1、考研数学一（无穷级数）-试卷 5 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 0u n ，则下列级数中一定收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 a0 为常数，则 （分数：2.00）A.绝对收敛B.条件收敛C.发散D.敛散性与口有关4.设 f(x)=x+1(0x1)，则它以 2 为周期的余弦级数在 x=0 处收敛于 ( )（分数：2.00）A.1B.-1C.0D.*5.级数 （分数：2.00）A.收敛B.发散C.条件收敛D.绝对收敛6.
2、当x1 时，级数 （分数：2.00）A.ln(1-x)B.C.ln(x-1)D.-ln(x-1)7.函数 （分数：2.00）A.周期为 2l 的延拓B.偶延拓C.周期为 l 的延拓D.奇延拓8.函数项级数 （分数：2.00）A.(-1，1)B.(-1，0)C.-1，0D.-1，0)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_10.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_11.若将 （分数：2.00）填空项 1:_12.设 （分数：2.00）填空项 1:_13.正项级数 （分数：2.00）填空项 1:_14.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_15.
3、e x 展开成 x-3 的幂级数为 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求级数 （分数：2.00）_18.设函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，且 f(x)=e ax (0x2)，其中 a0，试将 f(x)展开成傅里叶级数，并求数值级数 （分数：2.00）_19.判断下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_20.设 都是正项级数试证： （分数：2.00）_21.设 （分数：2.00）_22.试判断级数 （分数：2.00）_23.设 (1)求证：若 b1，则 （分数：
4、2.00）_24.根据阿贝尔定理，已知 （分数：2.00）_25.设幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=2b 处发散，求幂级数 的收敛半径 R 与收敛域，并分别求幂级数 （分数：2.00）_26.将 y=sinx 展开为 （分数：2.00）_27.将 f(x)= （分数：2.00）_考研数学一（无穷级数）-试卷 5 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 0u n ，则下列级数中一定收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：
5、因 0u n 收敛，由正项级数的比较审敛法知 收敛，故 绝对收敛从而收敛，故选(D) (A)，(C)错，如 (B)错，如 3.设 a0 为常数，则 （分数：2.00）A.绝对收敛 B.条件收敛C.发散D.敛散性与口有关解析：解析：因 01- 收敛，因此4.设 f(x)=x+1(0x1)，则它以 2 为周期的余弦级数在 x=0 处收敛于 ( )（分数：2.00）A.1 B.-1C.0D.*解析：解析：要得到以 2 为周期的余弦级数，f(x)需延拓为以 2 为周期的偶函数 F(x)因 x=0 时，f(x)连续，由狄利克雷收敛定理，余弦级数在 x=0 处收敛于 F(0)=f(0)=1故选(A)5.级
6、数 （分数：2.00）A.收敛B.发散C.条件收敛 D.绝对收敛解析：解析：设 u n = 对于 发散，故由比较审敛法的极限形式可知 发散 而 是单调递减数列，且极限显然为 0由莱布尼茨定理知， 6.当x1 时，级数 （分数：2.00）A.ln(1-x)B. C.ln(x-1)D.-ln(x-1)解析：解析：设 S(x)=7.函数 （分数：2.00）A.周期为 2l 的延拓B.偶延拓 C.周期为 l 的延拓D.奇延拓解析：解析：当 f(x)在-l，l上为偶函数，且满足收敛定理的条件时，则 f(x)可在-l，l上的连续区间上展开成余弦级数故对0，l上的 f(x)要进行偶延拓8.函数项级数 （分数
7、：2.00）A.(-1，1)B.(-1，0)C.-1，0D.-1，0) 解析：解析：因二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 S(x)=10.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1，3)）解析：解析：令 y=x-2，则11.若将 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：S(x)=*）解析：解析：根据狄利克雷收敛定理(需进行奇延拓)，12.设 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：发散）解析：解析：由13.正项级数 （分数：2.00）填空项 1:
8、_ （正确答案：正确答案：有界(或有上界)）解析：解析：级数 收敛等价于S n 收敛对于正项级数 14.幂级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-1，1）解析：解析： 为缺项级数，不能通过 求 R，可用比值审敛法求收敛半径 R具体为： 当x 2 1，即x1 时，级数绝对收敛； 当x 2 1，即x1 时，级数发散，故R=1 当 x=1 时，原级数 收敛； 当 x=-1 时，原级数 15.e x 展开成 x-3 的幂级数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*(-x+)）解析：解析：e x =e 3+(x-3) =e 3 .e x-3 ，因 三、解答
9、题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 又 y(0)=1，y“(0)=0于是得到如下微分方程： 特征方程为 r 2 -1=0，r=1，得通解： y=C 1 e x +C 2 e -x 求导，得 y“=C 1 e x -C 2 e -x 将初值条件代入，解得 C 1 =C 2 = 故 )解析：18.设函数 f(x)是以 2 为周期的周期函数，且 f(x)=e ax (0x2)，其中 a0，试将 f(x)展开成傅里叶级数，并求数值级数 （分数：2.00）_正确答案：
10、(正确答案： 因此，由狄利克雷收敛定理知 令 a=1，x=0，由狄利克雷收敛定理知)解析：19.判断下列正项级数的敛散性： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)显然， 收敛，由比较审敛法得 收敛 (2)因 收敛 (3)因又因 )解析：20.设 都是正项级数试证： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由算术平均值不小于其几何平均值得 ，即数列 u n 有下界 1，由此又得u n+1 -u n = ，即u n 单调减少，则根据单调有界准则知极限 必存在，由u n 单调减少知所考虑的级数为正项级数，且有 因 存在，则由级
11、数敛散性的定义知级数 收敛于是，由比较审敛法得原正项级数 )解析：22.试判断级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于该级数的通项 ，则题给的级数是交错级数，它可以改写为 因 发散，由比较审敛法知 发散，即题给的级数不是绝对收敛 显然，数列u n 满足 ，则在 x2 时，f“(x)=- ，故 f(x)在2，+)内单调减少，从而数列u n 单调减少，于是，题给的级数 )解析：23.设 (1)求证：若 b1，则 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 b1，任取 0，使得 b-1因为 因 b-e1，所以 收敛又假设 b1，任取 0，使得 b+1，因为 )解析：24.根据阿贝
12、尔定理，已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据阿贝尔定理，(1)(2)是显然的 对于(3)，因幂级数 在点 x 1 处收敛，则 Rx-x 0 ；另一方面，因幂级数 )解析：25.设幂级数 在 x=0 处收敛，在 x=2b 处发散，求幂级数 的收敛半径 R 与收敛域，并分别求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 t=x-b，收敛中心 x 0 =b 的幂级数 (x-b) n 化为收敛中心 t 0 =0 的幂级数 根据阿贝尔定理可以得到如下结论： 因为 在 t=-b 处收敛，从而当t-b=b时，幂级数 绝对收敛 由于 t=b 处发散，进而当tb 时，幂级数 发散 由上述两方面，根据幂级数收敛半径的定义即知 的收敛半径 R=b，其收敛域为-bxb 注意到幂级数 )解析：26.将 y=sinx 展开为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.将 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如果此题这样做： 是行不通的 改用“先积后导”的方法： )解析：
