1、考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）-试卷 1及答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 A为 n阶可逆矩阵， 是 A的一个特征值，则伴随矩阵 A * 的一个特征值是（分数：2.00）A. 1 A n1 B. 1 AC.AD.A n1 3.设 A=2是可逆矩阵 A的一个特征值，则 +E的一个特征值是 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 A是 3阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是 Ax=0的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A的特征
2、向量的是（分数：2.00）A. 1 +3 2 B. 1 一 2 C. 1 + 3 D.2 3 5.设 0 是 A属于特征值 0 的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(A+E) 2 B.一 2AC.A T D.A * 6.下列矩阵中不能相似对角化的是 （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 A是 n阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A的特征值只有零B.A必不能对角化C.E+A+A 2 +A m1 必可逆D.A只有一个线性无关的特征向量二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.设 A是 n阶矩阵，r(A)n，则 A必有特征
3、值 1，且其重数至少是 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_9.设 A是 n阶可逆矩阵，A 是 A的特征值，则(A * ) 2 +E必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_10.已知2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_11.设 A是秩为 2的 3阶实对称矩阵，且 A 2 +5A=0，则 A的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_12.已知 =(1，1，一 1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_13.设 A是 3阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 A是 3阶实对称矩阵，特征值是 0，1
4、，2如果 =0 与 =1 的特征向量分别是 1 =(1，2，1) T 与 2 =(1，一 1，1) T ，则 =2 的特征向量是 1（分数：2.00）填空项 1:_15.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_16.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_18.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n年一月份统计的熟练
5、工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成 n = ()求 n+1 与 n 的关系式，并写成矩阵形式： n+1 =A n ； ()求矩阵 A的特征值与特征向量； ()若 0 = （分数：2.00）_19.已知矩阵 A= （分数：2.00）_20.设矩阵 A= （分数：2.00）_21.设 A= ，正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵若 Q的第 1列为 （分数：2.00）_22.设 3阶实对称矩阵 A的特征值， 1 =1， 2 =2， 3 =2，且 1 =(1，一 1，1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 4A 3 +E，其中 E为 3阶单位矩阵 ()验证
6、1 是矩阵 B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B（分数：2.00）_23.已知 A是 3阶实对称矩阵满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0，且秩 r(A)=2求矩阵 A的全部特征值，并求秩 r(A+E)（分数：2.00）_24.设 A是 n阶正交矩阵， 是 A的实特征值， 是相应的特征向量证明 只能是1，并且 也是A T 的特征向量（分数：2.00）_25.设 A，B 均是 n阶矩阵，证明 AB与 BA有相同的特征值（分数：2.00）_26.设 A，B 均是 n阶矩阵，且秩 r(A)+r(B)n，证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_27.若任一
7、n维非零向量都是 n阶矩阵 A的特征向量，则 A是数量矩阵（分数：2.00）_28.设 A是 3阶矩阵，且有 3个互相正交的特征向量，证明 A是对称矩阵（分数：2.00）_29.已知 A= （分数：2.00）_30.已知 A= （分数：2.00）_31.已知 A= （分数：2.00）_32.已知 A是 3阶不可逆矩阵，一 1和 2是 A的特征值，B=A 2 一 A一 2E，求 B的特征值，并问 B能否相似对角化，并说明理由（分数：2.00）_33.设 3阶矩阵 A的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(
8、1，3，9) T ()将向量 =(1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 线性表出； (II)求 A n （分数：2.00）_34.设矩阵 A= 可逆，向量 = （分数：2.00）_35.设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 = 2 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T 都是 A属于 =6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_36.已知 AB，A 2 =A，证明 B 2 =B（分数：2.00）_37.已知 A 2 =0，A0，证明 A不能相似对角化（分数：2.00）_38.已知 1 ， 2 ， 3 是
9、 A的特征值， 1 ， 2 ， 3 是相应的特征向量且线性无关，如 1 + 2 + 3 仍是 A的特征向量，则 1 = 2 = 3 （分数：2.00）_考研数学一（矩阵的特征值与特征向量）-试卷 1答案解析(总分：76.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 A为 n阶可逆矩阵， 是 A的一个特征值，则伴随矩阵 A * 的一个特征值是（分数：2.00）A. 1 A n1 B. 1 A C.AD.A n1 解析：解析：如 A=，则 A 1 = 3.设 A=2是可逆矩阵 A
10、的一个特征值，则 +E的一个特征值是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：如 A=，则 +1) 当 =2 时，知4.设 A是 3阶不可逆矩阵， 1 ， 2 是 Ax=0的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A的特征向量的是（分数：2.00）A. 1 +3 2 B. 1 一 2 C. 1 + 3 D.2 3 解析：解析：如 A 1 = 1 ，A 2 = 2 ，则 A(k 1 1 +k 2 2 )=k 1 A 1 +k 2 A 2 =k 1 1 +k 2 2 =(k 1 1 +k 2 2 ) 因此 k 1 1 +k 2 2 是 A的特征向量，所以(A)、(B)、(
11、D)均正确 设 A 1 = 1 ，A 2 = 2 ，若 A( 1 + 2 )=k( 1 + 2 )，则 1 + 2 =k 1 +k 2 即有 (k) 1 +(k) 2 =0 因为 k， 一 k不全为0，与 1 ， 2 是不同特征值的特征向量线性无关相矛盾从而 1 + 3 不是 A的特征向量故应选(C)5.设 0 是 A属于特征值 0 的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（分数：2.00）A.(A+E) 2 B.一 2AC.A T D.A * 解析：解析：由E 一 A T =(EA) T =E 一 A，知 A与 A T 有相同的特征值，但方程组(AEA)x=0与(AEA T )x=0不
12、一定同解，故 A与 A T 特征向量不一定相同故应选(C)6.下列矩阵中不能相似对角化的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：(A)是实对称矩阵，(C)有 3个不同的特征值，均可对角化 (B)和(D)特征值都是0，0，3 在(B)中，n 一 r(0EA)=2，说明 =0 有 2个线性无关的特征向量故可以相似对角化 在(D)中，nr(0EA)=1，说明 =0 只有 1个线性无关的特征向量因此不能相似对角化 故应选(D)7.设 A是 n阶非零矩阵，A m =0，下列命题中不一定正确的是（分数：2.00）A.A的特征值只有零B.A必不能对角化C.E+A+A 2 +A m1 必可逆D.A
13、只有一个线性无关的特征向量 解析：解析：设 A=，0，则 A m = m =0故 =0(A)正确 因为 A0，r(A)1，那么 Ax=0的基础解系有 nr(A)个解，即 =0 有 nr(A)个线性无关的特征向量故(B)正确，而(D)不一定正确 由(E 一 A)(E+A+A 2 +A m1 )=E一 A m =E，知(C)正确 故应选(D)二、填空题(总题数：9，分数：18.00)8.设 A是 n阶矩阵，r(A)n，则 A必有特征值 1，且其重数至少是 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：=0）填空项 1:_ （正确答案：nr(A)）解析：解析：r(A)n A=0 =0 必
14、是 A的特征值 由 r(A)n 9.设 A是 n阶可逆矩阵，A 是 A的特征值，则(A * ) 2 +E必有特征值 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：A 的特征值为 (A * ) 2 +E的特征值为 10.已知2 是 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为2 是矩阵 A的特征值，所以由11.设 A是秩为 2的 3阶实对称矩阵，且 A 2 +5A=0，则 A的特征值是 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5，5，0）解析：解析：因为 A是实对称矩阵，故 A =2设 A=(0)由 A 2 +5
15、A=0得 2 +5=0因此 A的特征值为 0或5 从而 A 12.已知 =(1，1，一 1) T 是矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：设 A=，即 ，亦即13.设 A是 3阶矩阵，且各行元素之和都是 5，则 A必有特征向量 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为各行元素之和都是 5，即 亦即 从而 A 所以矩阵 A必有特征向量14.设 A是 3阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 =0 与 =1 的特征向量分别是 1 =(1，2，1) T 与 2 =(1，一 1，1) T ，则 =2 的特征向量是 1（
16、分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(一 1，0，1) T）解析：解析：设 =2 的特征向量是 =(x 1 ，x 2 ，x 3 )，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有 15.已知 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）填空项 1:_ （正确答案：1）解析：解析：由 AB，知a ii =b ii 且一 1是 A的特征值，即 16.已知矩阵 A= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由 A的特征多项式 知矩阵 A的特征值是 =1(三重根)，因为 A只有 2个线性无关的特征向量，故三、解答题(总题数：2
17、2，分数：44.00)17.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：18.某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将 熟练工支援其他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核有 成为熟练工设第 n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为 x n 和 y n ，记成 n = ()求 n+1 与 n 的关系式，并写成矩阵形式： n+1 =A n ； ()求矩阵 A的特征值与特征向量； ()若 0 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()按题意有 用矩阵表示，即为 ()由特征多项式 得矩阵 A的特
18、征值 1 =1， 2 = 对 =1，由(EA)x=0 得基础解系 1 = ，因此矩阵 A属于=1 的特征向量是 k 1 1 (k 1 0) 对 = 的特征向量是 k 2 2 (k 2 0) ()设 x 1 1 +x 2 2 = 0 ，即 于是 )解析：19.已知矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 =5 是矩阵 A的特征值，则由5EA= =3(4a 2 )=0，可得a=2 当 a=2时，则由矩阵 A的特征多项式 知矩阵 A的特征值是 1，2，5 由(EA)x=0 得基础解系 1 =(0，1，一 1) T ； 由(2E 一 A)x=0得基础解系 2 =(1，0，0) T ；
19、由(5E 一 A)x=0得基础解系 3 =(0，1，1) T 即矩阵 A属于特征值 1，2，5 的特征向量分别是 1 ， 2 ， 3 由于实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，故只需单位化，有 那么，令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )= ，则有 Q 1 AQ= )解析：20.设矩阵 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：A 的特征多项式 =( 一 2) 2 +(3a) 一(3a+20)， 由于判别式(3一 a) 2 +4(3a+20)=0没有实数根，即 2 +(3一 a) 一(3a+20)( 一 k) 2 ，所以只能 =2 是重根于是 2 +(3一 a) 一(3a+20)必有 一 2
20、的因式，因此由 2 2 +2(3a)一(3a+20)=0，得a=2 从而得到矩阵 A的特征值是 1 = 1 =2， 3 =7 对于 =2，由(2EA)x=0，即 得到线性无关的特征向量 1 =(一 2，1，0) T ， 2 =(2，0，1) T 用 Schmidt正交化方法，先正交化，有 再将 1 ， 2 单位化，得 对于 =7，由(一 7EA)x=0，即 得特征向量 3 =(1，2，一 2) T ，单位化为 3 = (1，2，2) T 那么，令 Q=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：解析：因为 Q是正交矩阵，有 Q T =Q 1 ，故 Q T AQ=A，即 Q 1 AQ=A为此，应当求矩
21、阵 A的特征向量21.设 A= ，正交矩阵 Q使得 Q T AQ为对角矩阵若 Q的第 1列为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A的特征向量，设特征值是 1 ，那么 由 知矩阵 A的特征值是：2，5，一 4 对 =5，由(5EA)x=0， 得基础解系 2 =(1，一 1，1) T 对 =4，由(一 4EA)x=0， 得基础解系 3 =(一 1，0，1) T 因为 A是实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交，故只需把 2 ， 3 单位化，有 2 = (1，1，1) T ， 3 = (1，0，1) T 那么令 Q= ，则 Q T AQ=Q 1 AQ=
22、 )解析：解析：因为 Q是正交矩阵 Q T =Q 1 ，所以 Q T AQ=A，即 Q 1 AQ= 22.设 3阶实对称矩阵 A的特征值， 1 =1， 2 =2， 3 =2，且 1 =(1，一 1，1) T 是 A的属于 1 的一个特征向量记 B=A 5 4A 3 +E，其中 E为 3阶单位矩阵 ()验证 1 是矩阵 B的特征向量，并求 B的全部特征值与特征向量； ()求矩阵 B（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 A= 有 A n = n 那么，对于 A 1 = 1 1 = 1 ，有 B 1 =(A 5 一 4A 3 +E) 1 =A 5 1 一 4A 3 1 + 1 =( +1
23、) 1 =2 1 因此，向量 1 是矩阵 B属于特征值 =2 的特征向量 类似地，对 2 =2， 3 =2 有：若 A= 2 ，则B=( +1)=； 若 A= 3 ，则 B=( +1)=， 那么 ， 是矩阵 B属于特征值=1 的特征向量因 ， 是矩阵 A不同特征值的特征向量，因此它们线性无关从而矩阵 B的特征值是：一 2，1，1，且矩阵 B属于特征值 =2 的特征向量是 k 1 1 (k 1 0) 又由 A是实对称矩阵知，B 是实对称矩阵那么 B的属于特征值 =1 与 =2 的特征向量应当相互正交设矩阵 B属于 =1的特征向量 =(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则 x 1 x 2 +x
24、 3 =0 解此方程组得基础解系 2 =(1，1，0) T ， 3 =(一 1，0，1) T 故矩阵 B属于 =1 的特征向量是 k 2 2 +k 3 3 (k 2 ，k 3 不全为0) ()令 P=( 1 ， 2 ， 3 )，有 P 1 BP= 那么 )解析：23.已知 A是 3阶实对称矩阵满足 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0，且秩 r(A)=2求矩阵 A的全部特征值，并求秩 r(A+E)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 是矩阵 A的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，则A=(0)，于是 A n = n 那么用 右乘 A 4 +2A 3 +A 2 +2A=0得( 4
25、 +2 3 + 2 +2)=0 因为特征向量 0，故 4 +2 3 + 2 +2=( 3 +2 2 +2)=(+2)( 2 +1)=0 由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A的特征值是 0或一 2 由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r(A)=r(A)=2，所以 A的特征值是 0，一 2，一 2 因 A +E= ，所以秩r(A+E)=r( )解析：24.设 A是 n阶正交矩阵， 是 A的实特征值， 是相应的特征向量证明 只能是1，并且 也是A T 的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：按特征值定义，对于 A=，经转置得 T A T =(A) T =() T = T ， 因为
26、 A T A=E，从而 T = T A T A=( T )()= 2 T ，则(1 一 2 ) T =0 因为 是实特征向量， T = )解析：25.设 A，B 均是 n阶矩阵，证明 AB与 BA有相同的特征值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 0 是 AB的非零特征值， 0 是 AB对应于 0 的特征向量，即 (AB) 0 = 0 0 ( 0 0) 用 B左乘上式，得 BA(B 0 )= 0 B 0 下面需证 B 0 0(这样 B 0 就是矩阵 BA对应于 0 的特征向量) (反证法) 如 B 0 =0，那么(AB) 0 =A(B 0 )=0，这与(AB) 0 = 0 0 0 相矛
27、盾 所以， 0 是 BA的特征值 如 0 =0是 AB的特征值，则因 0EBA= BA=(1) n B.A=(一 1) n A.B=0E 一 AB， 所以， 0 =0也是BA的特征值 同样可证 BA的特征值必是 AB的特征值，所以 AB与 BA特征值相同)解析：26.设 A，B 均是 n阶矩阵，且秩 r(A)+r(B)n，证明：A，B 有公共的特征向量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 r(A)=r，r(B)=s，且 1 ， 2 ， nr 是齐次方程组 Ax=0的基础解系，即矩阵 A关于 =0 的特征向量， 1 ， 2 ， ns 是 B关于 =0 的特征向量那么，向量组 1 ， 2
28、， nr ， 1 ， 2 ， ns 必线性相关(由于 nr+ns=n+(nrs)n， 于是存在不全为零的实数后 k 1 ，k 2 ，k nr ，l 1 ，l 2 ，l ns ，使 k 1 1 + k 2 2 + k nr nr +l 1 1 +l 2 2 +l ns ns =0 因为 1 ， 2 ， nr 线性无关， 1 ， 2 ， ns 线性无关，所以 k 1 ，k 2 ，k nr 与 l 1 ，l 2 ，l ns 必分别不全为零令 =k 1 1 + k 2 2 + k nr nr =(l 1 1 +l 2 2 +l ns ns )， 则 0，从特征向量性质 1知， 既是 A关于 =0 的特
29、征向量，也是 B关于 =0 的特征向量，因而 A，B 有公共的特征向量)解析：27.若任一 n维非零向量都是 n阶矩阵 A的特征向量，则 A是数量矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为任一 n维非零向量都是 A的特征向量，所以 A有 n个线性无关的特征向量，从而 A可以对角化 特别地，n 维单位向量 e i =(0，1，0) T ，i=1，2，n，是 A的特征向量 令 P=(e 1 ，e 2 ，e n )，则有 P=E，且 )解析：28.设 A是 3阶矩阵，且有 3个互相正交的特征向量，证明 A是对称矩阵（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A的特征值是 1 ， 2 ， 3
30、 ，相应的特征向量是 1 ， 2 ， 3 因为 1 ， 2 ， 3 已两两正交，将其单位化为 1 ， 2 ， 3 ，则 1 ， 2 ， 3 仍是 A的特征向量，且 P=( 1 ， 2 ， 3 )是正交矩阵，并有 从而由 A= )解析：解析：非零正交向量组是线性无关的，故 A有 3个线性无关的特征向量；即 A可以对角化，并且可以用正交变换化为对角形29.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由特征多项式 )解析：30.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 A= )解析：31.已知 A= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由特征多项式 知矩阵 A的特征
31、值为 1 = 2 =1， 3 =2 因为矩阵A可以相似对角化，故 r(EA)=1而 所以 x=6 当 =1 时，由(E 一 A)x=0得基础解系 1 =(一 2，1，0) T ， 2 =(0，0，1) T 当 A=2 时，由(一 2E一 A)x=0得基础解系 3 =(一 5，1，3) T 那么，令 P=( 1 ， 2 ， 3 )= )解析：32.已知 A是 3阶不可逆矩阵，一 1和 2是 A的特征值，B=A 2 一 A一 2E，求 B的特征值，并问 B能否相似对角化，并说明理由（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为矩阵 A不可逆，有A=0，从而 =0 是 A的特征值 由于矩阵 A有 3
32、个不同的特征值，则 A 于是 P 1 AP= 因此 P 1 BP=P 1 A 2 PP 1 AP一 2E= )解析：33.设 3阶矩阵 A的特征值 1 =1， 2 =2， 3 =3对应的特征向量依次为 1 =(1，1，1) T ， 2 =(1，2，4) T ， 3 =(1，3，9) T ()将向量 =(1，1，3) T 用 1 ， 2 ， 3 线性表出； (II)求 A n （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 x 1 1 +x 2 2 +x 3 3 =，即 故 =2 1 一 2 2 + 3 ()A=2A 1 一 2A 2 +A 3 ，则 A n =2A n 1 一 2A n 2 +A n 3 =2 1 一 2.2 n 2 +3 n 3 = )解析：34.设矩阵 A= 可逆，向量 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A * =，由 AA * =AE，有A=A，即 )解析：35.设 3阶实对称矩阵 A的秩为 2， 1 = 2 =6是 A的二重特征值，若 1 =(1，1，0) T ， 2 =(2，1，1) T ， 3 =(一 1，2，一 3) T 都是 A属于 =6 的特征向量，求矩阵 A（分数：2.00）_
