1、考研数学一（随机变量及其分布）-试卷 1及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列函数中是某一随机变量的分布函数的是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是（分数：2.00）A.f(2x)B.2f(x)C.f(x)D.f(x)4.设随机变量 X服从正态分布，其概率密度函数 f(x)在 x=1处有驻点，且 f(1)=1，则 X服从分布（分数：2.00）A.N(1，1)B.N(1，C.
2、N(1，D.N(0，1) 5.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，则随机变量X的概率密 f 1 (x)为（分数：2.00）A.f 1 (x)= B.f 1 (x)=f(x)+f(一 x)C.f 1 (x)= D.f 1 (x)= 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)6.抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量 X= 则随机变量 X在区间 （分数：2.00）填空项 1:_7.已知某自动生产线加工出的产品次品率为 001，检验人员每天检验 8次，每次从已生产出的产品中随意取 10件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为 1(099 80 04475)（分数：2
3、.00）填空项 1:_8.袋中有 8个球，其中有 3个白球，5 个黑球现从中随意取出 4个球，如果 4个球中有 2个白球 2个黑球，试验停止，否则将 4个球放回袋中重新抽取 4个球，直至取到 2个白球 2个黑球为止用 X表示抽取次数，则 PX=k= 1(k=1，2，)（分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 X 1 服从参数为 p(0P1)的 0-1分布，X 2 服从参数为 n，P 的二项分布，Y 服从参数为2p的泊松分布，已知 X 1 取 0的概率是 X 2 取 0概率的 9倍，X 1 取 1的概率是 X 2 取 1概率的 3倍，则 PY=0= 1，PY=1= 2（分数：2.00）填空
4、项 1:_10.设随机变量 X与一 X服从同一均匀分布 Ua，b，已知 X的概率密度 f(x)的平方 f 2 (x)也是概率密度，则 b= 1（分数：2.00）填空项 1:_11.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布，则概率 Pmax(X， （分数：2.00）填空项 1:_12.设离散型随机变量 X的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_13.若 ae x2+x 为随机变量 X的概率密度函数，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X的分布函数为 已知 P一 1X1= （分数：2.00）填空项 1:_15.设随机变量 X服从正态分布 N(，2 2 )，已知 3PX
5、15=2PX15，则 PX 一 12= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设随机变量 X的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_17.已知随机变量 YN(， 2 )，且方程 x 2 +x+Y=0有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.设随机变量 X的分布律为 （分数：2.00）_20.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 4594试求：()常数 C；()概率 P （分数：2.00）_21.设随机变量 X的分布函数为 （分数：2.00）_22.
6、随机变量 X在 （分数：2.00）_23.设离散型随机变量 X只取1，2， 三个可能值，取各相应值的概率分别是 a 2 ，一 a与 a 2 ，求 X的分布函数（分数：2.00）_24.已知随机变量 X的概率分布为 且 PX2= （分数：2.00）_25.已知袋中有 3个白球 2个黑球，每次从袋中任取一球，记下它的颜色再将其放回，直到记录中出现 4次白球为止试求抽取次数 X的概率分布（分数：2.00）_26.随机地向半圆 0y （分数：2.00）_27.设随机变量 X的绝对值不大于 1，且 PX=0= （分数：2.00）_28.设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球随机地
7、放人四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码()求 X的分布律；()若当 X=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，k=1，2，3，4，求 PY2（分数：2.00）_29.设某地段在一个月内发生交通事故的次数 X服从泊松分布，其中重大事故所占比例为(01)据统计资料，该地段在一个月内发生 8次交通事故是发生 10次交通事故概率的 25 倍，求该地段在一年内最多有一个月发生重大交通事故的概率(假定各月发生交通事故情况互不影响并设=005)（分数：2.00）_30.假设测量的随机误差 X一 N(0，10 2 )，试求在 100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概
8、率 ，并利用泊松定理求出 的近似值(e 5 =0007)（分数：2.00）_31.设随机变量 X的分布函数为 已知 Y=sin （分数：2.00）_32.设离散型随机变量 X服从参数为 p(0P1)的 0-1分布()求 X的分布函数 F(x)；()令 Y=F(X)，求 Y的分布律及分布函数 F(y)（分数：2.00）_33.已知随机变量 X的分布函数 F X (x)= (0)，Y=lnX ()求 Y的概率密度 f Y (Y)； ()计算 （分数：2.00）_34.已知随机变量 XN(0，1)，求： ()Y= （分数：2.00）_考研数学一（随机变量及其分布）-试卷 1答案解析(总分：68.00
9、，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列函数中是某一随机变量的分布函数的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：对于(A)：由于 F(x)应满足 0F(x)1，因此(A)不正确对于(B)：由于 F(1+0)=13.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是（分数：2.00）A.f(2x)B.2f(x)C.f(x) D.f(x)解析：解析：根据概率密度的充要条件逐一判断 对于(A)： 1，故(A)不对 对于(B)：f(x)dx=21
10、，故(B)不对 对于(C)：f(一 x)=f(一 x)0，且 故(C)满足概率密度的充要条件，选(C) 对于(D)： f(x)dx， 由于 24.设随机变量 X服从正态分布，其概率密度函数 f(x)在 x=1处有驻点，且 f(1)=1，则 X服从分布（分数：2.00）A.N(1，1)B.N(1， C.N(1，D.N(0，1) 解析：解析： 正态分布 N(， 2 )的概率密度函数为 f(x)= ，一x+， 由于 f(x)的驻点是 x=，且 f()= 所以 xN(1， 5.设随机变量 X的概率密度为 f(x)，则随机变量X的概率密 f 1 (x)为（分数：2.00）A.f 1 (x)= B.f 1
11、 (x)=f(x)+f(一 x)C.f 1 (x)= D.f 1 (x)= 解析：解析：设X的分布函数为 F 1 (x)，则 当 x0 时，F 1 (x)=PXx=0，从而 f 1 (x)=0； 当 x0 时，F 1 (x)=PXx=P一 xXx= 二、填空题(总题数：12，分数：24.00)6.抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量 X= 则随机变量 X在区间 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：随机变量 X的概率分布为 因为事件 X2=X=1，所以7.已知某自动生产线加工出的产品次品率为 001，检验人员每天检验 8次，每次从已生产出的产品中随意取 10件进行检
12、验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为 1(099 80 04475)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：055）解析：解析：如果用 x表示每天要调整的次数，那么所求的概率为 P每天至少调整设备一次=PX1=1一 PX=0显然 0X8，如果将“检验一次”视为一次试验，那么 X就是 8次试验，事件 A=“10件产品中至少有一件次品”发生的次数，因此 XB(8，P)，其中 p=P(A)如果用 Y表示 10件产品中次品数，则 YB(10，001)， p=P(A)=PY1=1 一 PY=0=1一(1001) 10 =1099 10 所求的概率为 PX
13、1=1 一 PX=0=1一(1 一 P) 8 =1一 099 80 =1044750558.袋中有 8个球，其中有 3个白球，5 个黑球现从中随意取出 4个球，如果 4个球中有 2个白球 2个黑球，试验停止，否则将 4个球放回袋中重新抽取 4个球，直至取到 2个白球 2个黑球为止用 X表示抽取次数，则 PX=k= 1(k=1，2，)（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若记 A i =“第 i次取出 4个球为 2个白球，2 个黑球”，由于是有放回取球，因而 A i 相互独立，根据超几何分布知 P(A i )= ，再由几何分布即得 9.设随机变量 X 1 服从参
14、数为 p(0P1)的 0-1分布，X 2 服从参数为 n，P 的二项分布，Y 服从参数为2p的泊松分布，已知 X 1 取 0的概率是 X 2 取 0概率的 9倍，X 1 取 1的概率是 X 2 取 1概率的 3倍，则 PY=0= 1，PY=1= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 Y服从泊松分布，则需先求出其分布参数 的值，而 =2p，因此需求出 P的值 PX 1 =0=1一 p q，PX 1 =1=P， PX 2 =0=q n ， PX 2 =1=npq n1 依题意有 于是 PY=0=e = 10.设随机变量 X与一 X服从同一均匀分布 Ua，b
15、，已知 X的概率密度 f(x)的平方 f 2 (x)也是概率密度，则 b= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：若 xUa，b，则一 XU一 b，一 a，由 X与一 X同分布可知 a=一 b，即 xU一b，b于是有 由题设 f 2 (x)也是概率密度，则由 11.已知随机变量 X服从参数为 的指数分布，则概率 Pmax(X， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设知 P x0=1，Px0=0，应用全概率公式得12.设离散型随机变量 X的概率分布为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析
16、：由于 Px=2=PY=3X 2 5=PY=3(2) 2 5=PY=7=01， PX=1=PY=2=02，PX=0：PY=5=01， PX=1=PY=2=03，PX=2=PY=7=02， PX=3=PY=22=01， 因此 Y可能取值为5，2，7，22，其概率分布为 PY=5=01PY=2=02+03=05， PY=7=01+02=03，PY=22=01， 于是 Y=3X 2 5 的概率分布为 13.若 ae x2+x 为随机变量 X的概率密度函数，则 a= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：依题意有 ae x2+x dx=1，又 于是 14.设随机变量
17、 X的分布函数为 已知 P一 1X1= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 F(x)在任何一点都是右连续的，于是有 F(一 1+0)=F(一 1)，即 一 a+b= 又因PX=1=P一 1X1一 P一 1X1=F(1)一 F(一 1)一 ，于是有 F(10)=F(1)一 PX=1=即 a+b= 联立与解得 a=15.设随机变量 X服从正态分布 N(，2 2 )，已知 3PX15=2PX15，则 PX 一 12= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：06826）解析：解析：求正态分布随机变量 X在某一范围内取值的概率，要知道分布参数
18、 与 ，题设中已知=2，需先求出 由于 PX15= 从而依题意， 查标准正态分布表，可得 =1 因 XN(1，2 2 )，所以 N(0，1)，于是 PX 一 12=P 16.设随机变量 X的概率密度 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由于 1= A+B，又 P1X2=P2X3， 即 ，且 且 P2X4=F(4 一0)一 F(2)=1一17.已知随机变量 YN(， 2 )，且方程 x 2 +x+Y=0有实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：已知 Y一 N(， 2 )，且 P方程有实根=P14Y0=P
19、Y ，即 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.设随机变量 X的分布律为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 为离散型随机变量，其分布函数为 F(x)= P i ，这里和式是对所有满足 x i x 的 i求和，本题中仅当 x i =1，4，6，10 时概率 PX=x i 0，故有 当 x1 时，F(x)=PXx=0； 当 1x4 时，F(x)=PXx=PX=1=26； 当 4x6 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4=36； 当 6x10 时，F(x)=PXx=PX=1+PX=4+PX=6=
20、56； 当 x10 时，F(x)=PX=1+PX=4+PX=6+PX=10=1 于是 )解析：20.设随机变量 X的概率密度为 f(x)= 4594试求：()常数 C；()概率 P （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 1= ()P ()分布函数 F(x)= f(t)dt，由于 f(x)是分段函数，该积分在不同的区间上被积函数的表达式各不相同，因此积分要分段进行要注意的是不管 x处于哪一个子区间，积分的下限总是“一”，积分 f(t)dt由(一，x)的各个子区间上的积分相加而得 当 x0 时，F(x)= 0dt=0： 当 0x2 时，F(x)= 当 x2 时，F(x)= 因此)解析：
21、21.设随机变量 X的分布函数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P04X13=F(13)一 F(04)=(1305)一 =06， PX05=1一 PX05=1 一 F(05)=1 一 =075 P17X2=F(2)一 F(17)=11=0； )解析：22.随机变量 X在 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用分布函数法先求 Y的分布函数 F y (y)由于 X在 上服从均匀分布，因此 X的概率密度 f X (x)与分布函数 F X (x)分别为 F Y (y)=PYy=PsinXy 当一 1y1时，F Y (y)=PXarcsiny=F X (arcsiny)= arcsin
22、y； 当 y一 1时，F Y (y)=0； 当 y1 时，F Y (y)=1 因此 Y的概率密度为 f Y (y)为 )解析：23.设离散型随机变量 X只取1，2， 三个可能值，取各相应值的概率分别是 a 2 ，一 a与 a 2 ，求 X的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：应用离散型随机变量分布律的基本性质 p i =1与 p i 0，i=1，2，有 2a 2 一 a=1 ，a=1(舍去) 则 X的分布律与分布函数分别为 )解析：24.已知随机变量 X的概率分布为 且 PX2= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 PX2=1 一 PX=1=1一 2 = 又 PX=2=
23、2(1 一 )0，故取= ，从而得 X的概率分布 于是 X的分布函数 )解析：25.已知袋中有 3个白球 2个黑球，每次从袋中任取一球，记下它的颜色再将其放回，直到记录中出现 4次白球为止试求抽取次数 X的概率分布（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然 X可能取的值为 4，5，k，由于是有放回的取球，因此每次抽取“取到白球”的概率 P不变，并且都是 P= ，又各次取球是相互独立的，因此根据伯努利概型得 PX=4=P 4 ， PX=5=P前 4次抽取取到 3个白球 1个黑球，第 5次取到白球 故 X的概率分布为PX=k= (1一 p) k4 P 4 ，其中 k=4，5，且 P= )解析：
24、26.随机地向半圆 0y （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设比例系数为 ，而点落在半圆这个区域的概率为 1，它应等于比例系数 与半圆面积 因此， 当 0x 时，事件Xx的概率是两个面积之比，其中分母为半圆面积 a 2 ；分子面积 S是三角形 BOA与扇形 ABC的面积之和，即 S= (2x+sin2x) 因此，当0x 时， F(x)=PXx= (2x+sin2x) 综上分析 所求的 X的概率密度为 f(x)= )解析：解析：由图 21 看出，X 取值在(0， )内，由于 X是一个连续型随机变量，我们通过它的分布函数 F(x)求其概率密度 f(x)27.设随机变量 X的绝对值不大于 1
25、，且 PX=0= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：写出已知条件的数量关系，应用计算概率方法计算 F(x)依题意 PX1=P一 1X1=1， PX=0= ， PX0= 又除 0点外，X 在其他取值范围内服从均匀分布，其落在不包含 0点的子区间内的概率与该子区间的长度成正比，比例常数 = ，故有 当 x1 时，F(x)=0；当 x1 时，F(x)=1；当一 1x0 时， F(x)=PXx=PX1+P一 1Xx= x一(一 1)= (x+1)； 当 0x1 时， F(x)=PXx=PX0+PX=0+P0Xx 综上得)解析：28.设有四个编号分别为 1，2，3，4 的盒子和三只球，现将每个球
26、随机地放人四个盒子，记 X为至少有一只球的盒子的最小号码()求 X的分布律；()若当 X=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，k=1，2，3，4，求 PY2（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()随机变量 X的可能取值为 1，2，3，4，设事件 A i 表示第 i个盒子是空的(k=1，2，3，4)，则 PX=1=1 一 P(A 1 )=1一 或 PX=4=1 一 于是 X的分布律为 ()由于当 X=k时，随机变量 Y在0，k上服从均匀分布，故 PY2X=1=PY2X=2=1， PY2X=3= ，PY2X=4= 由全概率公式即得 )解析：29.设某地段在一个月内发生交通事故的次数 X
27、服从泊松分布，其中重大事故所占比例为(01)据统计资料，该地段在一个月内发生 8次交通事故是发生 10次交通事故概率的 25 倍，求该地段在一年内最多有一个月发生重大交通事故的概率(假定各月发生交通事故情况互不影响并设=005)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先确定 X的分布参数 ，由于 PX=8=25PX=10，即 计算出 Y服从参数为 的泊松分布，即 一个月内无重大交通事故的概率 p=PY=0=e 03 一年内最多有一个月发生重大交通事故就是一年内至少有 11个月无重大交通事故，其概率为 Pz=11+Pz=12= )解析：解析：此题首先应该计算一个月内该地段发生重大交通事故次数
28、Y的概率分布，据此可求出概率p=PY=0如果用 Z表示一年内无重大交通事故的月份数，显然各个月是否有重大交通事故互不影响，因此 Z服从二项分布 B(12，p)30.假设测量的随机误差 X一 N(0，10 2 )，试求在 100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于 196 的概率 ，并利用泊松定理求出 的近似值(e 5 =0007)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记事件 A=“100次独立测量中至少有 3次测量误差 x的绝对值大于 196”=“100次独立测量中，事件X196至少发生 3次”，依题意，所求 =P(A)如果记事件C=X196，Y 表示 100次独立测量中事件
29、C发生的次数，则事件 A=Y3，YB(100，p)，其中p=P(C) p=P(C)=PX196=1 一 PX196 =1P一 196X196=1 一 =21一 (196)=20025=005， 因此所求的概率 =P(A)=PY3=1 一 PY3 =1PY=0一 PY=1一PY=2， 其中 PY=K= 005 K 095 100K 由于 n=100充分大，p=005 很小，np=100005=5 适中，显然满足泊松定理的条件，可见 Y近似服从参数为 5的泊松分布因此 PY=k e ，其中 =np=5，于是 1 一 e 5 5e 5 一 )解析：31.设随机变量 X的分布函数为 已知 Y=sin
30、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：从 X的分布函数 F(x)可知：X 只取一 2，一 1与 1三个值，其概率分别为03，03，04，因此随机变量 Y= ，其相应概率分别为 03，03 与 04因此Y的分布律为 PY= =03，Y的分布函数为 )解析：解析：显然 X是离散型随机变量Y=32.设离散型随机变量 X服从参数为 p(0P1)的 0-1分布()求 X的分布函数 F(x)；()令 Y=F(X)，求 Y的分布律及分布函数 F(y)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()F(x)=PXx= () Y=F(X)= PY=0=PX0=0， PY=1 一 P=P0X1=PX=0=1 一
31、 P， PY=1=PX1=PX=1=P， 于是 Y的分布律与分布函数分别为 )解析：33.已知随机变量 X的分布函数 F X (x)= (0)，Y=lnX ()求 Y的概率密度 f Y (Y)； ()计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由题设知 X的概率密度 f X (x)= 所以 Y的分布函数 F Y (y)=PYy=PlnXy(yR) 由于 PX1=1，故当 y0 时 F Y (y)=0；当 y0 时， F Y (y)=P1Xe y = x 1 dx=1一 e y 于是 故 Y=lnX的概率密度 ()PYk= e y dy=e k ，由于 0，0e 1，故 )解析：34.已
32、知随机变量 XN(0，1)，求： ()Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先用定义法求分布函数，而后再求概率密度 ()由题设知 Y是离散型随机变量，其概率分布为 PY=1=PX1=(1)， PY=1=PX1=1 一 PX1=1 一 (1)=(一 1)， 故 Y的分布函数 F(y)=PYy= ()Y=e X 的分布函数 F(y)=PYy=Pe X y，故当 y0 时，F(y)=0；当 y0 时，F(y)=PXlny=(lny)，即 ()Y=X的分布函数 F(y)=PXy，当y0 时，F(y)=0；当 y0 时， F(y)=PXy=P一 yXy=(y)一 (一 y)=2(y)一 1， 即 所以概率密度 f(y)=F(y)= )解析：
