1、考研数学三-127 及答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 0是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0E-A)X=0 的基础解系为 1， 2，则 A 的属于 0的全部特征向量为_（分数：4.00）A. 1和 2B. 1或 2C.c1 1+c2 2(c1，c 2全不为零)D.c1 1+c2 2(c1，c 2不全为零)2.设随机变量 X 和 Y 相互独立，X 在区间(0，2)上服从均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布，则概率PX+Y1=_（分数：4.00）A.1-1/2eB.1-eC.eD.2e3.设 f(x)=2x+
2、3x-2，则当 x0 时_（分数：4.00）A.f(x)与 x 是等价无穷小B.f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小C.f(x)是比 x 更高阶的无穷小D.f(x)是比 x 较低阶的无穷小4.当 x1 时，函数 （分数：4.00）A.B.C.D.5.若 f(-x)=f(x)(-x+), 在(-，0)内 f(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内有_（分数：4.00）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f“(x)0D.f(x)0，f“(x)06.A、B 均为 n 阶方阵， ，则 C 的伴随矩阵 C*=_（分数：4.00）A.B.C.D.7.（分数：4.00
3、）A.B.C.D.8.若 3a2-5b0，则方程 x5+2ax3+3bx+4c=0_（分数：4.00）A.无实根B.有唯一实根C.有三个不同的实根D.有五个不同的实根二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_10.设 ，为_时，右图中阴影部分的面积 S1与 S2之和 S 最小?（分数：4.00）填空项 1:_11.设函数 y=f(x)由方程 e2x-y-cos(xy)=e-1 所确定，则曲线 y=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_12.微分方程 xy“+y2=0 满足方初始条件 （分数：4.00）填空项 1:_13.若矩
4、阵 （分数：4.00）填空项 1:_14.设随机变量 X 的分布函数为（分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 z=f(exsiny，x 2+y2)其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：11.00）_16.某工厂全年需要购进原材料 3200 吨，每次购材料需采购费 200 元，每吨材料库存一年需要库存费 2元如果每次进货数量相同，并且材料的消耗是均匀的(可理解为：平均库存量为进货量的一半)，问每次进货量为多少时，能使得全年的采购与库存的总费用最少?（分数：11.00）_17.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入
5、 R(万元)与电台广告费用 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式：（分数：11.00）_18.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在相等的最大值，又 f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：() 存在 (a，b)，使得 f()=g()；() 存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：11.00）_19.设曲线方程为 y=e-x(x0)(1) 把曲线 y=e-x(x0)，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围成平面图形绕 x 轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体的体积 V()；求满足 （分数：11.00）_20.设 A 为
6、n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij是 A=(aij)nm中元素 aij的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型（分数：11.00）_21.设有 n 元实二次型f(x1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中 ai(i=1，2，n)为实数试问：当 a1，a 2，a n满足何种条件时，二次型 f(x1, x2，x n)为正定二次型?（分数：11.00）_22.假设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于12 的为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利
7、，销售每件不合格品亏损已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系：（分数：11.00）_23.设银行存款的年利率 r=0.05，并依年复利计算某基金会希望通过存款 A 万元实现第一年取出 19 万元，第二年取出 28 万元，第 n 年取出(10+9n)万元，并能按此规律一直取下去，问 A 至少为多少万元?（分数：11.00）_考研数学三-127 答案解析(总分：155.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.设 0是 n 阶矩阵 A 的特征值，且齐次线性方程组( 0E-A)X=0 的基础解系为 1， 2，则 A 的属于 0的全部特征向量为_（
8、分数：4.00）A. 1和 2B. 1或 2C.c1 1+c2 2(c1，c 2全不为零)D.c1 1+c2 2(c1，c 2不全为零) 解析：考点提示 特征向量、特征值解题分析 A 的属于 0的全部特征向量为方程组(E-A)X=0 的通解，即 c1 1+c2 2，c 1，c 2不全为零故选 D2.设随机变量 X 和 Y 相互独立，X 在区间(0，2)上服从均匀分布，Y 服从参数为 1 的指数分布，则概率PX+Y1=_（分数：4.00）A.1-1/2e B.1-eC.eD.2e解析：考点提示 随机变量的独立性解题分析 由题设知*因为随机变量 X 和 Y 相互独立，所以二维随机变量(X，Y)的概
9、率密度为*所以 PX+Y1)=1-PX+Y1*3.设 f(x)=2x+3x-2，则当 x0 时_（分数：4.00）A.f(x)与 x 是等价无穷小B.f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小 C.f(x)是比 x 更高阶的无穷小D.f(x)是比 x 较低阶的无穷小解析：考点提示 等价无穷小解题分析 因为*且 ln2+ln31，所以应选 B4.当 x1 时，函数 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 函数极限 解题分析 *当 x1 时函数没有极限，也不是，故应选 D5.若 f(-x)=f(x)(-x+), 在(-，0)内 f(x)0，且 f“(x)0，则在(0，+)内有_（分数：4.0
10、0）A.f(x)0，f“(x)0B.f(x)0，f“(x)0C.f(x)0，f“(x)0 D.f(x)0，f“(x)0解析：考点提示 复合函数求导解题分析 由题设 f(-x)=f(x)，对此式两边求导，得-f(-x)=f(x) (1)由(1)式两边再求导，得f(-x)=f(x) (2)当 x(-，0)时，-x(0+)，则由题设已知当 x(-，0)时 f(x)0，且 f(x)0，并结合(1)式和(2)，式可推知，f(x)0，x(0，+)，且 f“(x)0，x(0，+)综上，选 C6.A、B 均为 n 阶方阵， ，则 C 的伴随矩阵 C*=_（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点提示 伴随
11、矩阵解题分析 因为*，所以根据伴随矩阵的性质 CC*=C|E=|A|B|E 可知，D 选项为正确答案。7.（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点提示 三角函数的不定积分解题分析 *8.若 3a2-5b0，则方程 x5+2ax3+3bx+4c=0_（分数：4.00）A.无实根B.有唯一实根 C.有三个不同的实根D.有五个不同的实根解析：考点提示 函数方程根的个数解题分析 设 f(x)=x5+2ax3+3bx+4c则 f(x)=5x4+6ax2+3b=5(x2)2+6a(x2)+3b由于(6a) 2-453b=12(3a2-5b)0，所以 f(x)=0 无实根又*，于是 f(x)0根据连续
12、函数的介值定理及 f(x)的严格单调增加性质，知 f(x)有唯一零点，即方程 f(x)=0 有唯一实根，故选 B二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9. （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 函数的极限解题分析 *而*故*10.设 ，为_时，右图中阴影部分的面积 S1与 S2之和 S 最小?（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 利用定积分求函数的值解题分析 S(t)=S 1+S2*令*在*内得唯一驻点*，又当*0，故*时，S 取最小值11.设函数 y=f(x)由方程 e2x-y-cos(xy)=e-1 所确定，则曲线 y=f(x)在
13、点(0，1)处的法线方程为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x-2y+2=0）解析：考点提示 求法线方程解题分析 方程 e2x-y-cos(xy)=e-1 两边求导得(2+y)e 2x+y+(y+xy)sin(xy)=0在点(0，1)处，(2+y)e=0，则 y=-2法线斜率为*，法线方程为 y=*，即 x-2y+2=012.微分方程 xy“+y2=0 满足方初始条件 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 微分方程的特解解题分析 这是二阶的可降阶的方程解法一 令 y=P(y)(以 y 为自变量)，则*即*分离变量得*积分得 ln|P|+ln|y|=c
14、即*(P=0 对应(c 1=0)；由 x=0 时 y=1，*，得*于是*又由 y|x=C=1 得 c2=1，所求特解为*解法二 不难看出方程可写成(yy)=0积分便得 yy=c1以下与方法 1相同13.若矩阵 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案： ）解析：考点提示 逆矩阵解题分析 B=A 2-3A+2E=(A+2E)(A-E)*故*14.设随机变量 X 的分布函数为（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：1， ）解析：考点提示 随机变量的分布函数解题分析 由于任何随机变量 X 的分布函数 F(x)是右连续函数，因此对任何 x，有 F(x)=F(x+0)对于*，有*因此 A=1，
15、其中*，又*因 F(x)在*处连续，因此*所以*三、解答题(总题数：9，分数：99.00)15.设 z=f(exsiny，x 2+y2)其中 f 具有二阶连续偏导数，求 （分数：11.00）_正确答案：(先求 ，由复合函数求导法得再对 y 求导，得)解析：考点提示 这是求带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数16.某工厂全年需要购进原材料 3200 吨，每次购材料需采购费 200 元，每吨材料库存一年需要库存费 2元如果每次进货数量相同，并且材料的消耗是均匀的(可理解为：平均库存量为进货量的一半)，问每次进货量为多少时，能使得全年的采购与库存的总费用最少?（分数：11.00）_正确答案：(设
16、批量为 q，全年的采购与库存的总费用为 C，则成本函数为令 )解析：考点提示 函数的最值17.某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与电台广告费用 x1(万元)及报纸广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式：（分数：11.00）_正确答案：(1) 利润函数为由因驻点唯一，且实际问题有最大值，故用于电台广告的费用为 0.75 万元，用于报纸广告的费用为 1.25 万元时利润最大(2) 广告费用为 1.5 万元时，利润函数为：令 F(x1，x 2，)=+(x 1+x2-1.5)，由 解得 )解析：考点提示 利润为销售收入与广告费用之差，而最优广
17、告策略是指在用于广告费为多少时，利润最大18.设函数 f(x)，g(x)在a，b上连续，在(a，b)内二阶可导，且存在相等的最大值，又 f(a)=g(a)，f(b)=g(b)，证明：() 存在 (a，b)，使得 f()=g()；() 存在 (a，b)，使得 f“()=g“()（分数：11.00）_正确答案：() 设 f(x)，g(x)在(a，b)内某点 c(a，b)同时取得最大值，则 f(c)=g(c)，此时的 f 就是所求点 ，使得 f()=g()若两个函数取得最大值的点不同，则可设 f(c)=maxf(x)，g(d)=maxg(x)，故有 f(c)-g(c)0，f(d)-g(d)0由介值定
18、理，在(c，d)内(或(d，c)内)肯定存在 ，使得 f()=g()() 由罗尔定理在区间(a，)及(，b)内分别存在一点 1， 2，使得 f( 1)=g( 1)，f( 2)=g( 2)在区间( 1， 2)内再用罗尔定理，即存在 (a，b)，使得 f“()=g“()解析：考点提示 罗尔定理、介值定理19.设曲线方程为 y=e-x(x0)(1) 把曲线 y=e-x(x0)，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围成平面图形绕 x 轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体的体积 V()；求满足 （分数：11.00）_正确答案：(1) 如图 A，旋转体体积由得(2) 如图 B设切点为(a，e -a)，因 y=
19、(e-x)=-e-x，所以切线方程为y-e-a=-e-a(x-a)，令 x=0，得 y=(1+a)e-a，令 y=0，得 x=1+a，于是切线与坐标轴所夹面积令 S=0，得 a1=1，a 2=-1，其中 a2=-1 应舍去当 a1 时， ；当 a1 时， ，故当 a=1 时，面积最大，所求切点为(1，e -1)，最大面积)解析：考点提示 (1)先利用定积分求旋转体体积的公式求 V()，并求出极限*，然后解出 a(2)是导数在求最值问题中的应用，首先建立切线与坐标轴所夹图形的面积关于切点的目标函数，然后运用导数方法求出极限值点和极值评注 本题综合考查了微分学与积分学的多个知识点：切线问题，面积与
20、体积问题，极限与极值问题，但涉及的每个知识点都是基本内容，这是考研综合题型的典型特点20.设 A 为 n 阶实对称矩阵，秩(A)=n，A ij是 A=(aij)nm中元素 aij的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型（分数：11.00）_正确答案：(1) 由题设，已知 A 为 n 阶实对称矩阵，从而上式中矩阵可换成共转置即已知 r(A)=n，从而|A|0，A 可逆，且 )解析：考点提示 二次型、矩阵的合同评注 关于(2)的证明中 A-1与 A 合同的结论，也可通过以下方法得到：对二次型 g(X)=XTAX 作可逆线性变换 X=A-1Y，其中 Y=(y1，y 2，y n)T，则g(X)=XT
21、AX=(A-1Y)TA(A-1Y)=YT(A-1)TAA-1Y=YT(AT)-1AA-1Y=YTA-1Y，则 A 与 A-1合同21.设有 n 元实二次型f(x1，x 2，x n)=(x1+a1x2)2+(x2+a2x3)2+(xn-1+an-1xn)2+(xn+anx1)2，其中 ai(i=1，2，n)为实数试问：当 a1，a 2，a n满足何种条件时，二次型 f(x1, x2，x n)为正定二次型?（分数：11.00）_正确答案：(本题有以下两种较为简单的解法：详解 l 由题设，任给 x1，x 2，x n都有 f(x1，x 2，x n)0，因此，f(x 1，x 2，x n)=0当且仅当该齐
22、次线性方程组仅有零解的充分必要条件是系数行列式不为 0，即因此，当 1+(-1)n+1a1a2an0 时，任给不全为零的 x1，x 2，x n都有 f(x1，x 2，x n)0，即当a1a2an(-1) n时，f(x 1，x 2，x n)为正定二次型详解 2 令此线性变换的矩阵的行列式与(详解 1)中行列式相同，因此当 a1a2an(-1) n时，此线性变换可逆，记其逆变换为 x=Py，可化原二次型为标准形：)解析：考点提示 正定二次型、线性齐次方程组、线性变换22.假设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(单位：毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于12 的为不合格品，其余为
23、合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系：（分数：11.00）_正确答案：(因为 XN(u，1)，所以于是销售一个零件的平均利润E(T)=-1PT=-1)+20PT=20+(-5)PT=-5)=-(10-)+20(12-)-(10-)-51-(12-)=25(12-)-21(10-)-5令得即两边取对数得 )解析：考点提示 平均利润就是销售利润丁的数学期望 E(T)，它是参数 u 的函数，问题即为求 E(T)达到最大时参数 u 的值23.设银行存款的年利率 r=0.05，并依年复利计算某基金会希望通过存款 A 万元实现第一年取
24、出 19 万元，第二年取出 28 万元，第 n 年取出(10+9n)万元，并能按此规律一直取下去，问 A 至少为多少万元?（分数：11.00）_正确答案：(此问题可假设每次取出的钱在当年存上，则 n 年后 A 万元变为 A(1+0.05)n万元；取钱再存上后钱的数量为19(1+0.05)n-1+28(1+0.05)n-2+(10+9n)1依题意当 n时，A(1+0.05)n19(1+0.05) n-1+28(1+0.05)n-2+(10+9n)1，即又令 Sn=(1+0.05)-1+2(1+0.05)-2+n(1+0.05)-n，则(1+0.05)-1Sn=(1+0.05)-2+2(1+0.05)-3+n(1+0.05)-n-1上述两式相减得1-(1+0.05)-1Sn=(1+0.05)-1于是则有)解析：考点提示 数列与极限在经济学中的应用
