1、考研数学三-409 (1)及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.设 u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy -y=0与 e z -xz=0确定，求 （分数：4.00）_2.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z)=0 所确定的函数，其中 f和 F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：4.00）_3.设 y=f(x，t)，其中 t是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 （分
2、数：4.00）_4. （分数：4.00）_5.设变换 可把方程 简化为 （分数：4.00）_6.设 z=fx+(x-y)，y，其中 f二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：4.00）_7. （分数：4.00）_8.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny的极值 （分数：4.00）_9.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在 （分数：4.00）_10.平面曲线 （分数：4.00）_11.设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为 x件和 y件，利润函数为 L(x，y)=6x-x 2 +16y-4y 2 -2(万元) 已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料 2000kg，现有
3、该原料 12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少? （分数：4.00）_12.改变积分次序 （分数：4.00）_13.改变积分次序 （分数：4.00）_14.改变积分次序 （分数：4.00）_15.改变积分次序并计算 （分数：4.00）_16. （分数：4.00）_17. （分数：4.00）_18.把二重积 写成极坐标下的累次积分的形式(先 r后 )，其中 D由直线 x+y=1，x=1，y=1 围成 （分数：4.00）_19.把 （分数：4.00）_20.设 f(x)连续，f(0)=1，令 （分数：4.00）_21.计算 其中 D由曲线 （分数：4.00）_22.设 D
4、是由点 O(0，0)，A(1，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算 （分数：8.00）_23.求 （分数：8.00）_考研数学三-409 (1)答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、解答题(总题数：23，分数：100.00)1.设 u=f(x，y，z)有连续的偏导数，y=y(x)，z=z(x)分别由方程 e xy -y=0与 e z -xz=0确定，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 方程 e xy -y=0两边对 x求导得 方程 e z -xz=0两边对 x求导得 解得 2.设 y=y(x)，z=z(x)是由方程 z=xf(x+y)和 F(x，y，z
5、)=0 所确定的函数，其中 f和 F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 z=xf(x+y)及 F(x，y，z)=0 两边对 x求导数，得 解得 3.设 y=f(x，t)，其中 t是由 G(x，y，t)=0 确定的 x，y 的函数，且 f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 y=f(x，t)与 G(x，y，t)=0 两边对 x求导得 解得4. （分数：4.00）_正确答案：()解析：证明 5.设变换 可把方程 简化为 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 将 u，v 作为中间变量，则
6、函数关系为 z=f(u，v)， 则有 6.设 z=fx+(x-y)，y，其中 f二阶连续可偏导， 二阶可导，求 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 z=fx+(x-y)，y两边对 y求偏导得 7. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 8.求二元函数 f(x，y)=x 2 (2+y 2 )+ylny的极值 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 二元函数 f(x，y)的定义域为 D=(x，y)|y0， 9.求 u=x 2 +y 2 +z 2 在 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 10.平面曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 曲线 绕 x轴旋转一周所得的
7、曲面为 根据对称性，设内接长方体在第一卦限的顶点坐标为 M(x，y，z)，则体积为 V=8xyz 由实际问题的特性及点的唯一性，当 时，内接长方体体积最大，最大体积为 11.设某工厂生产甲、乙两种产品，产量分别为 x件和 y件，利润函数为 L(x，y)=6x-x 2 +16y-4y 2 -2(万元) 已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料 2000kg，现有该原料 12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大?最大利润是多少? （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 根据题意，即求函数 L(x，y)=6x-x 2 +16y-4y 2 -2在 0x+y6 下的最大值 L(x，y)的唯
8、一驻点为(3，2)， 令 F(x，y，)=6x-x 2 +16y-4y 2 -2+(x+y-6)， 由 得 12.改变积分次序 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 13.改变积分次序 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 14.改变积分次序 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 15.改变积分次序并计算 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 改变积分次序得 16. （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 D 1 =(x，y)|1x2， yx，D 2 =(x，y)|2x4， y2，D 1 +D 2 =D=(x，y)|1y2，yxy 2 ， 17. （分数：4.0
9、0）_正确答案：()解析：解 改变积分次序得 18.把二重积 写成极坐标下的累次积分的形式(先 r后 )，其中 D由直线 x+y=1，x=1，y=1 围成 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 19.把 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 20.设 f(x)连续，f(0)=1，令 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 令 x=rcos，y=rsin，则 因为 f(x)连续，所以 F“(t)=2tf(t 2 )且 F“(0)=0，于是 21.计算 其中 D由曲线 （分数：4.00）_正确答案：()解析：解 22.设 D是由点 O(0，0)，A(1，2)及 B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解 将区域向 x轴投影， 23.求 （分数：8.00）_正确答案：()解析：解
