1、考研数学三-105 及答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 1(x)， 2(x)， 3(x)是微分方程 y“+P(x)y+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：4.00）A.C1 1(x)+C2 2(x)+C3 3(x)B.C1 1(x)- 2(x)+C2 1(x)- 3(x)+C3 2(x)- 3(x)+ 1(x)C.C1 1(x)- 2(x)+C2 2(x)+ 3(x)2.设 （分数：4.00）A.B.C.D.3.设 f(x)连续，且 （分数：4.00）A.B.C.D.4.设 t0，则当 t0
2、 时， （分数：4.00）A.B.C.D.5.设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=2， 3=4，对应的特征向量为 1， 2， 3，令 P=(-3 2，2 1，5 3)，则 P-1(A*+2E)P 等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.6.设 X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=-1，D(X)=9，D(Y)=16，且 X，Y 的相关系数为 由切比雪夫不等式得 P|X+Y-1|10( )（分数：4.00）A.B.C.D.7.设随机变量 X，y 相互独立，且 （分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 ATB=0，则 r(
3、B)等于( )（分数：4.00）A.0B.1C.2D.3二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 z=z(x，y)由 (x2-z2，e z+2y)=0 确定，其中 连续可偏导，则 （分数：4.00）填空项 1:_11. （分数：4.00）填空项 1:_12.设 D 是由曲线 与直线 y=x 围成，则 （分数：4.00）填空项 1:_13.设 A，B 为三阶矩阵，AB， 1=-1， 2=1 为矩阵 A 的两个特征值，又 则 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 Xt(3),则 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：94.
4、00)15.设 f(x)在1，+内可导，f(x)0 且 证明：a n收敛且 （分数：9.00）_16.证明：当 x0 时，e x-1(1+x)ln(1+x)（分数：9.00）_设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导1.若 f(a)=0，f(b)0，f+(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f()f“()+f 2()=0（分数：11.00）_设抛物线 y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a 2)(a0)1.求 S=S(a)的表达式；（分数：10.00）_17.求级数 （分数：11.00）_1.设 A 为 mn 阶矩阵，证明：r(
5、A TA)=r(A)；（分数：10.00）_设 A 是二阶矩阵， 为非零向量，但不是 A 的特征向量，且满足 A2+A-6=01.证明：，A 线性无关；（分数：12.00）_18.某流水线上产品不合格的概率为 （分数：11.00）_设总体 x 的分布函数为（分数：11.01）_考研数学三-105 答案解析(总分：150.01，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 1(x)， 2(x)， 3(x)是微分方程 y“+P(x)y+Q(x)y=f(x)的三个线性无关的特解，则该方程的通解为( )（分数：4.00）A.C1 1(x)+C2 2(x)+C3 3(x)B.C
6、1 1(x)- 2(x)+C2 1(x)- 3(x)+C3 2(x)- 3(x)+ 1(x)C.C1 1(x)- 2(x)+C2 2(x)+ 3(x)解析：详解 显然 C1 1(x)- 2(x)+C2 1(x)- 3(x)为 y“+P(x)y+Q(x)y=0 的通解，且* 1(x)+ 2(x)+ 3(x)为 y“+P(x)y+Q(x)y=f(x)的特解，选(D)2.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 *3.设 f(x)连续，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 因为*所以由极限的保号性，存在 0，当 0|x-1| 时，有*即当 x(1-，1)时，f(x)0；当 x
7、(1，1+)时，f(x)0根据极值的定义，f(1)为 f(x)的极小值，选(B)4.设 t0，则当 t0 时， （分数：4.00）A.B.C. D.解析：详解 *5.设三阶矩阵 A 的特征值为 1=-1， 2=2， 3=4，对应的特征向量为 1， 2， 3，令 P=(-3 2，2 1，5 3)，则 P-1(A*+2E)P 等于( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 A *+2E 对应的特征值为 1=10， 2=-2， 3=0，对应的特征向量为 1， 2， 3，则-3 2，2 1，5 3仍然是 A*+2E 的对应于特征值 2=-2， 1=10， 3=0 的特征向量，于是有*6.设
8、X，Y 为两个随机变量，其中 E(X)=2，E(Y)=-1，D(X)=9，D(Y)=16，且 X，Y 的相关系数为 由切比雪夫不等式得 P|X+Y-1|10( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 令 Z=X+Y，则 E(Z)=E(X)+E(Y)=1，D(Z)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=13，则 P|X+Y-1|10=P|Z-E(Z)|10*选(B)7.设随机变量 X，y 相互独立，且 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：详解 *8.设 A，B 及 A*都是 n(n3)阶非零矩阵，且 ATB=0，则 r(B)等于( )（分数：4.00）A.0B.1
9、 C.2D.3解析：详解 因为 ATB=0 且 B 为非零矩阵，所以方程组 ATX=0 有非零解，从而 r(AT)=r(A)n，于是 r(A*)=0 或 r(A*)=1，又因为 A*为非零矩阵，所以 r(A*)=1由 r(A*)=1 得 r(A)=n-1，从而 r(AT)=n-1由 ATB=0得 r(AT)+r(B)n，于是 r(B)1，又 B 为非零矩阵，所以 r(B)1，于是 r(B)=1，选(B)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 *10.设 z=z(x，y)由 (x2-z2，e z+2y)=0 确定，其中 连续可
10、偏导，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 *(x 2-z2，e z+2y)=0 两边对x 求偏导，得*解得*11. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 *12.设 D 是由曲线 与直线 y=x 围成，则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 *13.设 A，B 为三阶矩阵，AB， 1=-1， 2=1 为矩阵 A 的两个特征值，又 则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：详解 因为*所以|B|=3，又因为 AB，所以 A，B 有相同的特征值，设 A 的另一个特征值为 3，由|A|=|B|= 1 2
11、 3，得 3=-3，因为 A-3E 的特征值为-4，-2，-6，所以|A-3E|=-48因为*14.设 Xt(3),则 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：F(3，1)）解析：详解 因为 Xt(3)，所以存在 UN(0，1)，V 2(3)，且 U，V 相互独立，使得 X=*因为U2 2(1)，且 U2与 V 相互独立，所以*三、解答题(总题数：9，分数：94.00)15.设 f(x)在1，+内可导，f(x)0 且 证明：a n收敛且 （分数：9.00）_正确答案：(因为 f(x)0，所以 f(x)单调减少又因为=f(n+1)-f()0(n，n+1)所以a n单调减少)解析：16.证明
12、：当 x0 时，e x-1(1+x)ln(1+x)（分数：9.00）_正确答案：(令 (x)=e x-1-(1+x)ln(1+x)，(0)=0。(x)=e x-ln(1+x)-1，(0)=0，)解析：设 f(x)Ca，b，在(a，b)内二阶可导1.若 f(a)=0，f(b)0，f+(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f()f“()+f 2()=0（分数：11.00）_正确答案：(因为 f+(a)0，所以存在 C(a，b)，使得 f(c)f(a)=0，因为 f(c)f(b)0，所以存在x0(c，b)，使得 f(x0)=0因为 f(a)=f(x0)=0，由罗尔定理，存在 x1(a，x 0)，使得
13、 f(x0)=0令 (x)=f(x)f(x)，由 (a)=(x 1)=0，根据罗尔定理，存在 (a，x 1) )解析：_正确答案：(令 ，因为 F(a)=F(b)=0，所以由罗尔定理，存在 c(a，b)，使得 F(c)=0，即 f(c)=0令 h(x)=exf(x)，由 h(a)=h(c)=h(b)=0，根据罗尔定理，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h( 1)=h( 2)=0，则 h(x)=exf(x)+f(x)，所以 f( 1)+f( 1)=0，f( 2)+f( 2)=0再令 G(x)=e-xf(x)+f(x)，由 G( 1)=G( 2)=0，根据罗尔定理，存在 ( 1， 2) )
14、解析：设抛物线 y=x2与它的两条相互垂直的切线所围成的平面图形的面积为 S，其中一条切线与抛物线相切于点A(a，a 2)(a0)1.求 S=S(a)的表达式；（分数：10.00）_正确答案：(设另一个切点为 ，则抛物线 y=x2的两条切线分别为因为 L1L 2，所以 ，两条切线 L1，L 2的交点为 及抛物线 y=x2所围成的面积为)解析：_正确答案：()解析：17.求级数 （分数：11.00）_正确答案：()解析：1.设 A 为 mn 阶矩阵，证明：r(A TA)=r(A)；（分数：10.00）_正确答案：(显然当 AX=0 时，A TAX=0；反之，若 ATAX=0，则有 XTATAX=
15、0，即(AX) TAX=0，故 AX=0，即方程组 ATAX=0 与 AX=0 为同解方程组，于是 r(ATA)=r(A)解析：_正确答案：(若 BX=0，则 ABX=0；反之，若 ABX=0，令 BX=Y，即 AY=0，因为 r(A)=n，所以 Y=0，即 BX=0，从而方程组 BX=0 与 ABX=0 为同解方程组，于是 r(AB)=r(B)解析：设 A 是二阶矩阵， 为非零向量，但不是 A 的特征向量，且满足 A2+A-6=01.证明：，A 线性无关；（分数：12.00）_正确答案：(设 ，A 线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k 2，使得 k1+k 1A=O，显然 k20，因为若
16、k2=0，则 k1=0，注意到 为非零向量，所以 k1=0，矛盾由 k20，得 A= )解析：_正确答案：(由 A2+A-6=0，得(A 2+A-6E)=0，因为 为非零向量，所以方程组(A 2+A-6E)X=0 有非零解，于是有|A 2+A-6E|=0，即|3E+A|2E-A|=0当|3E+A|0，即 3E+A 可逆时，由 A2+A-6=0，得(3E+A)(2E-A)=0，两边左乘(3E+A) -1，得A=2，矛盾，所以|3E+A|=0，同理可证|2E-A|=0，于是 1=-3， 2=2 为 A 的两个特征值，故 A 一定可以对角化)解析：18.某流水线上产品不合格的概率为 （分数：11.00）_正确答案：(X 的分布律为PX=k=(1-p)k-1p(k=1，2，)解析：设总体 x 的分布函数为（分数：11.01）_正确答案：(总体 X 的分布律为)解析：_正确答案：(E(X)=12+3(1-30)=3-70令 )解析：_正确答案：(似然函数为L()= 3(2) 5(1-3) 2lnL()=3ln+5ln2+2ln(1-3)得参数 0 的极大似然估计值为 )解析：
