1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 pn= ，n=1 ，2，则下列命题正确的是( )2 下列四个级数中发散的是( )3 设幂级数 的收敛半径为( )4 an 和 bn 符合下列哪一个条件可由 发散( )（A）a nbn（B） anb n（C） anb n（D）a n b n5 若级数 发散，则( )6 级数 的极限值等于( )（A）0（B） 1（C） 2（D）e7 如果级数 ( )（A）都收敛（B）都发散（C）敛散性不同（D）同时收敛或同时发散8 设 a 是常数，则级数 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发
2、散（D）收敛性与 a 的取值有关9 设 (a2n1+a2n)收敛，则( )10 已知 等于( )（A）3（B） 7（C） 8（D）911 正项级数 收敛的( )（A）充要条件（B）充分条件（C）必要条件（D）既非充分条件，又非必要条件二、填空题12 已知幂级数 an(x 一 1)n 的收敛半径为_13 幂级数 n(x 一 1)n 的和函数为_。14 级数 的和为_15 设 x2= ancosnx(一 x)，则 a2=_16 设 a1=1， (an+1 一 an)的和为_.17 级数 的和为_18 级数 的和为_19 幂级数 的和函数为_20 f(x)= 在 x=一 1 处的泰勒展开式为_21
3、将函数 展成 x 的幂级数为_。22 二元函数 f(x，y)=x y 在点(e，0)处的二阶(即 n=2)泰勒展开式为_( 不要求写余项)23 f(x)=ln(2+x 一 3x2)在 x=0 处的泰勒展开式为_ 三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设幂级数 anxn 在(一 ，+)内收敛，其和函数 y(x)满足 y“ 一 2xy一4y=0， y(0)=0，y(0)=1(1)证明 an+2= ，n=1，2；(2)求 y(x)的表达式25 将函数 f(x)=1 一 x2(0x)用余弦级数展开，并求 的和26 设 an 为曲线 y=xn 与 y=xn+1(n=1，2，)所围成区域
4、的面积，记 S1=a2n1，求 S1 与 S2 的值27 求幂级数 的收敛域及和函数28 求幂级数 的收敛域29 设数列a n满足条件： a0=3，a 1=1，a n2 一 n(n 一 1)an=0(n2)S(x)是幂级数anxn 的和函数 (1)证明 S“(x)一 S(x)=0； (2) 求 S(x)的表达式30 将 F(x)= 展开为 x 的幂级数31 设 f(x)在 x=0 的某邻域内连续且具有连续的导数，又设是条件收敛，绝对收敛，还是发散?32 设 un=01x(1 一 x)sin2nxdx，讨论级数 的敛散性33 设有正项级数 是它的部分和(1)证明 收敛；(2)判断级数 是条件收敛
5、还是绝对收敛，并给予证明34 求幂级数 n(x 一 1)n 的收敛域及其在收敛域内的和函数35 设 f(x)在 x=a 具有三阶导数且 f(a)0，又设 f(x)在 x=a 处的拉格朗日余项一阶泰勒展开式为考研数学一（无穷级数）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 B【试题解析】 则该级数收敛，因此选 B【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 B【试题解析】 反证法如果收敛与题设矛盾， 故选B【知识模块】 无穷级数5
6、【正确答案】 D【试题解析】 由(a n+ b n)必发散，故选 D【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 D【试题解析】 由于 an=(an+bn)一 bn，且必发散，故选 D 【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 C【试题解析】 由于发散，则发散故选 C【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 D【试题解析】 当 an0 时，级数 (a2n1+a2n)为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列 =(a1+a2)+(a3+a4)+(a2n1+a2n)有上界，从而可知正项级数的部分和数列 Sn=a1+a2+an 有上界，则级数 必收敛，故
7、选 D【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 C【试题解析】 (1) n1an=252=8，故选 C【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 无穷级数二、填空题12 【正确答案】 1【试题解析】 由题干已知幂级数 anxn 在 x=1 处条件收敛，那么 x=1 为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为 1，因此幂级数 an(x 一 1)n 收敛半径也为 1【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 ，x(0，2)【试题解析】 【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 1【试题解析】 已知 f(x)=x2(一 x
8、)是以 2 为周期的偶函数，利用傅利叶系数计算公式，有【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 2020【试题解析】 级数 (an+1 一 an)的部分和数列为 S n=(a2 一 a1)+(a3 一 a2)+(an+1an) =an+1 一 a1=an+11则 =20211=2020【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 (sin1+cos1)【试题解析】 由题意可知，【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 (一 1)n(x+1)n，( 一 2x0)【试题解析】 【知识模块】
9、无穷级数21 【正确答案】 【试题解析】 对已知函数从 0 到 x 求积分，有【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 【试题解析】 由已知 f(e，0)=1，则 f x(x，y)=yx y1，f x(e，0)=0 ； f y(x，y)=xylnx，f y(e，0)=1； f“ xx(x，y)=y(y 一 1)xy2，f“ xx(e，0)=0 ； f“ xy(x，y)=x y1+yxy1lnx，f“ xy(e，0)=e 1； f“ yy(x，y)=x(lnx) 2，f“ yy(e，0)=1 因此，点(e，0)处二阶泰勒展开式为 f(x，y)=f(e,0)+f x(e，0)(x 一 e)+fy(
10、e,0)(y 一 0)+ f“xx(e,0)(x 一e)2 +2f“xy(e，0)(x 一 e)(y 一 0)+f“yy(e，0)(y 一 0)2+R3=1+y+ +R3【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 【试题解析】 f(x)的泰勒展式为 f(x)=ln(1 一 x)(2+3x) =ln(1 一 x)+ln(2+3x) 【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 将 f(x)作偶周期延拓，则有 bn=0，n=1 ，2，【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 由题意，y=x n 与 y=xn+1
11、在点 x=0 和 x=1 处相交， 所以【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 因为又 f(0)=0，所以 f(x)= 0xf(t)dt+f(0)=arctanx因此 s(x)=xarctanx，x一 1，1 故收敛域 x一 1，1，和函数 s(x)=xarctanx【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 所以 x(一1，1)为函数的收敛域【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 (1)证明：由题意得因为由已知条件得an=(n+1)(n+2)an+2(n=0，1，2，)，所以 S“(x)=S(x)，即 S“(x)一 S(x)=0 (2)S“(x)一 S(x)=0 为二阶常系数齐次线性微分方
12、程，其特征方程为 2 一 1=0，从而 =1，于是 S(x)=C 1ex+C2ex，由 S(0)=a0=3，S(0)=a 1=1，得 解得C1=1，C 2=2， 所以 S(x)=ex+2ex【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 当 x0 时，【知识模块】 无穷级数31 【正确答案】 由于 f(x)在 x=0的某邻域内存在连续的导数，所以当 x0 且 x 足够小时，f(x)0，由拉格朗日中值定理，有【知识模块】 无穷级数32 【正确答案】 当 0x1 时，x(1 一 x)sin2nx0，所以 un0， 为正项级数，又因 sin2nxx2n，所以有【知识模块】 无穷级数33 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数34 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数35 【正确答案】 在 a 处展开为三阶泰勒级数【知识模块】 无穷级数
