1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 级数 ( )（A）收敛（B）发散（C）条件收敛（D）绝对收敛2 当x1 时，级数 的和函数是 ( )（A）ln(1-x)（B）（C） ln(x-1)（D）-ln(x 一 1)3 函数 展成余弦级数时，应对 f(x)进行( )（A）周期为 2l 的延拓（B）偶延拓（C）周期为 l 的延拓（D）奇延拓4 函数项级数 的收敛域为( )（A）(-1，1)（B） (-1，0)（C） 一 1，0（D）一 1，0)5 设 f(x)=x2(0x1)，而 其中 bn=( )（A）（B）（C）（D）6
2、 已知级数(1) 和级数(2) 则( )（A）级数(1)收敛，级数 (2)发散（B）级数 (1)发散，级数(2)收敛（C）两级数都收敛（D）两级数都发散7 当级数 ( )（A）一定条件收敛（B）一定绝对收敛（C）一定发散（D）可能收敛，也可能发散8 级数 ( )（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）敛散性与 a 有关9 若正项级数 发散，则 ( )（A） 必收敛（B） 必发散（C） 必收敛（D） 必发散10 设数列a n单调减少， 无界，则幂级数的收敛域为 ( )（A）(-1，1（B） 一 1，1)（C） 0，2)（D）(0 ，211 设 un0(n=1，2，)，且 ( )（A）发散（B
3、）绝对收敛（C）条件收敛（D）敛散性由所给条件无法确定二、填空题12 若将 在0，2上展开成正弦级数，则该级数的和函数 S(x)为_13 设 的敛散性为_14 正项级数 收敛的充分必要条件为其部分和数列S n_15 幂级数 的收敛域为_16 ex 展开成 x-3 的幂级数为 _17 设 则其以 2 为周期的傅里叶级数在 x= 处收敛于_18 级数 当_时绝对收敛；当_时条件收敛；当_时发散19 若 在 x=一 3 处为条件收敛，则其收敛半径 R=_20 幂级数 在收敛域(一 1，1)内的和函数 S(x)为_21 函数 在-， 上展开傅里叶级数则 an=_，b n=_，和函数 S(x)=_22
4、设 则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 x= 处收敛于_23 设 f(x)在区间一 ， 上连续且满足 f(x+)=一 f(x)，则 f(x)的傅里叶系数a2n=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 设 的值25 求级数 的和函数26 设函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，且 f(x)=eax(0x2)，其中 a0，试将f(x)展开成傅里叶级数，并求数值级数 的和27 判断下列正项级数的敛散性：28 设 都是正项级数试证：(1)若 收敛；(2)若 收敛，且 un 单调减少，则 收敛；(3)若都收敛；(4)若 收敛29 设 证明：级数 收敛30 试判断级数 的敛散性31
5、 设 ，是正项级数，并设 (1)求证：若发散；(2)当 b=1 时，试举出可能收敛也可能发散的例子32 根据阿贝尔定理，已知 在某点 x1(x1x0)的敛散性，证明该幂级数的收敛半径可分为以下三种情况：(1)若在 x1 处收敛，则收敛半径 Rx 1 一x0；(2)若在 x1 处发散，则收敛半径 Rx 1 一 x0；(3)若在 x1 处条件收敛，则收敛半径 R=x 1 一 x033 设幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=2b 处发散，求幂级数 的收敛半径 R 与收敛域，并分别求幂级数 的收敛半径34 将 y=sinx 展开为 的幂级数35 将 展开为 x+1 的幂级数36 设 (1)将 f(x)
6、展开为 x 的幂级数； (2)分别判断级数的敛散性37 设 证明：级数 收敛，并求其和38 (1)证明： (2)求39 求级数40 (1)求函数项级数 e-x+2e-2x+ne-nx+收敛时 x 的取值范围；(2)当上述级数收敛时，求其和函数 S(x)，并求41 设数列a n满足 a1=a21，且 an+1=an+an-1，n=2，3，证明：在 时幂级数 收敛，并求其和函数与系数 an42 设 (1)求 y(0)，y (0)，并证明：(1 一 x2)y一 xy=4；(2)求 的和函数及级数 的值43 (1)证明：等式 (2)求级数的和考研数学一（无穷级数）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列
7、每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 B【试题解析】 【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 B【试题解析】 当 f(x)在-l，l上为偶函数，且满足收敛定理的条件时，则 f(x)可在一 l，l 上的连续区间上展开成余弦级数，故对0，l上的 f(x)要进行偶延拓【知识模块】 无穷级数4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 A【试题解析】 由 表达式可知，b n 是将 f(x)进行奇延拓后的函数按周期为 2 展开的傅里叶系数，S(x) 是其相应的傅里叶级数的和函数，将 f(x)进
8、行周期为 2 的奇延拓得 F(x)，S(x)为 F(x)的傅里叶级数的和函数因处 F(x)连续，故由狄利克雷定理可知【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 D【试题解析】 设 则u 2n为单调增数列，故0，从而级数(1)发散，由级数 发散的定义可知，级数(2)一般项极限不为零，故发散【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 B【试题解析】 因级数 都为正项级数，且收敛，又由比较审敛法 绝对收敛【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 D【试题解析】 当 a=0 时， 为交错级数，当 n3 时满足莱布尼茨定理，所以收敛当 a=1 时， 的一般项 不趋于零，发散，所以，敛散性与 a 有关【知识模块】
9、无穷级数9 【正确答案】 C【试题解析】 级数 存在 N，当 nN 时，an2an，由比较审敛法， 必收敛【知识模块】 无穷级数10 【正确答案】 C【试题解析】 本题主要考查交错级数的莱布尼茨判别法和幂级数的收敛区间、收敛域的概念，是一道综合了多个知识点的考题因数列a n单调减少， ,故根据莱布尼茨判别法知，交错级数 收敛，即幂级数 在 x=0处条件收敛；又 在 x=2 处发散；综上，幂级数 的收敛域为0，2)，故答案应选 C【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 C【试题解析】 由 所考查级数为交错级数，但不能保证 的单调性，不满足莱布尼茨定理的条件，于是按定义考查部分和【知识模块】 无
10、穷级数二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 根据狄利克雷收敛定理(需进行奇延拓)，【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 发散【试题解析】 【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 有界(或有上界)【试题解析】 级数 收敛等价于S n收敛对于正项级数 为单调递增数列由数列极限存在准则与数列收敛的必要条件可知，单调递增数列S n收敛等价于S n有界( 或有上界)【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 一 1，1【试题解析】 【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】 【试题解析】 e=e 3+(x-3)=e3.e-3，因【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 【试题解析】 由狄利克雷收
11、敛定理及 f(x)的周期性可知，不管 f(x)在 x= 处是连续还是间断，其傅里叶级数的和 S()都可用 统一表示因 f()-=一5，f(一 +)= x=-x=2 故【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 p1；0p1；p0【试题解析】 【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 3【试题解析】 因 在 x=一 3 收敛，故由阿贝尔定理，x3 时， 绝对收敛又因 在 x=一 3 条件收敛，故x3 时， 发散如若不然，必存在 x1，使x 13 且有在 x=x1 处 收敛由阿贝尔定理便可推出xx 1时，特别是 x=一 3 时 绝对收敛这与题设在 x=一 3 处条件收敛相矛盾综上，由收敛半径的定义便
12、有 R=3【知识模块】 无穷级数20 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 【试题解析】 f(x)在一 ， 上满足狄利克雷收敛定理条件，进行周期延拓得 F(x)，有 F(x)f(x)， x-，由收敛定理可知：【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。24 【正确答案】 令 x=n 一 t，则【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 【知识
13、模块】 无穷级数28 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数31 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数32 【正确答案】 根据阿贝尔定理，(1)(2)是显然的对于(3)，因幂级数在点 x1 处收敛，则 Rx 1 一 x0；另一方面，因幂级数在点 x1 处条件收敛，则 Rx 1 一 x0因若不然，则该点是绝对收敛，而不是条件收敛，这与题设矛盾，于是，综合上述两方面得该幂级数的收敛半径 R=x 1 一 x0【知识模块】 无穷级数33 【正确答案】 由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知 的收敛半径 R=b，其收敛
14、域为一bxb注意到幂级数分别经逐项求导和逐项积分所得，根据幂级数逐项求导、逐项积分所得幂级数的收敛半径不变的性质，即知它们的收敛半径都是 R= b【知识模块】 无穷级数34 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数35 【正确答案】 如果此题这样做： 是行不通的改用“ 先积后导 ”的方法：【知识模块】 无穷级数36 【正确答案】 (1)把 f(x)作初等变换，并利用几何级数 得f(x)展开为 x 的幂级数(2)根据幂级数展开式的唯一性得 f(x)在 x0=0 处的高阶导数【知识模块】 无穷级数37 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数38 【正确答案】 (1) (2)解【知识模块】 无穷级数39
15、【正确答案】 【知识模块】 无穷级数40 【正确答案】 (1)该函数项级数的通项 un(x)=ne-nx，u n-1(x)=(n+1)e-(n+1)x【知识模块】 无穷级数41 【正确答案】 (1)显然，a n是正项严格单调增加数列，且有a3=2，a 4=a2+a32a=2 2，假设 ana n-2，则有 an+1=an+an-12a n2 n-1，故由归纳法得an2 n-2于是，所考虑的级数的通项有(2)原幂级数化为移项后得原幂级数的和函数为(3)将 展开为 x 的幂级数，有而的和函数，则由幂级数展开式的唯一性，经比较系数得原幂级数的系数，【知识模块】 无穷级数42 【正确答案】 (1)(2)下面求解微分方程(1 一 x2)y一 xy=4首先，应该可以想到本题用 “二阶可降阶”的方法，令 y=p，考生可以自练但是本题更好的做法是如下的分析：【知识模块】 无穷级数43 【正确答案】 (1)考虑待证明等式右边的函数 展开为余弦级数，因y=x是偶函数，故只要将 f(x)=x在区间一 1，1上展开为傅里叶级数，其中半周期 l=1，它的傅里叶系数 bn=0n=12，因 f(x)=x在一 1， 1上连续，故它的傅里叶级数展开式(2)在上述等式中，令 x=0，即得数项级数【知识模块】 无穷级数
