1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 11 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设幂级数 bnxn 的收敛半径分别为 的收敛半径为( )2 设级数 un 收敛，则必收敛的级数为( )3 若级数 an 收敛，则级数 ( )4 设有两个数列a n，b n，若 an=0，则( )二、填空题5 幂级数 (x 一 1)n 的收敛区间为_。6 幂级数 的收敛域为_。7 已知幂级数 an(x+2) n 在 x=0 处收敛，在 x=一 4 处发散，则幂级数 an(x 一 3)n的收敛域为_。8 设 f(x)是周期为 2 的周期函数，它在区间( 一 1，1上定义为则 f(x)
2、的傅里叶级数在 x=1 处收敛于_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 判别下列级数的敛散性() ；() ，其中x n是单调递增且有界的正数列。10 设 an 是绝对收敛的级数，证明由 an 的一切正项组成的级数 pn 是收敛的；由 an 的一切负项组成的级数 (一 qn)也是收敛的。11 判别下列级数的敛散性12 判断级数 (p0 为常数)的敛散性。13 判断级数 (a 0)的敛散性。14 判断级数 的敛散性。15 设 an0(n=1，2，)且数列a n是单调减少数列，又级数 (一 1)nan 发散，判断 的敛散性。16 判别级数 的敛散性。17 设 bn 为两个正项级数。
3、证明：若 an 收敛。18 设 an0，数列 an单调减小且趋于零，证明：级数 收敛。19 判别级数 的敛散性。20 设级数 (un+1 一 2un+un1)的和等于_。21 设幂级数 anxn 在(一 ，+)内收敛，其和函数 s(x)满足 s“一 2xs一 4s=0，s(0)=0，s(0)=1。() 证明：a n+2= an，n=1，2，；()求 s(x)的表达式。22 求函数 f(x)= 在指定点 x=2 处的泰勒展开式。23 设 f(x)= 。()将 f(x)展开为 x 的幂级数；()分别判断级数的敛散性。24 将函数 f(x)= arctanx 一 x 展开成 x 的幂级数。25 求幂
4、级数 的和函数。26 已知 fn(x)满足 fn(x)=fn(x)+xn1ex(n 为正整数)且 fn(1)= fn(x)的和。27 设数列a n满足条件： a0=3，a 1=1，a n2 一 n(n 一 1)an=0(n2)，s(x) 是幂级数anx 的和函数， ()证明：s“(x)一 s(x)=0； ( )求 s(x)的表达式。28 求幂级数 x+ x2n+1 的和函数。29 求级数 的和。30 求数项级数 的和。31 将函数 f(x)=2+x( 一 1x1)展开成以 2 为周期的傅里叶级数，并求级数的和。32 设函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，且 f(x)=eax(0x2)，其
5、中 a0，试将f(x)展开成傅里叶级数，并求级数 的和。考研数学一（无穷级数）模拟试卷 11 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 采用比值判别法，则有 。已知 bnxn 的收敛半径分别为 =3。因此，的收敛半径为 5。因此选 A。【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 D【试题解析】 令 sn=u1，u 2，u n，因为sn 存在。 设 sn=s，令 sn=(u1+u2)+(u2+u3)+(un+un+1)=2sn 一 u1+un+1。 因为 (un+un+1)收敛，应选 D。【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 D【试题
6、解析】 令 sn=a1，a 2，a n，因为 sn 存在。【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 C【试题解析】 因为 an=0，所以存在一实数 M0，对一切的 n 有a nM 。 同理，若 b n=0，取 M0=1，存在正整数 N，当 nN 时，b n1，于是 bn2b n，由正项级数的比较审敛法得 bn2 收敛。 由an2bn2M2bn2 及 M2bn2 收敛，得 an2bn2 收敛，应选(c) 。【知识模块】 无穷级数二、填空题5 【正确答案】 (一 2，4)【试题解析】 则收敛半径 R=3，故收敛区间为(一 2，4)。【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 2【试题解析】 令 x 一
7、2=t，则转为判别级数所以收敛半径为 R= =2。 当 t=2 时， 的收敛域为( 2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4) 。【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 (1，5【试题解析】 幂级数 an(x+2)n 的收敛区间以 x=一 2 为中心，因为该级数在 x=0处收敛，在 x=一 4 处发散，所以其收敛半径为 2，收敛域为(一 4，0 ，即一2x+22 时级数收敛，亦即 antn 的收敛半径为 2，收敛域为(一 2，2。则an(x 一 3)n 的收敛半径也为 2，且由一 2x 一 32 得，1x5，即幂级数an(x 一 3)n 的收敛域为(1，5。【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】
8、 【试题解析】 根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在 x=1 处收敛于【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 () 由于为几何级数且收敛，由比较判别法的极限形式知原级数收敛。 ()由于x n是单调递增且有界的正项数列，由单调有界准则， xn 存在。由于极限vn 收敛，由比较判别法知原级数收敛。【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 令 pn= an 的一切正项组成的级数； an 的一切负项组成的级数，且a n=p n+qn。 故有a np n=p n，a nq n=q n，由正项级数的比较判别法知，(一 qn)均收敛，命题得证。【知识模块】
9、无穷级数11 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 利用比值判别法，由于 所以，当 pe，即 1 时，该级数收敛；当 pe，即 1 时，该级数发散。当p=e 时，比值判别法失效，但是数列a n=(1+ )n是单调递增且趋于 e 的，故 p=e时， 1，即u n单调递增但不是无穷小量，所以该级数是发散的。综上，级数 在 pe 时收敛，pe 时发散。【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 当 0a1 时， 0，故此时原级数发散。当 a1 时，从而由夹逼准则知1。由根值判别法可知原级数收敛。【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 根据正项级数通项特点，可用根值判别法判定。【知识
10、模块】 无穷级数15 【正确答案】 因为数列a n单调减少且 an0(n=1，2，)，根据单调递减数列有下界，所以 (一 1)nan 发散，并结合莱布尼茨判别法可得 A0。 根据正项级数的根值判别法，由收敛。【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 直接利用定义进行判别。由于该级数的部分和=一 21+tde-t=一 2te-t 1+21+e-tdt=2e-1+2e-1=4e-1，所以原级数收敛，且其和为 4e-1。【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 取 0=1，由 =0，根据极限的定义，存在 N0，当 nN 时，bn 收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得 an 收敛 (
11、收敛级数添加有限项不改变敛散性)。【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 因为 an 0，且a n单调减小，所以 也单调减小。又因为0 =0。由莱布尼茨定理可知，级数 收敛。【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 由于，由比较判别法可知级数是交错级数，且由莱布尼茨判别法知是收敛的。因为收敛级数与发散级数的代数和是发散级数，故原级数发散。【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 级数 (un+1 一 2un+un1)可以写成 (un+1 一 un)一(u n 一 un1)，其部分和 sn= (ui+1 一 ui)一(u iui1)=(un+1 一 un)一(u 1u0)=un+1 一 un
12、一 u1+u0，所以，级数(u n+1 一 2un+un1)的和 s= (un+1unu1+u0)。 因为级数 un 收敛，由级数收敛的必要条件知 un=0，所以 s= (un+1un)+u0u1=u0 一u1。【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 () 对幂级数的和函数 s(x)= anxn 求一、二阶导数，得 s=n(n 一 1)anxn2，分别将其代入已知方程，整理得 (n+1)(n+2)anxn 一 4anxn=0，即(2a 24a0)x0+ (n+1)(n+2)an+2 一 2nan 一 4anxn=0。 由于上式对任意的 x 均成立，则有 2a24a0=0 及(n+1)(n+2
13、)a n+2 一 2(n+2)an=0，于是得 a n+2= an，n=1，2，。 ( )根据()的结论an+2= an，n=0，1，2，且根据题中条件有 a 0=s(0)=0a 1=s(0)=1。【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 () 把 f(x)作变形，并利用几何级数 ，x1，得f(x)展开成 x 的幂级数为()根据幂级数展开式的唯一性得 f(x)在 x0=0 处的高阶导数故由比较判别法的极限形式得级数发散。【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 幂级数绝对收敛，故该幂级数收敛域为一 1，1。令
14、s(x)= ，x一 1，1，则 s(0)=0，s(1)=1 。当一 1x1 且 x0 时，【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 由已知条件可得，f n(x)一 fn(x)=xn1ex，这是以 fn(x)为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中 p(x)=一 1，q(x)=x n1ex，代入通解公式 f(x)=e -p(x)dx(q(x)ep(x)dxdx+C)，得其通解为 f(x)=e dx(xn1exe-dxdx+C)=ex( +C)，【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 () 设 s(x)= ann(n 一 1)x。 又已知 an2 一 n(n 一 1)an=0，即 an2=n(n
15、 一 1)an，因此 s“(x)=anx=s(x)。 故有 s“(x)一 s(x)=0。 ()微分方程s“(x)一 s(x)=0 的特征方程为 2 一 1=0，解得 1=一 1， 2=1，所以 s(x)=c1e-x+c2ex，其中 c1，c 2 为常数。又 a0=s(0)=3c 1+c2=3，a 1=s(0)=1c 2 一 c1=1，解得c1=1，C 2=2，所以 s(x)=e-x+2ex。【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 由于 =x 2，令x n1，即x1，于是有 x(1，1)。令 x=一 1，原级数变为一 1+ ，收敛；令 x=1，原级数变为 1+ ，收敛。故收敛域为一 1，1。令
16、故 f(x)=(1+x2)arctanx，x一 1，1。【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 其中 s2为几何级数，根据公式其和 s2= ；而 s1 可看作幂级数【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数31 【正确答案】 f(x)为偶函数，由傅里叶级数的系数公式，得 a 0=201(2+x)dx=5， an=201(2+x)cos(nx)dx= (n=1，2，3) ， b n=0(n=1，2，3，)。 因为 f(x)=2+ x在区间 一 1，1上满足狄利克雷收敛定理条件，所以【知识模块】 无穷级数32 【正确答案】 根据傅里叶级数的定义，傅里叶级数表达式中的系数由狄利克雷收敛定理知令 a=1，x=0，由狄利克雷收敛定理知【知识模块】 无穷级数
