1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 11 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设幂级数 b n x n 的收敛半径分别为 的收敛半径为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设级数 u n 收敛，则必收敛的级数为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.若级数 a n 收敛，则级数( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设有两个数列a n ，b n ，若 a n =0，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数
2、：8.00)6.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_7.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_8.已知幂级数 a n (x+2) n 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间(一 1，1上定义为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_11.判别下列级数的敛散性 () ； () （分数：2.00）_12.设 a n 是绝对收敛的级数，证明由 a n 的一切正项组成的级数 p n 是收敛的
3、；由 a n 的一切负项组成的级数 （分数：2.00）_13.判别下列级数的敛散性 （分数：2.00）_14.判断级数 （分数：2.00）_15.判断级数 （分数：2.00）_16.判断级数 （分数：2.00）_17.设 a n 0(n=1，2，)且数列a n 是单调减少数列，又级数 (一 1) n a n 发散，判断 （分数：2.00）_18.判别级数 （分数：2.00）_19.设 b n 为两个正项级数。证明：若 （分数：2.00）_20.设 a n 0，数列a n 单调减小且趋于零，证明：级数 （分数：2.00）_21.判别级数 （分数：2.00）_22.设级数 （分数：2.00）_23
4、.设幂级数 a n x n 在(一，+)内收敛，其和函数 s(x)满足 s“一 2xs一 4s=0，s(0)=0，s(0)=1。 ()证明：a n+2 = （分数：2.00）_24.求函数 f(x)= （分数：2.00）_25.设 f(x)= 。()将 f(x)展开为 x 的幂级数；()分别判断级数 （分数：2.00）_26.将函数 f(x)= （分数：2.00）_27.求幂级数 （分数：2.00）_28.已知 f n (x)满足 f n (x)=f n (x)+x n1 e x (n 为正整数)且 f n (1)= （分数：2.00）_29.设数列a n 满足条件：a 0 =3，a 1 =1
5、，a n2 一 n(n 一 1)a n =0(n2)，s(x)是幂级数 （分数：2.00）_30.求幂级数 x+ （分数：2.00）_31.求级数 （分数：2.00）_32.求数项级数 （分数：2.00）_33.将函数 f(x)=2+x(一 1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级数 （分数：2.00）_34.设函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，且 f(x)=e ax (0x2)，其中 a0，试将 f(x)展开成傅里叶级数，并求级数 （分数：2.00）_考研数学一（无穷级数）模拟试卷 11 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.0
6、0)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设幂级数 b n x n 的收敛半径分别为 的收敛半径为( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：采用比值判别法，则有 。 已知 b n x n 的收敛半径分别为 =3。 因此，3.设级数 u n 收敛，则必收敛的级数为( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：令 s n =u 1 ，u 2 ，u n ，因为 s n 存在。 设 s n =s，令 s n =(u 1 +u 2 )+(u 2 +u 3 )+(u n +u n+1 )=2s n 一 u 1 +u n+1 。
7、因为 4.若级数 a n 收敛，则级数( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：令 s n =a 1 ，a 2 ，a n ，因为 s n 存在。 5.设有两个数列a n ，b n ，若 a n =0，则( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：因为 a n =0，所以存在一实数 M0，对一切的 n 有a n M。 同理，若 b n =0，取 M 0 =1，存在正整数 N，当 nN 时，b n 1，于是 b n 2 b n ，由正项级数的比较审敛法得 b n 2 收敛。 由 a n 2 b n 2 M 2 b n 2 及 M 2 b n 2 收敛，得 二、填空题(总题
8、数：4，分数：8.00)6.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(一 2，4)）解析：解析：7.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：令 x 一 2=t，则转为判别级数 所以收敛半径为 R= =2。 当 t=2 时，8.已知幂级数 a n (x+2) n 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，5）解析：解析：幂级数 a n (x+2) n 的收敛区间以 x=一 2 为中心，因为该级数在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，所以其收敛半径为 2，
9、收敛域为(一 4，0，即一 2x+22 时级数收敛，亦即 a n t n 的收敛半径为 2，收敛域为(一 2，2。则 a n (x 一 3) n 的收敛半径也为 2，且由一 2x 一32 得，1x5，即幂级数 9.设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间(一 1，1上定义为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在 x=1 处收敛于三、解答题(总题数：25，分数：50.00)10.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：11.判别下列级数的敛散性 () ； () （分数：2.00）_正确答
10、案：(正确答案：()由于 为几何级数且收敛，由比较判别法的极限形式知原级数收敛。 ()由于x n 是单调递增且有界的正项数列，由单调有界准则， x n 存在。 由于极限 )解析：12.设 a n 是绝对收敛的级数，证明由 a n 的一切正项组成的级数 p n 是收敛的；由 a n 的一切负项组成的级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 p n = a n 的一切正项组成的级数； a n 的一切负项组成的级数，且a n =p n +q n 。 故有a n p n =p n ，a n q n =q n ，由正项级数的比较判别法知， )解析：13.判别下列级数的敛散性 （分数：2.00）
11、_正确答案：(正确答案： )解析：14.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用比值判别法，由于 所以，当 pe，即 1 时，该级数收敛；当pe，即 1 时，该级数发散。当 p=e 时，比值判别法失效，但是数列a n =(1+ ) n 是单调递增且趋于 e 的，故 p=e 时， 1，即u n 单调递增但不是无穷小量，所以该级数是发散的。 综上，级数 )解析：15.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 0a1 时， 0，故此时原级数发散。 当 a1 时， ，从而由夹逼准则知 )解析：16.判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据正项级数通项特点，
12、可用根值判别法判定。 )解析：17.设 a n 0(n=1，2，)且数列a n 是单调减少数列，又级数 (一 1) n a n 发散，判断 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为数列a n 单调减少且 a n 0(n=1，2，)，根据单调递减数列有下界，所以 (一 1) n a n 发散，并结合莱布尼茨判别法可得 A0。 根据正项级数的根值判别法，由 )解析：18.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直接利用定义进行判别。由于该级数的部分和 )解析：19.设 b n 为两个正项级数。证明：若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：取 0 =1，由 =0，根据极限的定
13、义，存在 N0，当 nN 时， b n 收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得 )解析：20.设 a n 0，数列a n 单调减小且趋于零，证明：级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 a n 0，且a n 单调减小，所以 也单调减小。 又因为 0 =0。 由莱布尼茨定理可知，级数 )解析：21.判别级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由于 ，由比较判别法可知级数 )解析：22.设级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：级数 (u n+1 一 2u n +u n1 )可以写成 (u n+1 一 u n )一(u n 一 u n1 )，其部分和
14、 s n = (u i+1 一 u i )一(u i u i1 )=(u n+1 一 u n )一(u 1 u 0 )=u n+1 一 u n 一 u 1 +u 0 ， 所以，级数(u n+1 一 2u n +u n1 )的和 s= (u n+1 u n u 1 +u 0 )。 因为级数 u n 收敛，由级数收敛的必要条件知 u n =0， 所以 s= )解析：23.设幂级数 a n x n 在(一，+)内收敛，其和函数 s(x)满足 s“一 2xs一 4s=0，s(0)=0，s(0)=1。 ()证明：a n+2 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()对幂级数的和函数 s(x)=
15、a n x n 求一、二阶导数，得 s= n(n 一 1)a n x n2 ， 分别将其代入已知方程，整理得 (n+1)(n+2)a n x n 一 4a n x n =0， 即(2a 2 4a 0 )x 0 + (n+1)(n+2)a n+2 一 2na n 一 4a n x n =0。 由于上式对任意的 x均成立，则有 2a 2 4a 0 =0 及(n+1)(n+2)a n+2 一 2(n+2)a n =0， 于是得 a n+2 = a n ，n=1，2，。 ()根据()的结论 a n+2 = a n ，n=0，1，2，且根据题中条件有 a 0 =s(0)=0a 1 =s(0)=1。 )解
16、析：24.求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f(x)= 。()将 f(x)展开为 x 的幂级数；()分别判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()把 f(x)作变形，并利用几何级数 ，x1，得 f(x)展开成 x 的幂级数为 ()根据幂级数展开式的唯一性得 f(x)在 x 0 =0 处的高阶导数 故由比较判别法的极限形式得级数 )解析：26.将函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：幂级数 绝对收敛，故该幂级数收敛域为一 1，1。 令 s(x)=
17、 ，x一 1，1，则 s(0)=0，s(1)=1。 当一 1x1 且 x0 时， )解析：28.已知 f n (x)满足 f n (x)=f n (x)+x n1 e x (n 为正整数)且 f n (1)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知条件可得，f n (x)一 f n (x)=x n1 e x ，这是以 f n (x)为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中 p(x)=一 1，q(x)=x n1 e x ，代入通解公式 f(x)=e -p(x)dx (q(x)e p(x)dx dx+C)， 得其通解为 f(x)=e dx (x n1 e x e -dx dx+C)=e
18、x ( +C)， )解析：29.设数列a n 满足条件：a 0 =3，a 1 =1，a n2 一 n(n 一 1)a n =0(n2)，s(x)是幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 s(x)= a n n(n 一 1)x。 又已知 a n2 一 n(n 一 1)a n =0，即 a n2 =n(n 一 1)a n ，因此 s“(x)= )解析：30.求幂级数 x+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 =x 2 ，令x n 1，即x1，于是有 x(1，1)。令x=一 1，原级数变为一 1+ ，收敛；令 x=1，原级数变为 1+ ，收敛。故收敛域为一 1，1。令
19、)解析：31.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 其中 s 2 为几何级数，根据公式其和 s 2 = ；而 s 1 可看作幂级数 )解析：32.求数项级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.将函数 f(x)=2+x(一 1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)为偶函数，由傅里叶级数的系数公式，得 a 0 =2 0 1 (2+x)dx=5， a n =2 0 1 (2+x)cos(nx)dx= (n=1，2，3)， b n =0(n=1，2，3，)。 因为 f(x)=2+x在区间一 1，1上满足狄利克雷收敛定理条件，所以 )解析：34.设函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，且 f(x)=e ax (0x2)，其中 a0，试将 f(x)展开成傅里叶级数，并求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据傅里叶级数的定义，傅里叶级数表达式中的系数 由狄利克雷收敛定理知 令 a=1，x=0，由狄利克雷收敛定理知 )解析：
