1、考研数学一（概率与数理统计）-试卷 30及答案解析(总分：62.00，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，记 U=X 1 +X 2 与 V=X 2 +X 3 ，则(U，V)的概率密度为 1（分数：2.00）填空项 1:_2.设 X 1 ，X 2 是来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，则查表得概率 （分数：2.00）填空项 1:_3.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_4.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 XN(， 2 )的样本，则统计量
2、（分数：2.00）填空项 1:_5.设总体 XN(a，2)，YN(b，2)，且独立，由分别来自总体 X和 Y的容量分别为 m和 n的简单随机样本得样本方差 S X 2 和 S Y 2 ，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_6.设总体 X的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_7.设总体 X的方差为 1，根据来自 X的容量为 100的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为 1 （分数：2.00）填空项 1:_8.设总体 XN(，8)，X 1 ，X 2 ，X 36 是来自 X的简单随机样本， 是它的均值如果 （分数：2.00）填空项 1
3、:_二、解答题(总题数：23，分数：46.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.设 X，Y 相互独立同分布，均服从几何分布 PX=k=q k-1 p，k=1，2，求 E(max(X，Y)（分数：2.00）_11.设连续型随机变量 X的所有可能值在区间a，b之内，证明：(1)aEXb；(2) （分数：2.00）_12.对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p 1 ，p 2 ，p 3 ，求产生故障仪器的台数 X的数学期望和方差（分数：2.00）_13.一商店经销某种商品，每周进货量 X与顾客对该种商品的需求量 Y是相互独立的随机变量，且都服从
4、区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1 000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_14.袋中有 n张卡片，分别记有号码 1，2，n，从中有放回地抽取志张，以 X表示所得号码之和，求EX，DX（分数：2.00）_15.设 X与 Y为具有二阶矩的随机变量，且设 Q(a，b)=EY 一(a+bX) 2 ，求 a，b 使 Q(a，b)达到最小值Q min ，并证明：Q min =DY(1一 XY 2 )（分数：2.00）_16.设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，
5、数学期望全为零，方差都是 1，求 X-Y和 YZ的相关系数（分数：2.00）_17.将数字 1，2，n 随机地排列成新次序，以 X表示经重排后还在原位置上的数字的个数(1)求 X的分布律；(2)计算 EX和 DX（分数：2.00）_18.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_19.设随机变量 U在一 2，2上服从均匀分布，记随机变量 （分数：2.00）_20.设 X为随机变量，EX r (r0)存在，试证明：对任意 0 有 （分数：2.00）_21.若 DX=0004，利用切比雪夫不等式估计概率 PX 一 EX02)（分数：2.00）_22.用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬
6、币时，需掷多少次，才能保证正面出现的频率在 04 至06 之间的概率不小于 09（分数：2.00）_23.若随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，满足条件 （分数：2.00）_24.某计算机系统有 100个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率（分数：2.00）_25.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，E(X)=，D(X)= 2 ，求 （分数：2.00）_26.从装有 1个白球、2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 这样连续取 5次得样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 记 Y=X 1 ，X
7、2 ，X 5 ，求： (1)y 的分布律，E(y)，E(Y 2 )； (2) ，E(S 2 )(其中 （分数：2.00）_27.若 XX 1 ，X 2 ，X n (n)，证明：EX=n，DX=2n（分数：2.00）_28.已知 Xt(n)，求证：XX 1 ，X 2 ，X n F(1，n)（分数：2.00）_29.设 X 1 ，X 2 ，X m ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 独立X i N(a， 2 )，i=1，2，m，Y i N(b，X 1 ，X 2 ，X n )，i=1，2，n， ，而 ， 为常数试求 （分数：2.00）_30.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 a：1现有放回的一个
8、接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记 X为所抽到的白球个数这样做了 n次以后，获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 基于此，求未知参数 a的矩估计 和最大似然估计 （分数：2.00）_31.罐中有 N个硬币，其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为 05)，其余 N一 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复 n次，若掷出 0次、1 次、2 次正面的次数分别为 n 0 ，n 1 ，n 2 ，利用(1)矩法；(2)最大似然法，求参数 的估计量（分数：2.00）_考研数学一（概率与数理统计）-试卷 30答案解析(总分：62.00
9、，做题时间：90 分钟)一、填空题(总题数：8，分数：16.00)1.设 X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，记 U=X 1 +X 2 与 V=X 2 +X 3 ，则(U，V)的概率密度为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由(X 1 ，X 2 ，X 3 )服从三维正态分布知，X 1 ，X 2 ，X 3 的线性函数组成的二维随机变量(U，V)也服从二维正态分布，记为 N( 1 ， 2 ， 1 2 ， 2 2 ，)，其中 1 =EU=E(X 1 +X 2 )=E(X 1 )+E(X 2 )=0， 1 2 =DU=D(X
10、1 +X 2 )=D(X 1 )+D(X 2 )=2 2 ， 2 =EV=E(X 2 一 X 3 )=E(X 2 )一E(X 3 )=0， 2 2 =DVD(X 2 一 X 3 )=D(X 2 )+D(X 3 )=2 2 ， 所以(U，V)的概率密度为 2.设 X 1 ，X 2 是来自总体 N(0， 2 )的简单随机样本，则查表得概率 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.9）解析：解析：(X 1 ，X 2 )服从二维正态分布，所以(X 1 +X 2 ，X 1 一 X 2 )也服从二维正态分布，并且由 X 1 +X 2 N(0，2 2 )，X 1 一 X 2 N(0，2
11、2 )知 Cov(X 1 +X 2 ，X 1 一 X 2 )=D(X 1 )一 D(X 2 )=0，即 X 1 +X 2 与 X 1 X 2 相互独立此外， 3.设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：似然函数为4.设 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 是来自正态总体 XN(， 2 )的样本，则统计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(2)）解析：解析：5.设总体 XN(a，2)，YN(b，2)，且独立，由分别来自总体 X和 Y的容量分别为 m和 n的简单随机样本得样本方差 S X 2 和 S Y 2 ，则统
12、计量 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：r 2 (m+n一 2)）解析：解析：因为 6.设总体 X的密度函数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：似然函数为7.设总体 X的方差为 1，根据来自 X的容量为 100的简单随机样本，测得样本均值为 5，则 X的数学期望的置信度近似等于 095 的置信区间为 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(4804，5196)(答(48，52)也对)）解析：解析：设样本为 X 1 ，X 2 ，X n ，EX=，DX= 2 ， 由中心极限定理知，当 n充分大时有： 近似服从 N(
13、0，1)，于是 即 的置信度近似为 1 的置信区间是 8.设总体 XN(，8)，X 1 ，X 2 ，X 36 是来自 X的简单随机样本， 是它的均值如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0.966）解析：解析：由题设可知二、解答题(总题数：23，分数：46.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.设 X，Y 相互独立同分布，均服从几何分布 PX=k=q k-1 p，k=1，2，求 E(max(X，Y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：11.设连续型随机变量 X的所有可能值在区间a，b之内，证明：(1)aE
14、Xb；(2) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 aXb，所以 EaEXEb，即 aEXb(2)因为对于任意的常数 C有DXE(XC) 2 ， )解析：12.对三台仪器进行检验，各台仪器产生故障的概率分别为 p 1 ，p 2 ，p 3 ，求产生故障仪器的台数 X的数学期望和方差（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布为 由此计算 EX和 DX相当麻烦，我们利用期望的性质进行计算 X i 的分布如下： 于是 EX i =p i ，DX i =p i (1一 p i )，i=1，2，3故 )解析：13.一商店经销某种商品，每周进货量 X与顾客对该种商品的需求量 Y是相
15、互独立的随机变量，且都服从区间10，20上的均匀分布商店每售出一单位商品可得利润 1 000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润 500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 T为一周内所得利润，则 )解析：14.袋中有 n张卡片，分别记有号码 1，2，n，从中有放回地抽取志张，以 X表示所得号码之和，求EX，DX（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X i 为第 i张的号码，i=1，2，k，则 X i 的分布为 )解析：15.设 X与 Y为具有二阶矩的随机变量，且设 Q(a，b)=EY 一(a+
16、bX) 2 ，求 a，b 使 Q(a，b)达到最小值Q min ，并证明：Q min =DY(1一 XY 2 )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.设 X，Y，Z 是三个两两不相关的随机变量，数学期望全为零，方差都是 1，求 X-Y和 YZ的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.将数字 1，2，n 随机地排列成新次序，以 X表示经重排后还在原位置上的数字的个数(1)求 X的分布律；(2)计算 EX和 DX（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1
17、)D(XY)=E(X 2 Y 2 )一E(XY) 2 ， )解析：19.设随机变量 U在一 2，2上服从均匀分布，记随机变量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)X，Y 的全部可能取值为一 1，1，且 所以(X，y)的分布律及边缘分布律为 )解析：20.设 X为随机变量，EX r (r0)存在，试证明：对任意 0 有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：若 X为离散型，其概率分布为 PX=x i )=p i ，i=1，2，则 若 X为连续型，其概率密度为 f(x)，则 )解析：21.若 DX=0004，利用切比雪夫不等式估计概率 PX 一 EX02)（分数：2.00）_正确答
18、案：(正确答案：由切比雪夫不等式 )解析：22.用切比雪夫不等式确定，掷一均质硬币时，需掷多少次，才能保证正面出现的频率在 04 至06 之间的概率不小于 09（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设需掷 n次，正面出现的次数为 Y n ，则 依题意应有 )解析：23.若随机变量序列 X 1 ，X 2 ，X n ，满足条件 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由切比雪夫不等式，对任意的 0 有 )解析：24.某计算机系统有 100个终端，每个终端有 20的时间在使用，若各个终端使用与否相互独立，试求有10个或更多个终端在使用的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 则同时使用
19、的终端数 所求概率为 )解析：25.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，E(X)=，D(X)= 2 ，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.从装有 1个白球、2 个黑球的罐子里有放回地取球，记 这样连续取 5次得样本 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 ，X 5 记 Y=X 1 ，X 2 ，X 5 ，求： (1)y 的分布律，E(y)，E(Y 2 )； (2) ，E(S 2 )(其中 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)Y 是连续 5次取球中取得黑球的个数，所以 从而 (2)由于 X的分布律为 所以 )解析：27.若 XX 1 ，X 2
20、，X n (n)，证明：EX=n，DX=2n（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 X 2 (n)，所以 X可表示为 相互独立，且均服从 N(0，1)，于是 )解析：28.已知 Xt(n)，求证：XX 1 ，X 2 ，X n F(1，n)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Xt(n)，则 X可表示为 其中 ZN(0，1)，Y 2 (n)且 Z，Y 相互独立，又 Z 2 2 (1)，于是 )解析：29.设 X 1 ，X 2 ，X m ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 独立X i N(a， 2 )，i=1，2，m，Y i N(b，X 1 ，X 2 ，X n )，i=1，2，n， ，而 ，
21、为常数试求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 X i N(a， 2 )，i=1，2，m，Y i N(b， 2 )，i=1，2，n，且 X 1 ，X 2 ，X m ，Y 1 ，Y 2 ，Y n 相互独立，则 也服从正态分布 )解析：30.一个罐子里装有黑球和白球，黑、白球数之比为 a：1现有放回的一个接一个地抽球，直至抽到黑球为止，记 X为所抽到的白球个数这样做了 n次以后，获得一组样本：X 1 ，X 2 ，X n 基于此，求未知参数 a的矩估计 和最大似然估计 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意知，随机变量 X的分布律为 对于给定的样本 X 1 ，X 2 ，X n ，似然函数为 )解析：31.罐中有 N个硬币，其中有 个是普通硬币(掷出正面与反面的概率各为 05)，其余 N一 个硬币两面都是正面，从罐中随机取出一个硬币，把它连掷两次，记下结果，但不去查看它属于哪种硬币，如此重复 n次，若掷出 0次、1 次、2 次正面的次数分别为 n 0 ，n 1 ，n 2 ，利用(1)矩法；(2)最大似然法，求参数 的估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X为连掷两次正面出现的次数，A=取出的硬币为普通硬币，则 )解析：
