1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 6 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 (x-1)n 在 x=-1 处收敛，则在 x=2 处是 ( )（A）条件收敛（B）绝对收敛（C）发散（D）敛散性不确定2 已知级数 条件收敛，则 ( )3 设 an=cosn.ln (n=1，2，3，)，则级数 ( )4 下列命题中正确的是 ( )5 下列命题中错误的是 ( )6 对于级数 ，其中 un0(n=1，2，)，则下列命题正确的是 ( )7 下列结论正确的是 ( )二、填空题8 设 a 为正常数，则级数 的敛散性为_9 设 a 为常数，若级数 =_10 级数 的和为_
2、11 级数 的收敛域是_12 函数 f(x)= 展开成的(x-1)的幂级数为_13 设 f(x)=x+x2，-x ，且周期为 T=2当 f(x)在-，) 上的傅里叶级数为(ancos nx+bnsin nx)，则 b3=_14 常数项级数 的敛散性为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 求 (a 为常数， 016 求17 判别下列级数的敛散性(k1，a1) ：18 判别级数 的敛散性19 判别级数 的敛散性20 判别级数 的敛散性21 判别级数 的敛散性22 证明：级数 条件收敛23 已知 fn(x)满足 fn(x)=fn(x)+xn-1ex(n 为正整数)，且 fn(1)
3、= ，求函数项级数之和24 将函数 展开成 x 的幂级数，并指出其收敛区间25 求幂级数 的收敛域与和函数，并求 的和26 设 的值考研数学一（无穷级数）模拟试卷 6 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 (x-1)n 在 x=-1 处收敛，则收敛半径 R-1-1=2 而x=2，即 2-1=1R，所以 x=2 在收敛区间内，即原级数在 x=2 处绝对收敛，故应选(B) 【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 D【试题解析】 设 un=的敛散性相同，故 而由 条件收敛可知 03-a1，即2a3若使两个结论都成立，只有 a3，
4、故选(D)【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 an=是满足莱布尼茨条件的交错级数，因此 是等价无穷小，且调和级数 发散，故选(C)【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 wnu nv n，所以 0u n-wn vn-wn又因为 收敛，所以 收敛因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B)，(C) 将正项级数的结论用到了一般级数上，显然不对例如取级数 可以说明(B)不对，取级数 就可以说明(C)不对，选(D) 【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 D【试题解析】 由级数收敛的性质知命题(A)正确由反证法可知命题 (B)正
5、确若设，这两个级数都发散，但是收敛，可知命题(C)正确，但命题(D) 错误【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 B【试题解析】 因(-1) n-1un=u n=u n，由 绝对收敛，命题(B) 正确(A) 错误：如【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 C【试题解析】 由幂级数 在收敛域(-R，R)的和函数性质可知，命题(C)正确(A)错误：如 ，收敛域为(-1 ，1，但在 x=1 处， 条件收敛(B) 错误：因为可能 R=0 或 R=+(D)错误：由幂级数的定义可知不是幂级数【知识模块】 无穷级数二、填空题8 【正确答案】 发散【试题解析】 方法一 当 n1 时， 0，原级数为一个正项级数
6、【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 a【试题解析】 因级数【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 【试题解析】 因级数 为等比级数，其公比 q 满足【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 (-1，1【试题解析】 因 为不缺项的 x 的幂级数，故 R=1 在 x=1 处，发散故 的收敛域为(-1，1【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 (x-1)n，0x2【试题解析】 因(-1)n(x-1)n，-1x-1 1 即 0x2【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 发散【试题解析】 将已给级数每相邻二项加括号得新级数 因发散，由于加
7、括号后级数发散，故原级数必发散【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 利用级数的收敛，求数列极限或证明数列收敛若对于级数 ，由【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 由【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 (1)因为 ，所以该级数收敛(2)因为 ，所以该级数收敛(3)因为 ，所以该级数收敛【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 易知当 n 充分大时， 单调递减且此数列收敛于 0，由莱布尼茨判别法知，级数 收敛【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 ，故原级数收敛【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 由泰勒公式，(条件)收敛，故原
8、级数发散.【试题解析】 这是交错级数，但不易判别u nu n+1，因此不能使用莱布尼茨判别法为了能确定一般项 的级别，需使用泰勒公式【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 设 f(x)=，f(x)单调减少，因此级数 满足莱布尼茨判别法条件，是条件收敛的但级数发散因为收敛级数与发散级数的代数和是发散级数，故原级数发散【试题解析】 这是交错级数，易见：u n0，但u nu n+1不成立，莱布尼茨判别法失效分母有理化后，可判定【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 是交错级数，但不满足莱布尼茨判别条件，因为u n=发散又因为由于上式每个括号都小于 0，所以S 2n单调递减，再由所以，原级数的部分
9、和数列S 2n收敛，从而级数收敛，所以原级数条件收敛【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 由题设条件知，函数 fn(x)满足一阶线性非齐次微分方程 fn(x)fn(x)=xn-1ex，其通解为 fn(x)= 由条件 fn(1)=记 S(x)= ，容易求出其收敛域为-1 ，1)，且 S(0)=0，当 x(-1，1)时，求导得于是得 S(x)=由 S(x)=-ln(1-x)在 x=-1 点的连续性知，上述和函数在 x=-1 点也成立于是，当-1x 1 时，有【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 由已知展开式知于是【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 ，当x1 时，幂级数收敛；当x1 时，幂级数发散；当 x=1 时，级数为 ，收敛；当 x=-1 时，级数为 ，发散所以，幂级数的收敛域为(-1，1【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 令 x=n-t，则再次逐项求导，得 整理得 S(x)=从而【知识模块】 无穷级数
