1、考研数学三（一元函数积分学）-试卷 1 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.下列反常积分中收敛的是 （分数：2.00）A.B.C.D.3.下列反常积分其结论不正确的是 （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 M= （分数：2.00）A.M1NB.MN1C.NM1D.1MN5.设 P= （分数：2.00）A.PQ1B.PQ1C.1PQD.1PQ6.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.F(x)是 f(x)在(-，+)上的一个原函数B.F(x)在(-
2、，+)内可微，但不是 f(x)的原函数C.F(x)在(-，+)上不连续D.F(x)在(-，+)上连续，但不是 f(x)在(-，+)上的原函数7.设函数 （分数：2.00）A.f(x)不连续，F(x)可微且是 f(x)的一个原函数B.f(x)不连续且不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)与 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F“(x)=f(x)8.设 F(x)= ，f(x)连续，则 F“(x)= （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10
3、.设 f(x)是连续函数，并满足f(x)sinxdx=cos 2 x+C，又 F(x)是 f(x)的原函数，且 F(0)=0，则 F(x)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_11.若函数 f(x)连续并满足 f(x)=x+ （分数：2.00）填空项 1:_12.已知反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_14.求 （分数：2.00）_15.计算下列反常积分的值： （分数：2.00）_16.设直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 -6y=0 分成两部分，求椭圆在该直线下方
4、部分的面积（分数：2.00）_17.设 D 1 是由曲线 y= 和直线 y=a 及 x=0 所围成的平面区域；D 2 是由曲线 y= 和直线 y=a及 x=1 所围成的平面区域，其中 0a1 ()试求 D 1 绕 x 轴旋转而成的旋转体体积 V 1 ；D 2 绕 y轴旋转而成的旋转体体积 V 2 (如图 38)； （分数：2.00）_18.设两曲线 （分数：2.00）_19.设某产品总产量 Q 的变化率为 f(t)=200+5t- （分数：2.00）_20.设 f(x)的原函数 F(x)0，且 F(0)=1当 x0 时有 f(x)F(x)=sin 2 2x， 试求 f(x)（分数：2.00）_
5、21.比较定积分 （分数：2.00）_22.证明下列不等式： （分数：2.00）_23.设 f(x)在(a，b)上有定义，c(a，b)，又 f(x)在(a，b)c连续，c 为 f(x)的第一类间断点问f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么?（分数：2.00）_24.设 f(x)定义在(a，b)上，c(a，b)，又设 H(x)，G(x)分别在(a，c，c，b)连续，且分别在(a，c)与(c，b)是 f(x)的原函数令 （分数：2.00）_25.已知 f(x)= （分数：2.00）_26.设y1，求 F(y)= （分数：2.00）_27.计算下列不定积分： （分数：2.00）_28.计算下列不
6、定积分： （分数：2.00）_29.计算下列定积分： （分数：2.00）_30.设函数 f(x)在(-，+)内满足 f(x)=f(x-)+sinx，且当 x0，)时，f(x)=x，求 （分数：2.00）_31.计算下列反常积分： （分数：2.00）_32.设 f(x)= （分数：2.00）_考研数学三（一元函数积分学）-试卷 1 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.下列反常积分中收敛的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：利用对3.下
7、列反常积分其结论不正确的是 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：对于(A)：由于 收敛，于是 故(A)正确 对于(B)：由分部积分有4.设 M= （分数：2.00）A.M1N B.MN1C.NM1D.1MN解析：解析：sin(sinx)，cos(cosx)均在 上连续，由 sinx x 知 sin(sinx)5.设 P= （分数：2.00）A.PQ1B.PQ1C.1PQD.1PQ 解析：解析：利用 上连续，且满足 由 QP 可见结论(A)，(C)不正确，由6.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.F(x)是 f(x)在(-，+)上的一个原函数B.F(x)在(-，+)内可微，但不
8、是 f(x)的原函数C.F(x)在(-，+)上不连续D.F(x)在(-，+)上连续，但不是 f(x)在(-，+)上的原函数 解析：解析：(1)利用分段积分法求 F(x)，当 x0 时， 由此可见 F(x)在(-，+)上连续，在x0 处 F“(x)=f(x)，又 F“ - (0)=(x 2 +1) x=0 =1，F“ + (0) 7.设函数 （分数：2.00）A.f(x)不连续，F(x)可微且是 f(x)的一个原函数 B.f(x)不连续且不存在原函数，因而 F(x)不是 f(x)的原函数C.f(x)与 F(x)均为可微函数，且 F(x)为 f(x)的一个原函数D.f(x)连续，且 F“(x)=f
9、(x)解析：解析：可验证 x=0 为 f(x)的第二类间断点，因为 上式等号右端第二项极限不存在(无界，但不为无穷大量) 但可以验证 F(x)在 x=0 处可微，且8.设 F(x)= ，f(x)连续，则 F“(x)= （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：这是上、下限均为已知函数的变限积分，直接由变限积分求导法得二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9.函数 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：由于10.设 f(x)是连续函数，并满足f(x)sinxdx=cos 2 x+C，又 F(x)是 f(x)的原函数，且 F(0)=0，则 F(
10、x)= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：-2sinx）解析：解析：按题意 F(x)= 为求 f(x)，将题设等式求导得 f(x)sinx=f(x)sinxdx=(cos 2 x+C)“=-2sinxcosx， 从而 f(x)=-2cosx，于是 11.若函数 f(x)连续并满足 f(x)=x+ （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：定积分是积分和的极限，当被积函数与积分区间确定后，它就是一个确定的数从而由题设知可令 ，只要求得常数 A 就可得到函数 f(x)的表达式为此将题设等式两端同乘 x 并从 0 到 1 求定积分，就有12.已
11、知反常积分 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分部积分法，可得三、解答题(总题数：20，分数：40.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：14.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 1+cos 2 x=2-sin 2 x，从而可用()的结果，即 )解析：15.计算下列反常积分的值： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由于 ，因而它有原函数 ()由于 x 2 -2x=(x-1) 2 -1，为去掉被积函数中的根号，可令 x-1=sect这样就有 ()方法 1 采用分解法与分部积分法注意
12、 ，将被积函数分解并用分部积分法有 )解析：16.设直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 -6y=0 分成两部分，求椭圆在该直线下方部分的面积（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：所求图形(如图 35)的面积为 )解析：解析：如图 35，直线 y=x 与椭圆 x 2 +3y 2 -6y=0 的交点坐标为 O(0，0)， 选用 y 为积分变量更恰当，这时两曲线方程分别为 x=y 与 x= 17.设 D 1 是由曲线 y= 和直线 y=a 及 x=0 所围成的平面区域；D 2 是由曲线 y= 和直线 y=a及 x=1 所围成的平面区域，其中 0a1 ()试求 D 1 绕 x 轴旋转而成的旋
13、转体体积 V 1 ；D 2 绕 y轴旋转而成的旋转体体积 V 2 (如图 38)； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()D 1 与 D 2 可分别表示为 在 D 1 中对应横坐标为 xx+dx 的小窄条绕x 轴旋转一周形成一个圆环形薄片，其内半径为 a，外半径为 ，厚度为 dx，故其体积为 dV=(1-x 2 -a 2 )dx，从而 在 D 2 中对应横坐标为 xx+d 戈的小窄条绕 y 轴旋转一周形成一个薄壁圆筒，其半径为 x，高度为 a- ，厚度为 dx，故其体积为 ，从而 )解析：18.设两曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：如图 39，先求 a 值与切点坐标： 由
14、两曲线在(x 0 ，y 0 )处有公切线得 我们所求的旋转体体积 V 等于曲线 分别与 x 轴及直线 x=e 2 所围成平面图形绕 x 轴旋转而成的旋转体体积之差，即 )解析：19.设某产品总产量 Q 的变化率为 f(t)=200+5t- （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)的原函数 F(x)0，且 F(0)=1当 x0 时有 f(x)F(x)=sin 2 2x， 试求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)F(x)dx=sin 2 2xdx= 又 F“(x)=f(x)，故f(x)F(x)dx=F(x)dF(x)= 于是 F 2 (x)=x
15、- sin4x+C，其中 C=2C 1 -2C 2 由 F(0)=1 得 C=1，所以 F(x)= 故 f(x)=F“(x)= )解析：21.比较定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当两个定积分的积分区间相同且被积函数连续时，只需比较被积函数的大小就可比较定积分的大小当被积函数连续，但积分区间不同，应先通过变量替换转化为积分区间相同的情形之后再比较被积函数的大小 )解析：22.证明下列不等式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()设 f(x)= ，则 f(x)在区间0，1上连续，且 可见函数 f(x)在点，又因 f(0)=f(1)=1，故 f(x)在区间0，1上的最大值
16、是 f(0)=f(1)=1，从而 )解析：23.设 f(x)在(a，b)上有定义，c(a，b)，又 f(x)在(a，b)c连续，c 为 f(x)的第一类间断点问f(x)在(a，b)是否存在原函数?为什么?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 F(x)是 f(x)在(a，b)的原函数考察 )解析：解析：f(x)在(a，c)与(c，b)上连续，分别存在原函数，于是关键是看 x=c 处的情况24.设 f(x)定义在(a，b)上，c(a，b)，又设 H(x)，G(x)分别在(a，c，c，b)连续，且分别在(a，c)与(c，b)是 f(x)的原函数令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(
17、)F“(c)= )解析：25.已知 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：易求得 仅当 A=0 时 f(x)在 x=0 连续于是 f(x)在(-，+)连续，从而存在原函数当 A0 时，x=0 是 f(x)的第一类问断点，从而 f(x)在(-，+)不存在原函数因此求得A=0下求 f(x)的原函数 方法 1 被积函数是分段定义的连续函数，它存在原函数，也是分段定义的由于原函数必是连续的，我们先分段求出原函数，然后把它们连续地粘合在一起，就构成一个整体的原函数 当 x0 时， 取 C 1 =0，随之取 C 2 =1，于是当 x0 - 时与 x0 + 时f(x)dx 的极限同为 1，这
18、样就得到 f(x)的一个原函数 因此 f(x)dx=F(x)+C，其中 C 为任意常数 方法 2 由 f(x)是连续函数知 f(x)一定存在原函数，并且对任意常数口变上限定积分 均为 f(x)的一个原函数由于 x=0 是分段函数 f(x)的分界点，因此可取 a=0下面求 当 x0 时， 于是求得 f(x)的一个原函数 )解析：26.设y1，求 F(y)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把被积函数改写成分段函数的形式，即 )解析：27.计算下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()采用凑微分法，并将被积函数变形，则有 对于右端第一个积分，使用凑微分法，即可得到 而
19、第二个积分可使用代换 x=sint，则 ()对此三角有理式，如果分子是 asinx+bcosx 与(asinx+bcosx)“=acosx-bsinx 的线性组合，就很容易求其原函数，故设 a 1 sinx+b 1 cosx=A(asinx+bcosx)+B(acosx-bsinx) )解析：28.计算下列不定积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()记原式为 J，先分项： 方法 2作分部积分，注意 方法 2作分部积分注意 由于 d(1+tlnt)=d(tlnx)=(lnt+1)dt，从而 ()利用分项积分法与分部积分法可得)解析：29.计算下列定积分： （分数：2.00）_正确答
20、案：(正确答案：()令 x= -t，则 ()被积函数中含绝对值，可化为分段函数的积分，x=2 是分界点，因此 ()由于 ()方法 1作幂函数代换后再分部积分，则有 ()令 u=sin 2 x 作换元，则 对应于 u：01，且 du=d(sin 2 x)=2sinxcosxdx=sin2xdx， 于是 再令 t=e u 作换元，则 u：01 对应于 t：1e，且 ()这是有关含根式的积分问题，应通过变量替换去掉根式为此令 )解析：30.设函数 f(x)在(-，+)内满足 f(x)=f(x-)+sinx，且当 x0，)时，f(x)=x，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：
21、由于题目只给出了 f(x)在区间0，)上的具体表达式，为计算 f(x)在，3上的积分值，就应该通过换元法使其积分区间换到O，上另外，也可以通过 f(x)=f(x-)+sinx 及 f(x)在0，)上的表达式，求出 f(x)在，3)上的表达式，然后再求积分值这里所采用的是第一种方法，读者可采用第二种方法计算31.计算下列反常积分： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()这是一个无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算 ()这是一个有理函数在无穷区间上的反常积分，可以通过求原函数的方法计算 ()这是一个无界函数的反常积分，其瑕点为 a，由于被积函数中含有根式，应通过变量替换将根式去掉注意被积函数可改写为 )解析：32.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：解析：这里被积函数也含参变量 x，要设法转化为被积函数不含参变量 x 的情形注意相对于积分变量 t 来说 x 是常量先将被积函数恒等变形，作配方 tx-t 2 = ，于是被积函数中含变量 x 的因子 可分离出来提到积分号外，最后再作变量替换
