1、考研数学一（随机变量的数字特征，大数定律和中心极限定理，数理统计的基本概念,参数估计，假设检验）历年真题试卷汇编 1及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.(2009年试题，一)设随机变量 X的分布函数为 （分数：2.00）A.0B.03C.07D.13.(2011年试题，一)设随机变量 X与 Y相互独立，且 EX与 EY存在，记 U=maxX，Y，V=minX，Y，则E(UV)=( )（分数：2.00）A.EUEVB.EXEYC.EUEYD.EXEV
2、4.(1997年试题，二)设两个相瓦独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8B.16C.28D.445.(2012年试题，一)将长度为 lm的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )（分数：2.00）A.1B.C.D.一 16.(2008年试题，一)随机变量 X一 N(0，1)，y 一 N(1，4)且相关系数 x,y =1，则( )（分数：2.00）A.Py=一 2X一 1=1B.Py=2X1=1C.Py=一 2X+1=1D.Py=2X+1=17.(2004年试题，二)设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)
3、独立同分布，且其方差为 2 0令 （分数：2.00）A.B.Cov(X 1 ，Y)= 2C.D.8.(2001年试题，二)将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.D.19.(2000年试题，二)设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =XY 不相关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X 2 )-E(X) 2 =E(y 2 )-E(y) 2C.E(X 2 )=E(Y 2 )D.E(X 2 )+E(X) 2 =E(y 2 )+E(y) 2
4、10.(2005年试题，二)设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， （分数：2.00）A.B.nS 2 X 2 (n)C.D.11.(2003年试题，二)设随机变量 X一 t(n)(n1), （分数：2.00）A.YX 2 (n)B.Y一 X 2 (n一 1)C.Y一 F(n，1)D.Y一 F(1，n)二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.(2011年试题，二)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布，v(， 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1.（分数：2.00）填空项 1:_13.(2001年试题，一)设随机变量 X的方差为 2，则根
5、据切比雪夫不等式有估计 PXE(X)2 1.（分数：2.00）填空项 1:_14.(2009年试题，二)设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和S 2 分别为样本均值和样本方差若 （分数：2.00）填空项 1:_15.(2003年试题，一)已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 095 的置信区间是 1.注：标准正态分布函数值(196)=0975，(1645)=095（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：70.00)16.解答题解
6、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_(2003年试题，11)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品，从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求：（分数：4.00）(1).乙箱中次品件数 X的数学期望；（分数：2.00）_(2).从乙箱中任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_17.(2000年试题，12)某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(02)为来自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 （分数：4.00）(1).一的方差 D(Y i )，i=1，2，n；（分数：2.00）_(2).Y 1 与 Y 1=n 的协方差
7、Cov(Y 1 ，Y n )（分数：2.00）_20.(2001年试题，十二)设总体 X服从正态分布 N(， 2 )(0)，从该总体中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)，其样本均值为 求统计量 （分数：2.00）_21.(1998年试题，十四)从正态总体 N(34，6 2 )中抽取容量为 n的样本，如果要求其样本均值位于区间(14，54)内的概率不小于 095，问样本容量 n至少应取多大?附表：标准正态分布 数值表：（分数：2.00）_(2012年试题，三)设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(， 2 )与 N(，2 2 )，其中 是未知参数且 0设 Z=X
8、Y（分数：6.00）(1).求 z的概率密度 f z (z)；（分数：2.00）_(2).设 Z 1 ，Z 2 ，Z n 为来自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量*；（分数：2.00）_(3).证明*为 2 的无偏估计量（分数：2.00）_(2011年试题，三)设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自正态总体 N( 0 ， 2 )的简单随机样本，其中 0 已知， 2 0 未知 （分数：4.00）(1).求参数 2 的最大似然估计 （分数：2.00）_(2).计算 和 （分数：2.00）_(2009年试题，23)设总体 X的概率密度为 （分数：4.00）(1).求参数 的矩估计量；（
9、分数：2.00）_(2).求参数 的最大似然估计量（分数：2.00）_22.(2006年试题，23)设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_(2004年试题，三)设总体 X的分布函数为 （分数：4.00）(1). 的矩估计量；（分数：2.00）_(2). 的最大似然估计量（分数：2.00）_23.(2002年试题，十二)设总体 X的概率分布为 其中 （分数：2.00）_24.(2000年试题，十三)设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 （分数：2.00）_(1999年试题，十三)设总体 X的概率密度为 （分数：4.00）(1).求 的矩估计量 （分数：2.00）_(2).求 的方差 D(
10、（分数：2.00）_25.(1997年试题，十)设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_26.(2010年试题，23)设总体的分布律为 其中 (0，1)为未知参数，以 N i 表示来自总体 X的简单随机样本(样本容量为 n)中等于 i(i=1，2，3)的个数，求常数 a 1 ，a 2 ，a 3 ，使 （分数：2.00）_(2007年试题，24)设总体 X的概率密度为 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的简单随机样本， （分数：4.00）(1).求参数 的矩估计量；（分数：2.00）_(2).判断 （分数：2.00）_(2003年试题，十二)设总体 X的概率密度为 （分数：6.00）
11、(1).求总体 X的分布函数 F(x)；（分数：2.00）_(2).求统计量 的分布函数 F (x)；（分数：2.00）_(3).如果用 （分数：2.00）_27.(1998年试题，十五)设某次考试的考生成绩服从正态分布，从中随机地抽取 36位考生的成绩，算得平均成绩为 665 分，标准差为 15分问在显著性水平 005 下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为 70分?并给出检验过程 附表：t 分布表：Pt(n)t p (n)=p （分数：2.00）_考研数学一（随机变量的数字特征，大数定律和中心极限定理，数理统计的基本概念,参数估计，假设检验）历年真题试卷汇编 1答案解析(总分：100
12、.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.(2009年试题，一)设随机变量 X的分布函数为 （分数：2.00）A.0B.03C.07 D.1解析：解析：因为随机变量 X的分布函数为 ，所以 X的概率密度为 则有 其中 由此得 E(X)=0+0352=07故正确答案为 C 【评述】本题考查了正态分布及其数学期望的计算，求解时需对数学期望的定义式有很好的理解和使用一定的技巧3.(2011年试题，一)设随机变量 X与 Y相互独立，且 EX与 EY存在，记 U=maxX，Y，V=
13、minX，Y，则E(UV)=( )（分数：2.00）A.EUEVB.EXEY C.EUEYD.EXEV解析：解析：因为当 XY 时，U=X，V=Y；当 X4.(1997年试题，二)设两个相瓦独立的随机变量 X和 Y的方差分别为 4和 2，则随机变量 3X一 2Y的方差是( )（分数：2.00）A.8B.16C.28D.44 解析：解析：充分利用 X与 Y独立来计算 3X一 2Y，的方差，D(3X 一 2Y)=9D(X)+4D(Y)=9X4+42=44因此选 D一般地，对于两个随机变量 X，Y，有 D(aX6Y)=a2D(X)+b 2 D(Y)2abCov(X，y)若 X，Y 相互独立，则 D(
14、aXbY)=a 2 D(X)+b 2 D(y)注意无论 X与 Y是否相互独立，数学期望的公式 E(aXbY)=aE(X)bE(Y)是恒成立的5.(2012年试题，一)将长度为 lm的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为( )（分数：2.00）A.1B.C.D.一 1 解析：解析：设两段长度分别为 xm和 ym，则有 x+y=1，y=一 x+1，因此 x与 y是线性关系，且是负相关，所以相关系数为一 1，应选 D6.(2008年试题，一)随机变量 X一 N(0，1)，y 一 N(1，4)且相关系数 x,y =1，则( )（分数：2.00）A.Py=一 2X一 1=1B.Py=2X1=1C.
15、Py=一 2X+1=1D.Py=2X+1=1 解析：解析：设 y=aX+6，因为相关系数 xy =1，所以 X，Y 正相关，即有 a0又 X一 N(0，1)，Y 一N(1，4)，则 E(x)=0，D(X)=1，E(y)=0，D(y)=4，E(y)=E(aX+b)=aE(X)+b=b=0D(Y)=D(aX+b)=a 2 D(X)=a 2 =4且 a0解得 a=2，b=1故应选 D7.(2004年试题，二)设随机变量 X 1 ，X 2 ，X n (n1)独立同分布，且其方差为 2 0令 （分数：2.00）A. B.Cov(X 1 ，Y)= 2C.D.解析：解析：由题设，X 1 ，X 2 ，X n
16、(n1)独立同分布，则 Cov(X 1 ，X i )=0，i=2，3，n所以 选 A有些考生会误以为 X 1 与 Y独立，从而 D(X 1 一 Y)=D(X 1 )+D(Y)= ，误将答案选为 D而实际上， 8.(2001年试题，二)将一枚硬币重复掷 n次，以 X和 Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则 X和 Y的相关系数等于( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.D.1解析：解析：由题设，X+Y=n，且有 X与 Y均服从二项分布，设投掷一次正面向上的概率为 P，则反面向上的概率为 q=1-p，由题意，有 XB(n，P)，YB(n，q)，从而 E(X)=np，E(Y)=nq，D(X)=
17、np(1 一 P)=npq，D(Y)=nq(1 一 q)=npq已知 X+Y=n。因而 E(XY)=EX(rtX)=nE(X)一 E(X 2 )=nE(X)一D(X)+E(X) 2 =n 2 pnpqn 2 p 2 从而 Cov(X，y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=n 2 pnpqn 2 p 2 一 n 2 pg=一 npq所以 9.(2000年试题，二)设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量 =X+Y 与 =XY 不相关的充分必要条件为( )（分数：2.00）A.E(X)=E(Y)B.E(X 2 )-E(X) 2 =E(y 2 )-E(y) 2 C.E(X 2 )=E(Y
18、 2 )D.E(X 2 )+E(X) 2 =E(y 2 )+E(y) 2解析：解析：由题设，要求 与 不相关，则 cov(，)=0，由协方差的定义，有 EE()一 E()=EX+YE(X+Y)XYE(XY)=E(XE(X)+(YE(Y)(XE(X)一(YE(Y)=E(XE(X) 2 一(YE(Y) 2 =E(XE(X) 2 一 E(YE(Y) 2 =D(X)一 D(Y)=0因此 E(X 2 )一E(X) 2 =E(Y 2 )一E(Y) 2 ，选 B从解析中不难看出，条件“二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布”是多余的10.(2005年试题，二)设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)为来自总
19、体 N(0，1)的简单随机样本， （分数：2.00）A.B.nS 2 X 2 (n)C.D. 解析：解析：根据简单随机样本的性质，可知 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立且都服从分布 N(0，1)，于是有 X 1 2 与 相互独立都服从 X 2 分布，自由度分别为 1与 n一 1，因此 所以选 D 本题考查了 x 2 分布，t 分布和 F分布以及它们之间的关系，本题用到了下述结论：若 X与 Y独立，且 X一 x 2 (m)，Yx 2 (n)，则 11.(2003年试题，二)设随机变量 X一 t(n)(n1), （分数：2.00）A.YX 2 (n)B.Y一 X 2 (n一 1)C.Y一 F(
20、n，1) D.Y一 F(1，n)解析：解析：本题考查 t分布与 F分布的定义，由已知 Xt(n)(n1)，由 t分布的定义知存在两个独立的随机变量 一 N(0，1)， 一 X 2 (n)，使得 同时 2 一 X 2 (1)，则由 F分布的定义知 选 C本题涉及了 t分布、x 2 分布和 F分布三种常见分布，要求考生，熟练掌握它们的定义、性质和相关的结论，如本题就考到了下述三个结论：(D 若 X一 N(0，1)，Y 一 x 2 (m)，则 若Xt(n)，则 X 2 F(1，n)；若 XF(m，n)，则 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)12.(2011年试题，二)设二维随机变量(X，Y)服
21、从正态分布，v(， 2 ， 2 ；0)，则 E(XY 2 )= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为(X，Y)N(，； 2 ， 2 ；0)，所以 X一 N(， 2 )Y一 N(， 2 )EX=，EY 2 =DY+(EY) 2 = 2 + 2 又因为 =0，所以 X，Y 独立，于是 E(XY 2 )=EXEY 2 =( 2 + 2 )）解析：13.(2001年试题，一)设随机变量 X的方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 PXE(X)2 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由题设，已知 D(X)=2，直接应用切比雪夫不等式，即 ）解析：14.
22、(2009年试题，二)设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自二项分布总体 B(n，p)的简单随机样本， 和S 2 分别为样本均值和样本方差若 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：因为 为 np 2 的无偏估计量，所以 由此得 ）解析：解析：本题考查了无偏估量的概念和二项分布的数字特征，重点还是要求考生能熟记二项分布等常见分布的数字特征15.(2003年试题，一)已知一批零件的长度 X(单位：cm)服从正态分布 N(，1)，从中随机地抽取 16个零件，得到长度的平均值为 40cm，则 的置信度为 095 的置信区间是 1.注：标准正态分布函数值(196)=0975，(1645
23、)=095（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由于 ，当置信度为 1一 =095 时，=005，则 又 n=16， ，=1 又 则 ）解析：三、解答题(总题数：23，分数：70.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：(2003年试题，11)已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有 3件合格品和 3件次品，乙箱中仅装有 3件合格品，从甲箱中任取 3件产品放入乙箱后，求：（分数：4.00）(1).乙箱中次品件数 X的数学期望；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，X 的可能取值为 0，1，2，3，且其概率分布为 PX=k=C 3 3
24、C 3 3-k C 6 3 ，k=0，1，2，3 即 从而 )解析：(2).从乙箱中任取一件产品是次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 A表示事件“从乙箱中任意取出的一件产品是次品”，由全概公式，有 解析二(1)设 则 X i 的概率分布为 且 由于 X=X 1 +X 2 +X 3 ，因此 E(X)=E(X 1 )+E(X 2 )+E(X 3 )= )解析：解析：注意题中事件 X 1 ，X 2 ，X 3 没有独立性，但期望公式 E(X)=E(X 3 )+E(X 2 )+E(X 3 )仍然是适用的17.(2000年试题，12)某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p(02)为来
25、自总体 N(0，1)的简单随机样本， 为样本均值，记 （分数：4.00）(1).一的方差 D(Y i )，i=1，2，n；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据简单随机样本的性质，X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，且都服从分布N(0，1)，E(X i )=0，D(X i )=1，i=1，2，n(I) )解析：(2).Y 1 与 Y 1=n 的协方差 Cov(Y 1 ，Y n )（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，独立的两个随机变量协方差等于零，于是有 而 有 得 解析二(I)依题意知 则 又 故而 () )解析：解析：本题考查了常用
26、统计量的性质，在求解协方差时，解析二按定义求解，而解析一则是运用了协方差的如下性质：Coy(aX+bY，cU+dV)=acCov(X，U)+adCov(X，V)+bcCov(Y，U)+bdCov(Y，V)20.(2001年试题，十二)设总体 X服从正态分布 N(， 2 )(0)，从该总体中抽取简单随机样本 X 1 ，X 2 ，X 2n (n2)，其样本均值为 求统计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设所给统计量 的结构特点，可视(X 1 +X n+1 )，(X 2 +X n+2 )，(X n +X 2n )为取自总体 N(2，2 2 )的简单随机样本，则该样本均值为 且有样本方
27、差为 由于已知 ，因此 E(Y)=(n1)(2 2 )=2(n一 1) 2 解析二设 则 ，因此 解析三设 Z=X i +X n+i ，i=1，2，n因为 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且同服从正态分布 N(， 2 )(0)，所以 Z 1 ，Z 2 ，Z n 也相互独立且服从正态分布E(Z i )=E(X i +X n+i )=E(X i )+E(X n+i )=2，D(Z i )=D(X i +X n+i )=D(X i )+D(X n+i )=2 2 ，即有 Z i 一 N(2，2 2 )，i=1，2，n从而 Z n ，Z 2 ，Z n 可视为取从总体 N(2，2 2 )的简
28、单随机样本，进而有： 故 又 则 即有 E(Y)=2(n一 1) 2 解析四因为 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互立且同服从正态分布 N(， 2 )(0)，所以有：g(X i )=，D(X i )= 2 ，E(X i 2 )=D(X i )+E 2 (X i )= 2 + 2 ，i=1，2，2n； 又 故而 )解析：解析：解析中的几种解法包括直接计算的(解析四)、利用样本方差性质的(解析一)、利用随机变量的独立性的(解析二)和利用 x 2 分布的构成与性质的(解析三)总体来讲，直接计算的计算量最大，也最容易出错，也是最容易想到的而其他几种解法则要求考生熟练掌握相关的知识点，会灵活运用2
29、1.(1998年试题，十四)从正态总体 N(34，6 2 )中抽取容量为 n的样本，如果要求其样本均值位于区间(14，54)内的概率不小于 095，问样本容量 n至少应取多大?附表：标准正态分布 数值表：（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：一般的正态分布经过线性变换都可化为标准正态分布，根据题意，设样本均值为 则 于是有 因此，有 由附表可知，要求 )解析：解析：根据总体样本的信息，反过来求样本容量的问题，一般考查的都是正态分布，可利用其样本均值 的分布(2012年试题，三)设随机变量 X与 Y相互独立且分别服从正态分布 N(， 2 )与 N(，2 2 )，其中 是未知参数且 0设 Z=
30、XY（分数：6.00）(1).求 z的概率密度 f z (z)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X与 Y相互独立，且 X一 N(， 2 )，Y 一 N(，2 2 )，因此 Z=XY也服从正态分布E(Z)=E(XY)=EX 一 EY= 一 =0，DZ=D(XY)=DX+DY= 2 +2 2 =3 2 所以ZN(0，3 2 )，Z 的概率密度 )解析：(2).设 Z 1 ，Z 2 ，Z n 为来自总体 Z的简单随机样本，求 2 的最大似然估计量*；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设样本 z 1 ，z 2 ，z n 的一组取值为 z 1 ，z 2 ，z n 则似然函数 上式
31、两边取对数，且令 即 解得 )解析：(3).证明*为 2 的无偏估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由(2)知， 而 E(Z i 2 )=E 2 (Z i )+D(Z i )=3 2 因此 )解析：(2011年试题，三)设 X 1 ，X 2 ，X n 为来自正态总体 N( 0 ， 2 )的简单随机样本，其中 0 已知， 2 0 未知 （分数：4.00）(1).求参数 2 的最大似然估计 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：似然函数 取对数得 令 得 2 的最大似然估计值为 )解析：(2).计算 和 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 于是 )解析：(2009
32、年试题，23)设总体 X的概率密度为 （分数：4.00）(1).求参数 的矩估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 E(X)= ，且 所以参数 的矩估计量为 )解析：(2).求参数 的最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造似然函数 在上述等式两边取对数得 今 则有 故 所以参数 的最大似然估计量为 )解析：22.(2006年试题，23)设总体 X的概率密度为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：求最大似然估计要先写出似然函数因为总体 X是连续型随机变量，其似然函数是(X 1 ，X 2 ，X n )的联合概率密度依题意可知样本值中有 N个小于 1，其似
33、然函数 L中应有 N个 的乘积即 N ，还应有(1 一 ) n-N ，所以样本的似然函数为 N (1一 ) n-N 因为 N为样本值 x 1 ，x 2 ，x n 中小于 1的个数，即样本值 x 1 ，x 2 ，x n 中有 N个小于 1，其余 n一 N个大于或等于 1，所以似然函数为 L= N (1一 ) n-N 取对数 InL=Nln+(n 一 N)ln(1一 )对 求导数得 令 则有 解出 所以 的最大似然估计为 )解析：(2004年试题，三)设总体 X的分布函数为 （分数：4.00）(1). 的矩估计量；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，X 分布函数为 则 X的概率密度为 令 则 所以 的矩估计量为 )解析：(2). 的最大似然估计量（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设似然函数为 当 两边取对数得 则有 所以 的最大似然估计量为 )解析：解析：注意本题中给出的是总体的分布函数，而求点估计一般采用的是分布律或概率密度，因而要先求导得到概率密度后再往下求估计量23.(2002年试
