1、考研数学一（无穷级数）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 an0(n=1，2，3，)且a2n ( )（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）敛散性与 A 有关。2 设 an 为正项级数，下列结论中正确的是( )（A）若 an 收敛。（B）若存在非零常数 ，使得 an 发散。（C）若级数 n2an=0。（D）若级数 an 发散，则存在非零常数 ，使 nan=。3 级数 (0，0)的敛散性( )（A）仅与 取值有关。（B）仅与 取值有关。（C）与 和 的取值有关。（D）与 和 的取值无关4 下列级数中属于条件收敛的是( )5
2、设 a0 为常数，则 ( )（A）绝对收敛。（B）条件发散。（C）发散。（D）收敛性与 a 有关。6 若 an(x 一 1)n 在 x=一 1 处收敛，则此级数在 x=2 处( )（A）条件收敛。（B）绝对收敛。（C）发散。（D）收敛性不确定。7 下列四个级数中发散的是( )8 若级数 bn 发散，则( )（A） anbn 必发散。（B） an 必收敛。（C） bn 必发散。（D） (an+b n)必发散。9 级数 (a 为常数)( )（A）绝对收敛。（B）条件收敛。（C）发散。（D）敛散性与 a 有关。二、填空题10 若级数(a 1+a2)+(a3+a4)+(a2n1+a2n)+发散，则级数
3、 an=_。11 级数 =_。12 设 f(x)= 则其以 2 为周期的傅里叶级数在点 x= 处收敛于_。13 幂级数 的收敛半径为_。14 设函数 f(x)=x2，0x 1，而 s(x)= bnsinnx，一 x+，其中 bn=201f(x)sinnxdx，n=1，2，3，则 s(一 )=_。15 设 f(x)=x+x2，一 x，且 f(x)在一 ，上的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，b n=_。16 设 f(x)= f(n)(1)=_。17 幂级数 的和函数为_。18 设有以下命题 则以上命题正确的序号是_。19 已知幂级数 (x 一 a)n 在 x0 时发散，且在 x=0
4、 时收敛，则 a 的取值是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 判别级数 的敛散性。21 判别下列级数的敛散性：22 求级数 的和。23 求常数项级数 的和。24 求级数 的和函数。25 求幂级数 的收敛域及和函数。26 证明级数 条件收敛。27 判断级数 的敛散性。28 求级数 的和。29 在 x=1 处将函数 f(x)= 展成幂级数。30 将函数 f(x)= 展开成 x 一 1 的幂级数，并求数项级数的和。31 将函数 f(x)= 展开为正弦级数和余弦级数。32 设函数 f(x)=x2，x 0，将 f(x)展开为以 2 为周期的傅里叶级数，并证明。考研数学一（无穷级数
5、）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 由于 an 为正项级数且收敛，则级数 a2n 收敛，而则由比较判别法知 a2n 绝对收敛。故选 A。【知识模块】 无穷级数2 【正确答案】 B【试题解析】 取 an=发散，(A)不对；取an= =+，(c)不对；取 an=nan=+，(D)不对。故应选 B。【知识模块】 无穷级数3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 。(1)当 01 时，级数 发散。(2)当 1 时，级数 收敛。(3)当=1 时，原级数为 ，此时，当1 时收敛，当 1 时发散，故应选 C。【知识模块】
6、无穷级数4 【正确答案】 D【试题解析】 由排除法，因此应选 D。【知识模块】 无穷级数5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 1 一 cos收敛，根据绝对收敛的定义知 绝对收敛。因此应选 A。【知识模块】 无穷级数6 【正确答案】 B【试题解析】 因 x=一 1 为级数的收敛点，知级数在x 一 1一 11=2内收敛，即当一 1x3 时绝对收敛，x=2 在区间(一 1，3) 内，故应选 B。【知识模块】 无穷级数7 【正确答案】 B【试题解析】 对于(A) ，因为而级数发散，由比较审敛法的极限形式知级数 发散。应选 B。 对于(C)，这是一个交错级数，而且 令 f(x)=，因此当 xe 2 时
7、，f(x) 0，f(x) 单调减少，所以当 ne 2(e2表示不大于 e2 的最大整数)时， ，由交错级数的莱布尼茨判别法知，级数 收敛。 对于(D)，因为【知识模块】 无穷级数8 【正确答案】 D【试题解析】 由 (an+b n)一定发散，故应选 D。【知识模块】 无穷级数9 【正确答案】 D【试题解析】 当 a=0 时， 为交错级数，且当 n3 时满足莱布尼茨定理，所以收敛。当 a=1 时， 不趋于零，发散。所以，敛散性与 a 有关。故选 D。【知识模块】 无穷级数二、填空题10 【正确答案】 发散【试题解析】 如果 an 收敛，由级数性质知，收敛级数加括号仍收敛，则级数 (a1+a2)+
8、(a3+a4)+(a2n1 一 a2n)+收敛，与题设矛盾。【知识模块】 无穷级数11 【正确答案】 e 2 一 1【试题解析】 由于 ex= =e2 一 1。【知识模块】 无穷级数12 【正确答案】 【试题解析】 由狄利克雷收敛定理知，f(x)在 x= 处收敛于。【知识模块】 无穷级数13 【正确答案】 【试题解析】 该幂级数的收敛半径【知识模块】 无穷级数14 【正确答案】 【试题解析】 正弦级数 s(x)是对 f(x)在(一 1，0)上作奇延拓后函数的傅里叶级数，故【知识模块】 无穷级数15 【正确答案】 【试题解析】 根据傅里叶系数的计算公式可得【知识模块】 无穷级数16 【正确答案】
9、 e -1【试题解析】 由于函数在 x=1 处的泰勒级数展开式唯一，所以 f(x)= (x一 1)n，对照比较已知表达式得=e-1。【知识模块】 无穷级数17 【正确答案】 ln2 一 ln(3 一 x)，x 一 1，3)【试题解析】 令 s(x)= ，则 s(1)=0，对等式两边求导得再在等式两边从 1 到 x 积分，得 s(x)一 s(1)= =ln2 一 ln(3 一 x)，x(一 1，3)，所以 s(x)=ln2 一 ln(3 一 x)，x(一 1，3)。 当 x=一 1 时，s(x)连续，收敛；当 x=3 时，s(x)无意义，的和函数为 s(x)=ln2 一 ln(3 一 x)，x一
10、 13)。【知识模块】 无穷级数18 【正确答案】 【试题解析】 级数加括号 (u2n1+u2n)收敛，原级数 (一 1)n1，则 不正确； un 去掉了前 100 项，则由un+100 收敛，则 正确；则当 n 充分大时u n+1u n0，从而【知识模块】 无穷级数19 【正确答案】 一 1【试题解析】 由 =1，则该幂级数的收敛半径为 1，从而得其收敛区间为 x 一 a1，即 a 一 1xa+1。 当 x 一 a=1，即 x=a+1 时，原函数为 收敛；当 x 一 a=一 1，即 x=a 一 1 时，原级数为，发散。因此，原级数的收敛域为 a 一 1xa+1。 由题设，x=0 时级数收敛，
11、x0 时级数发散，可知 x=0 是其收敛区间的一个端点，且位于收敛域内。因此只有 a+1=0即得 a=一 1。【知识模块】 无穷级数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设 un=1 的 p 级数，收敛，所以由比较判别法，原级数收敛。【知识模块】 无穷级数21 【正确答案】 利用根值判别法【知识模块】 无穷级数22 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数23 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数24 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数25 【正确答案】 由于 =1，所以级数的收敛半径 R=1，且在 x=1 处级数发散，故收敛域为(一 1，1)。其中 0x1，且
12、s(0)=3。【知识模块】 无穷级数26 【正确答案】 令 an=发散，所以由比较判别法可知，级数 an 不绝对收敛。 注意到原级数 并没有单调性，所以不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。转而考虑其部分和数列s 2n和s 2n+1。 因为(注意部分和数列从 k=2 开始)即数列s 2n单调递减有下界，所以由单调有界原理司知数列s 2n收敛。 再由s2n+1=s2n+a2n+2，且 =0，可知数列s 2n+1也收敛，且 s2n+1。所以部分和数列s n收敛。 由级数收敛的定义可知，级数条件收敛。【知识模块】 无穷级数27 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数28 【正确答案】 原级数nx2n1，其
13、收敛区间为(一 ，+)，并记其和函数 s(x)= ，则有【知识模块】 无穷级数29 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数30 【正确答案】 【知识模块】 无穷级数31 【正确答案】 将函数展开为正弦级数： 先将函数作奇延拓，再作周期延拓，由已知，l=2 ， T=2l=4，a n=0(n=0，1，2，)。故 f(x)的正弦级数展开式为在端点x=0，1 ，2 处级数收敛到零。 将函数展开为余弦级数： 先将函数作偶延拓，再作周期延拓，由已知，l=2， T=2l=4，b n=0(n=1，2，)，故 f(x)的余弦级数展开式为 f(x)= (0x2 且 x1)，在点 x=1 处级数收敛到零。【知识模块】 无穷级数32 【正确答案】 将 f(x)作奇延拓，展开为正弦级数，令 g1(x)=则 an=0，n=0，1，2，而当 x= 时，该级数收敛于零。【知识模块】 无穷级数
