1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设常数 2，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 有关2 设 a0 为常数，则级数（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）敛散性与 a 有关二、填空题3 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间( 1，1 上定义为则 f(x)的傅里叶级数在 x=1 处收敛于_；4 设函数 f(x)=x2，0x 1 ，而 S(x)= bnsin(nx)，x+ ，其中 bn=2 f(x)sin(nx)dx，n=1，2，3，则 S =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过
2、程或演算步骤。5 判定下列级数的敛散性：6 判定下列级数的敛散性，当级数收敛时判定是条件收敛还是绝对收敛：7 求下列函数项级数的收敛域8 求下列幂级数的收敛域：9 求幂级数 的收敛域及其和函数10 设 f(x)=sinax，x，a0，将其展开为以 2 为周期的傅里叶级数11 判定下列级数的敛散性：12 判别下列级数的敛散性：13 考察级数 2，其中 an= ，p 为常数()证明：(n=2，3，4，) ；()证明：级数 当 P2 时收敛，当 P2时发散14 判别级数 的敛散性，其中x n是单调递增而且有界的正数数列15 判别下列级数的敛散性(包括绝对收敛或条件收敛)：16 判别级数 (p0)的收
3、敛性(包括绝对收敛或条件收敛)17 判断如下命题是否正确：设无穷小 unv n(n)，若级数 un 收敛，则 vn 也收敛证明你的判断18 确定下列函数项级数的收敛域：19 求下列幂级数的收敛域或收敛区间：() xn1 ；()x2n；() anxn 的收敛半径 R=3；(只求收敛区间)() an(x3) n，其中 x=0 时收敛，x=6 时发散20 求下列幂级数的和函数并指出收敛域：() xn；() n(n+1)xn21 将下列函数展成麦克劳林级数并指出展开式成立的区间：()ln(1+x+x 2)；()arctan22 将下列函数在指定点处展开为泰勒级数：() ，在 x=1 处； ()ln(2
4、x2+x3)，在 x=3 处23 将下列函数 f(x)展开成 x 的幂级数并求 f(n)(0)： () f(x)= g(x)，其中 g(x)=() f(x)= dt24 求级数 的和25 求下列级数的和：26 设周期为 2 的函数 f(x)= 的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，()求系数 a0，并证明 an=0，(n1)；()求傅里叶级数的和函数 g(x)(x) ，及 g(2)的值27 函数 f(x)=x2，x 0，将 f(x)展开为以 2 为周期的傅里叶级数，并证明28 设数列na n收敛，级数 n(ana n1 )收敛( 不妨设其中 a0=0)，证明：级数 an收敛29 设
5、 an0， bn0，(n=1，2，)，且满足 ，n=1，2，试证：()若级数 发散30 设函数 f(x)在x1 上有定义，在 x=0 的某个邻域内具有二阶连续导数，且=0，试证：级数 绝对收敛考研数学一（无穷级数）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 设常数 p 满足1p1，则有 由正项级数比较判别法的极限形式知级数 收敛，进而知当 2 时 绝对收敛，即(C)正确【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 B【试题解析】 用分解法分解级数的一般项因条件收敛，因此 (un+wn)条件收敛选(B)【知识模块】 无穷
6、级数二、填空题3 【正确答案】 32【试题解析】 根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在 x=1 处收敛于 f(10)+f(1+0)=32【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 一 14【试题解析】 由 S(x)的形式可知：S(x)是奇函数又 f(x)在 x= 连续，所以【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 () 因 而级数 发散，故原级数发散( )因 ，而级数 发散，故原级数 发散()使用比值判别法因1，故原级数收敛【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 () 由于 ，而级数 收敛，利用比较判别法即知收敛，所以此级数绝对收敛()由于当 n 充
7、分大时，00所以此级数为交错级数，且满足莱布尼兹判别法的两个条件，这说明原级数 (n)，所以，级数条件收敛()注意到 因为从而级数 绝对收敛，但级数是条件收敛的，故原级数条件收敛【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 () 注意 =1，对级数的通项取绝对值，并应用根值判别法，则 当 1即 x0 时，原级数 绝对收敛；当 1即 x0 时，原级数发散(x=1 除外)，因为一般项不是无穷小量；当 x=0 时，原级数 为收敛的交错级数因此，级数 的收敛域为0，+)()使用比值判别法，则有这就说明：当x1 时，级数 收敛，而且绝对收敛；然而，当x1(x1)时，比值判别法失效但是，当x1 时，=1；当 x
8、=1 时，u n(x)= (n=1，2，)，都不满足级数收敛的必要条件所以，级数 的收敛域为x1【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 () =3，故收敛半径R=13当 x=13 时，原幂级数为 ，是一个收敛的交错级数；当x=1 3 时，原幂级数为 的收敛域为(1 3，13 ()使用根值法由于 故原级数的收敛半径 R=+，即收敛区间也是收敛域为(，+) 【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 容易求得其收敛域为(1，1)为求其和函数 S(x)，在它的收敛区间(1 ，1) 内先进行逐项求导，即得又因为 S(0)=0，因此注意原级数在 x=1 处收敛，又 ln(1x)在 x= 1 处连续，所以 S
9、(x)=ln(1x)，x1，1)【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 由于 f(x)为奇函数，所以其展开式应为正弦级数如果 a 不是自然数，则故 f(x)=sinax= sinnx x，在 x= 时，右端为 0，即其傅里叶级数收敛于 sina+sin(a)=0当 a 为自然数时，根据三角函数系的正交性有f(x)=sinax=sinnx，n=a ， x【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 () 本题可采用比值判别法由于= 所以，当 pe 时，级数收敛；当 pe 时，该级数发散；当 p=e 时，比值判别法失效注意到数列 是单调递增趋于 e 的，所以当 p=e 时， 1，即u n单调递增不是
10、无穷小量，所以该级数也是发散的总之，级数 当 pe 时收敛，pe 时发散( )本题适宜采用根值判别法由于=0，所以原级数收敛这里用到 =0【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 () 利用比较判别法的极限形式由于级数 发散，而且当n时所以原级数也发散() 仍利用比较判别法的极限形式先改写用泰勒公式确定 的阶由于所以收敛()注意到 0收敛，所以原级数也收敛()因为函数 f(x)= 单调递减，所以再采用极限形式的比较判别法，即将=0，所以，级数 收敛再由上面导出的不等式 0u n ，所以原级数也收敛【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 () 将 改写成()容易验证比值判别法对级数 失效，因此
11、需要用适当放大缩小法与比较原理来讨论它的敛散性题()已给出了a n上下界的估计由注意当 p2 即当 p2时收敛，当 p2 时发散【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 首先因为x n是单调递增的有界正数数列，所以 01现考察原级数的部分和数列S n，由于又x n有界，即x nM(M0 为常数)，故所以S n也是有界的由正项级数收敛的充要条件知原级数收敛【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 () 由于 ，而且级数 发散，所以原级数不是绝对收敛的原级数是交错级数，易知=01=0为考察 的单调性，令 f(x)0 (当x 充分大时)这说明级数 满足莱布尼兹判别法的两个条件，所以该级数收敛，并且是
12、条件收敛的() 由于 sin(n+ 所以此级数是交错级数又由于=1而且 发散，这说明原级数不是绝对收敛的由于 sinx 在第一象限是单调递增函数，而 是单调减少的，所以，sin 随着 n 的增加而单调递减又显然 =0，这说明原级数 满足莱布尼兹判别法的两个条件，从而它是收敛的结合前面的讨论，知其为条件收敛【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 为判断其是否绝对收敛，采用极限形式的比较判别法，由于所以，当 p1 时，级数绝对收敛；而当 p1 时，该级数不绝对收敛下面介绍几种方法讨论 0pl 时，是否条件收敛方法 1考察部分和 Sn 的极限是否存在先考虑部分和数列的偶数项，即亦即 S2n ，这就
13、说明 S2n是单调递减有下界的，所以其极限存在，设S2n=S又由于=S，亦即级数 的部分和数列收敛，所以该级数收敛特别，这说明 0所以原级数收敛因此 0p1 时该级数条件收敛方法 3原级数=注意，奇偶项互换后的新级数是显然，一般项un 是单调下降趋于零的于是，由莱布尼兹判别法知，新级数收敛因为0(n)，所以原级数收敛方法 4用泰勒公式(1+x) =1+x+o(x)，x0)将一般项分解于是当 0p1 时正项级数 cn 收敛(绝对收敛)因此原级数条件收敛【试题解析】 对于交错级数先要讨论其是否绝对收敛这里 unun+1 不总是成立的，也就是说莱布尼兹判别法的条件不满足这样，当其不是绝对收敛时，莱布
14、尼兹判别法也不能使用，可考虑直接用定义讨论其收敛性或利用收敛级数的性质【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 对于正项级数，比较判别法的极限形式就是：un 与 vn 同时收敛或同时发散本题未限定vn 一定收敛比如，取则 即unv n(n)级数 un 是收敛的，然而级数 vn 是不收敛的这个例子说明：对正项级数的比较判别法的极限形式不能用于判定任意项级数的条件收敛性要注意变号级数与正项级数的区别【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 () 使用比较判别法当 x1 时，由于 发散，而当 n2 时，也发散当 x1 时，取 p(1，x)，由于所以的收敛域为(1，+)()当 x0 时，由于 满足莱布
15、尼兹判别法的两个条件，因此是收敛的而当 x0 时，因该级数通项不趋于零，所以是发散的故级数 的收敛域为(0，+)【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 () xn 有相同的收敛半径，可以用求收敛半径公式即(113)式计算收敛半径首先计算()这是缺项幂级数即幂级数的系数有无限多个为 0(a2n1 =0，n=1，2，)，所以不能直接用求收敛半径公式，求收敛半径 R一般有两种方法：方法 1它是函数项级数，可直接用根值判别法由于 因此 R=方法 2作变量替换 t=x2，原级数变成 tn，对此级数用求收敛半径 R 的公式：因此，此级数发散所以原级数的收敛域为 ()，由幂级数收敛性的特点知，nan(x1
16、) n+1 与 an(x 1)n 有相同的收敛半径 R=3因而其收敛区间为(2， 4)()考察 antn，由题设 t=3 时它收敛 收敛半径 R3，又 t=3 时其发散 R3因此 R=3， antn 的收敛域是3，3)，原级数的收敛域是0，6)【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 () 为求其和函数，先进行代数运算，使其能够通过逐项求导与逐项积分等手段变成几何级数求和设并令 S1(x)= xn，则=4ln(1x)，(1x1) ，( 利用 ln(1+t)的展开式)所以 S(x)=S1(x)S 2(x)+S3(x)=ln(1x)= ln(1x) ， x(1，1)，x0当 x=0 时，上面的运算
17、不能进行，然而从原级数看 S(0)=a0=1，同时，也容易看出 S(x)=1这就说明 S(x)在 x=0 处还是连续的，这一点也正是幂级数的和函数必须具备的性质()令 S(x)= n(n+1)xn1 =x(x)，而 于是 S(x)=x(x)= ，x(1，1)【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 () 由于 ln(1+x+x2)=ln =ln(1x 3)ln(1x)，利用公式(1114)，并分别以 (x 3)与(x)代替其中的 x，就有 ln(1x 3)=，(1x 31 即1x1)；ln(1x)= ，(1x1 即1x1)，于是()由于，利用公式(1116)，并以 x2 代替其中的 x，就有
18、(1) nx2n，1x 21即1x1上式两端再进行积分，注意到 arctanf(t)dt 即得注意函数 arctan在点 x=1 处也收敛，从而上式在端点 x=1 处也成立即【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 ()f(x)= 其中1 即1x3在上述展式中就是以 代替(1116)式中的 x类似地，有所以 f(x)= (x1) n，1x3()由于ln(2x2+x3)=ln(2x+3)(x 1)=ln(2x+3)+ln(x1)，对于右端两项应用公式(11 14)，得 所以ln(2x2+x3)=ln2+2ln3+ (x3) n，其中 1x5【试题解析】 使用间接法在指定点 x0 处作泰勒展开，就
19、要用 xx 0，或者 xx 0 的倍数与方幂等代替原来的 x【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 () 因=1，故()应用公式(1112)，有 (x+)逐项积分得( x+)由此又得 f (2n)(0)=0(n=1，2，3，)，【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 根据已经熟悉的事实： =e，可以得到【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 ()S= =S1+S2S 2 为几何级数，其和为 23S 1 可看作幂级数 (1) nn(n1)x n 在 x=12 处的值记从而 ()令 S= ，先分解成直接利用 ln(1+x)的展开式得【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 () 根据定义注意
20、：奇函数 xcosnx 在对称区间上的积分值为零从另一个角度看，f(x)为奇函数，而 (ancosnx+bnsinnx)实际上就是 f(x)a 0 2 的傅里叶级数，所以 an=0() 根据收敛定理，和函数 g(x)=另外，g(2)=g(0)=【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 作奇延拓，展开为正弦级数令 g1(x)= 则an=0，n=0，1，2，故由狄利克雷定理，可知而当 x=时，该级数收敛于零【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 题设数列na n收敛，即知：存在常数 A，使 nan=A；题设级数n(ana n 1)收敛，所以即其部分和的极限存在，记其为 S由此即得这说明级数 an 收敛，其和为 AS 【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 由于这样，根据比较判别法即知：当 bn 发散【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 利用泰勒公式首先由 f(x)=f(0)=0，而且这样，利用函数 f(x)的一阶泰勒公式，就有 f(x)=f(0)+f(0)x+ f(x)x2，01而且，因为 f(x)在 x=0 的某一邻域内有连续的二阶导数，因此存在正数 M，使 f(x)M 在此邻域内成立，并且当 n 充分大时 注意到级数 收敛，由比较判别法即知 绝对收敛【知识模块】 无穷级数
