1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 27及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X服从正态分布 N( 1 ， 1 2 )，Y 服从正态分布 N( 2 ， 2 2 )，且 P|X- 1 1P|Y- 2 |1)则必有( )（分数：2.00）A. 1 2B. 1 2C. 1 2D. 1 24.设随机变量 X 1 ，X 2
2、，X n (n1)独立同分布，且其方差 2 0，令 ，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，f X (x)，f Y (y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y的条件下，X 的条件概率密度为 f X|Y (x|y)( )（分数：2.00）A.f X (x)B.f Y (y)C.f X (x)f Y (y)D.6.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，S 2 为样本方差，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.已知 P(
3、A)=P(B)=P(C)= ，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)= （分数：2.00）填空项 1:_8.设 A，B，C 是随机事件，A 与 C互不相容， （分数：2.00）填空项 1:_9.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取 2件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X服从均值为 10，均方差为 002 的正态分布，已知 （分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 y服从参数为 1的指数分布，a 为常数且大于零，则 PYa+1|ya= 1（分数：2.00）填空项 1:_12.设随机变量 X服从参数
4、为 的指数分布，则 PX （分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|X-E(X)|2 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 X 1 ，X n 是来自总体 N(， 2 )的简单样本，其中 、 2 均未知，记 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：11，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_16.设随机变量 X的绝对值不大于 1，P(X=-1)=18，P(X=1)=14，在=1X1出现的条件下，X 在区间(-1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求 X的分布函数 F
5、(x)（分数：2.00）_证明：（分数：4.00）(1).若随机变量 X只取一个值 a，则 X与任一随机变量 Y独立；（分数：2.00）_(2).若随机变量 X与自己独立，则必有常数 C，使得 P(X=c)=1（分数：2.00）_17.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：0x1，|y|x 内服从均匀分布，求关于 X的边缘概率密度函数及随机变量 Z=2X+1的方差 DZ（分数：2.00）_18.设 A，B 为随机事件，且 （分数：2.00）_19.设随机变量 X在区间(-1，1)上服从均匀分布，Y=X 2 ，求(X，Y)的协方差矩阵和相关系数（分数：2.00）_20.现有 k个人在某大楼的一层进
6、入电梯，该楼共 n+1层，电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再入电梯)，现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值（分数：2.00）_21.设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布，这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为 100和 150(小时)，而成本分别为 c和 2c元，如果制得的元件寿命不超过 200小时，则须进行加工，费用为 100元，为使平均费用较低，问 c取值时，用第 2种方法较好?（分数：2.00）_22.从总体 XN(0， 2 )中抽得简单样本 X 1 ，X n+m ，求 （分数：2.00）_设随机变量
7、 X与 y相互独立且分别服从正态分布 N(， 2 )与 N(，2 2 )，其中 是未知参数且0记 Z=X-Y（分数：6.00）(1).求 Z的概率密度 f(z， 2 )；（分数：2.00）_(2).设 Z 1 ，Z 2 ，Z n 为来自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：2.00）_(3).证明 （分数：2.00）_23.从均值为 ，方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为，n 1 和 n 2 的两个独立样本，样本均值分别记为 和 ，试证：对任意满足 a+b=1的常数 a、b，T= （分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 27答案解析(总分：54.00，做题
8、时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设两个相互独立的随机变量 X和 Y分别服从正态分布 N(0，1)和 N(1，1)，则( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由题意可知 X+YN(1，2)，故 N(0，1) 其中 X+YN(1，2)的理由：EX=0，EY=1，DX=DY=1 E(X+Y)=EX+EY=0+1=1，D(X+Y)=DX+DY=1+1=2 故得之 P(X+Y1)=3.设随机变量 X服从正态分布 N( 1 ， 1 2 )，Y 服从正态分布 N( 2 ，
9、2 2 )，且 P|X- 1 1P|Y- 2 |1)则必有( )（分数：2.00）A. 1 2 B. 1 2C. 1 2D. 1 2解析：解析： 4.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且其方差 2 0，令 ，则( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：cov(X 1 ，Y)= 5.设随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，f X (x)，f Y (y)分别表示 X，Y 的概率密度，则在 Y=y的条件下，X 的条件概率密度为 f X|Y (x|y)( )（分数：2.00）A.f X (x) B.f Y (y)C.f X (x)f Y (y)
10、D.解析：解析：由(X，Y)服从二维正态分布，且 X与 Y不相关，故 X与 Y独立，(X，Y)的概率密度f(x，y=f X (x)f Y (y)， (x，y)R 2 得 6.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，S 2 为样本方差，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由题意可知：X 1 2 2 (1)， X i 2 2 (n-1)，且 X 1 2 与 X i 2 相互独立，故 二、填空题(总题数：8，分数：16.00)7.已知 P(A)=P(B)=P(C)= ，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)= （分数：2.0
11、0）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：ABC AB，0P(ABC)P(AB)=0，P(ABC)=0 所求概率为 =1-P(ABC) =1-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)8.设 A，B，C 是随机事件，A 与 C互不相容， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：9.设 10件产品中有 4件不合格品，从中任取 2件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：记 A=取的 2件产品中至少有 1件是不合格品
12、)，B=取的 2件产品都是不合格品)，则 P(A)=，有 AB=B，所求概率为 P(B|A)=10.设随机变量 X服从均值为 10，均方差为 002 的正态分布，已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：09876）解析：解析：由题意，XN(10，002 2 )， P995X1005)= 11.设随机变量 y服从参数为 1的指数分布，a 为常数且大于零，则 PYa+1|ya= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1-e -1）解析：解析：由题意，Y 的分布函数为12.设随机变量 X服从参数为 的指数分布，则 PX （分数：2.00）填空项 1:_ （正
13、确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意，DX= ，而 X的概率密度为13.设随机变量 X的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 P|X-E(X)|2 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：12）解析：解析：切比雪夫不等式为：P|X-E(X)| 2 ) ，故 P|X-E(X)|2 14.设 X 1 ，X n 是来自总体 N(， 2 )的简单样本，其中 、 2 均未知，记 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：11，分数：26.00)15.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：16.设随机变量 X的绝对值
14、不大于 1，P(X=-1)=18，P(X=1)=14，在=1X1出现的条件下，X 在区间(-1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比，求 X的分布函数 F(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F(x)=P(Xx)，由已知得：x-1 时，F(x)=0；x1 时，F(x)=1；F(-1)=P(X-1)= P(x=-1)=18，当-1x1 时，有 P-1Xx|-1X1=k(x+1)，而 P(-1X1)=58，可化得 P(-1Xx)=k“(x+1)，其中 k“=58k(待定)，故 P(xx)=P(-1Xx)=P(X=-1)+P(-1Xx)= +k“(x+1)，又由 14=
15、P(X=1)=F(1)-F(1-0)=1-( +2k“)，得 k“=516，即-1x1 时，F(x)= )解析：证明：（分数：4.00）(1).若随机变量 X只取一个值 a，则 X与任一随机变量 Y独立；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：xa 时，P(Xx)=0，故 P(Xx，Yy)=P(Xx)P(yy)=0，xa 时，P(Xx)=1，故 P(Xx，Yy)=P(Yy)=P(Xx)P(Yy) )解析：(2).若随机变量 X与自己独立，则必有常数 C，使得 P(X=c)=1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由已知得： (x，y)R 2 ，有 P(Xx，Xy)=P(Xx)P(Xy)记
16、 X的分布函数为 F(x)，则 F(x)=P(Xx) 前式中令 y=x即得 F(x)=F(x) 2 ，可见 F(x)只能取 0或 1，又由 F(-)=0，F(+)=1，知必存在 C(常数)，使得 )解析：17.设二维随机变量(X，Y)在区域 D：0x1，|y|x 内服从均匀分布，求关于 X的边缘概率密度函数及随机变量 Z=2X+1的方差 DZ（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：D 的面积(见图 46)为 (X，Y)的概率密度为： 关于 X的边缘概率密度 f X (x)= - + f(x，y)dy 当 x0 或 x1 时，f X (x)=0； 当 0x1 时，f X (x)= -x x 1
17、dy=2x 故 DZ=D(2X+1)=4DX= )解析：18.设 A，B 为随机事件，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ()P(X=1，Y=1)=P(AB)=112， 故(X，Y)的概率分布为： ()由()易得关于 X、Y 的概率分布(列)分别为； )解析：19.设随机变量 X在区间(-1，1)上服从均匀分布，Y=X 2 ，求(X，Y)的协方差矩阵和相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的概率密度为： DY=E(Y 2 )-(EY) 2 =E(X 4 )-EX 2 ) 2 = ，cov(X，Y)=cov(X，X 2 )=E(X 3 )-EXEX 2 =0，故知(X
18、，Y)的相关系数 (X，Y) =0，协方差阵为 )解析：20.现有 k个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共 n+1层，电梯在任一层时若无人下电梯则电梯不停(以后均无人再入电梯)，现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布，这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分别为 100和 150(小时)，而成本分别为 c和 2c元，如果制得的元件寿命不超过 200小时，则须进行加工，费用为 100元，为使平均费用较低，问 c取值时，用第 2种方法较好?（分
19、数：2.00）_正确答案：(正确答案：记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为 X、Y，费用分别为 、，则知X、Y 的概率密度分别为： 且 P(X200)= ，E=(c+100)P(X200)+c，P(X200)=c+100p(X200)，E=(2c+100)P(Y200)+2cP(Y200)=2c+100P(Y200)，于是 E-E=c+100P(Y200)-P(X200)=c+100 ，可见 c100 )解析：22.从总体 XN(0， 2 )中抽得简单样本 X 1 ，X n+m ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： N(0，1)，i=1，n+m，且诸 X i 相互独立，故：
20、)解析：设随机变量 X与 y相互独立且分别服从正态分布 N(， 2 )与 N(，2 2 )，其中 是未知参数且0记 Z=X-Y（分数：6.00）(1).求 Z的概率密度 f(z， 2 )；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 与 Y独立，可见 Z=X-Y服从正态分布，而 EZ=E(X-Y)=EX-EY=-=0， DZ=D(X-Y)=DX+DY= 2 +2 2 =3 2 ZN(0，3 2 ) 故 f(z； 2 )= )解析：(2).设 Z 1 ，Z 2 ，Z n 为来自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数为 )解析：(3).证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 EZ=0，DZ=3 2 E(Z 2 )=DZ+(EZ) 2 =3 2 )解析：23.从均值为 ，方差为 2 0 的总体中分别抽取容量为，n 1 和 n 2 的两个独立样本，样本均值分别记为 和 ，试证：对任意满足 a+b=1的常数 a、b，T= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
