x=1 处将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.将函数 f(x)= 展开成 x 一 1 的幂级数，并求数项级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将函数展开为正弦级数： 先将函数作奇延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，a n =0(n=0，1，2，)。 故 f(x)的正弦级数展开式为 在端点 x=0，1，2 处级数收敛到零。 将函数展开为余弦级数： 先将函数作偶延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，b n =0(n=1，2，)， 故 f(x)的余弦级数展开式为 f(x)= )解析：34.设函数 f(x)=x 2 ，x0，将 f(x)展开为以 2 为周期的傅里叶级数，并证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)作奇延拓，展开为正弦级数，令 g 1 (x)= 则 a n =0，n=0，1，2， )解析：
