1、考研数学三（一元函数积分学）-试卷 4 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)为(-，+)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)= （分数：2.00）A.单调增加的奇函数B.单调增加的偶函数C.单调减小的奇函数D.单调减小的偶函数3.下列函数 f(x)中其原函数及定积分 都存在的是 （分数：2.00）A.B.C.D.4.积分 （分数：2.00）A.与 a 有关B.是与 a 无关的负数C.是与 a 无关的正数D.为零5.设 F“(x)=f(x)
2、，则（分数：2.00）A.当 f(x)为奇函数时，F(x)一定是偶函数B.当 f(x)为偶函数时，F(x)一定是奇函数C.当 f(x)是以 T 为周期的函数时，F(x)一定也是以 T 为周期的函数D.当 f(x)是以 T 为周期的函数时，F(x)一定不是以 T 为周期的函数6.设 f(x)在(-，+)上连续，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.若 f(x)为偶函数，则B.若 f(x)为奇函数，则C.若 f(x)为非奇非偶函数，则D.若 f(x)为以 T 为周期的周期函数，且是奇函数，则 F(x)=7.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)=f(x+)B.f(x)f(x+)C.f(x
3、)f(x+)D.当 x0 时，f(x)f(x+)；当 x0 时，f(x)f(x+)8.设常数 a0， （分数：2.00）A.I 1 I 2 B.I 1 I 2 C.I 1 =I 2 D.I 1 与 I 2 的大小与 的取值有关9.下列反常积分中发散的是 （分数：2.00）A.B.C.D.10.设 f(t)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导D.可导二、填空题(总题数：12，分数：24.00)11.由曲线 y=lnx 与两直线 y=e+1-x 及 y=0 围成平面图形的面积 S= 1.（分数：2.00）填空项 1:_12.由曲线 与直线 y=a 及 y 轴在第
4、一象限所围平面图形的面积是仅由曲线 及直线 y=a 所围图形面积的 （分数：2.00）填空项 1:_13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_15.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_16.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f“(x)连续，f“(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_19.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_20.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_21.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_22.设 y=f(x)满足y= （分数：2.00）填空项
5、 1:_三、解答题(总题数：11，分数：22.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_24.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续，f(0)=g(0)0，求 （分数：2.00）_25.求 （分数：2.00）_26.设 f(x)在a，b可积，求证：(x)= （分数：2.00）_27.设 F(x)= ，试求：()F(x)的极值； ()曲线 y=F(x)的拐点的横坐标； () （分数：2.00）_28.设曲线 y=bx-x 2 与 x 轴所围平面图形被曲线 y=ax 2 (a0)分成面积相等的两部分，求 a 的值（分数：2.00）_29.设一抛物线过
6、 x 轴上两点(1，0)与(3，0)()求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与 x 轴围成图形的面积；()求上述两平面图形分别绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积之比（分数：2.00）_30.设曲线方程为 y=e -x (x0) ()把曲线 y=e -x ，x 轴，y 轴和直线 x=(0)所围平面图形绕 x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积 V()；并求满足 V(a)= （分数：2.00）_31.设 D 是位于曲线 （分数：2.00）_32.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 （分数：2.00）_33.设 y=f(x)在0，+)上有连续的导数，f(x)的值域为0，+)，且
7、 f“(x)0，f(0)=0又 x=(y)为y=f(x)的反函数，对于常数 a0，b0，试证明： （分数：2.00）_考研数学三（一元函数积分学）-试卷 4 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)为(-，+)上的连续奇函数，且单调增加，F(x)= （分数：2.00）A.单调增加的奇函数B.单调增加的偶函数C.单调减小的奇函数 D.单调减小的偶函数解析：解析：对被积函数作变量替换 u=x-t，就有 由于 f(x)为奇函数，故 为奇函数，又
8、因uf(u)为偶函数，从而 为奇函数，所以 F(x)为奇函数又 由积分中值定理知在 0 与 x 之间存在 使得 从而 F“(x)=xf()-f(x)，无论 x0，还是 x0，由 f(x)单调增加，都有 F“(x)0，从而应选(C) 其实由3.下列函数 f(x)中其原函数及定积分 都存在的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：像这类题需逐一步分析上述四个选项的 f(x)均不连续 对于(A)：显然 x=0 是 f(x)的第一类间断点，因此在任意一个不包含点 x=0 在内的区间上，f(x)一定存在原函数因为当 x0时x“=f(x)，因此当 x0 时，f(x)的全体原函数x+C 在 x=
9、0 处不可导，从而在任意一个包含 x=0在内的区间上，x+C 不是 f(x)的原函数，所以 f(x)在上述区间上不存在原函数但定积分 存在，因为 f(x)在上述区间上有界，且只有有限个间断点故(A)不对 对于(B)：显然 x=0 是 f(x)的振荡间断点即第二类间断点，但是该 f(x)存在原函数 F(x)= 而定积分 不存在，因为在 x=0 的邻域内 f(x)无界故(B)不对 对于(C)：显然 x=0 是 f(x)的无穷间断点即第二类间断点，此 f(x)在包含 x=0 在内的区间上不存在原函数定积分 也不存在故(C)也不对 对于(D)：显然 x=0 是 f(x)的第二类间断点，容易验证该 f(
10、x)在(-，+)上存在原函数 F(x)=4.积分 （分数：2.00）A.与 a 有关B.是与 a 无关的负数C.是与 a 无关的正数 D.为零解析：解析：由于被积函数 ln(2+cosx).cosx 是以 2 为周期的偶函数，因此 5.设 F“(x)=f(x)，则（分数：2.00）A.当 f(x)为奇函数时，F(x)一定是偶函数 B.当 f(x)为偶函数时，F(x)一定是奇函数C.当 f(x)是以 T 为周期的函数时，F(x)一定也是以 T 为周期的函数D.当 f(x)是以 T 为周期的函数时，F(x)一定不是以 T 为周期的函数解析：解析：令 F(x)= +1，则 f(x)=x 2 是偶函数
11、，但 F(x)不是奇函数，故可排除(B) 令 F(x)=sinx+x，则 f(x)=cosx+1，f(x)是周期函数，但 F(x)不是周期函数，故可排除(C) 令 F(x)=sinx，则f(x)=cosx，f(x)和 F(x)都是周期函数，故可排除(D) 当 f(x)为奇函数时， 6.设 f(x)在(-，+)上连续，则下列命题正确的是（分数：2.00）A.若 f(x)为偶函数，则B.若 f(x)为奇函数，则C.若 f(x)为非奇非偶函数，则D.若 f(x)为以 T 为周期的周期函数，且是奇函数，则 F(x)= 解析：解析：由于 0 既是偶函数又是奇函数，且 ，所以不选(A)，(B) 若 f(x
12、)为非奇非偶函数，也可能有 在(-，+)上为非奇非偶函数，但 ，因此不选(C)，由排除法应选(D) 事实上，利用“若 f(x)为以 T 为周期的周期函数，则 的值与 a 无关”与奇函数的积分性质可得， 所以F(x)=7.设 f(x)= （分数：2.00）A.f(x)=f(x+) B.f(x)f(x+)C.f(x)f(x+)D.当 x0 时，f(x)f(x+)；当 x0 时，f(x)f(x+)解析：解析：在积分 中，令 u=t+，则8.设常数 a0， （分数：2.00）A.I 1 I 2 B.I 1 I 2 C.I 1 =I 2 D.I 1 与 I 2 的大小与 的取值有关解析：解析： 9.下列
13、反常积分中发散的是 （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：对于(A)：由于当 k1 时 由排除法可知，应选(D) 因 x=0 是瑕点，从而 发散，故反常积分10.设 f(t)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在但不连续C.连续但不可导 D.可导解析：解析： 当 t0 时，f(t) 因 =-1=f(0)，故函数 f(t)在 t=0 处连续二、填空题(总题数：12，分数：24.00)11.由曲线 y=lnx 与两直线 y=e+1-x 及 y=0 围成平面图形的面积 S= 1.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：解方程组 得唯一交点(e，1)
14、，而所给曲线与直线分别交 x 轴于 x=1 及 x=e+1围成图形如图 310 中阴影部分，其面积12.由曲线 与直线 y=a 及 y 轴在第一象限所围平面图形的面积是仅由曲线 及直线 y=a 所围图形面积的 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：先画草图(如图 311)，曲线是开口向下的二次曲线，且与 x 轴的交点为=0 与 x=4由图形的对称性及条件可知 S 1 =S 2 ，故 S+S 2 =S+S 1 ，即 13.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
15、确答案：*）解析：解析：15.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xlnlnx+C）解析：解析：原式=16.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：17.设 f“(x)连续，f“(x)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：18.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 cotx=t，则 x0 + 时 t+，x= 时 t=0，故 再令 t= ，则 t+时x0，t0 + 时 x+，于是 19.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正
16、确答案：*）解析：解析：原式20.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：令 t= -x，则21.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：利用分部积分法22.设 y=f(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题设可知 ，从而 由 f(0)=0 可得 C=0于是 f(x)= 由定积分几何意义得三、解答题(总题数：11，分数：22.00)23.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：24.设 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域内连续
17、，f(0)=g(0)0，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题是求 型未定式的极限，需用洛必达法则，但分子分母都需先作变量替换，使被积函数中的 与 g(xt)不含 x 才可以求导令 )解析：25.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是求 型的极限用洛必达法则时就要求变限积分的导数这里被积函数f(x)= 还是变限积分注意到这一点就容易求得 )解析：26.设 f(x)在a，b可积，求证：(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，x+xa，b，考察 由 f(x)在a，b可积 f(x)在a，b有界设f(x)M(xa，b)，则 因此， )解析：27.设 F(x)=
18、，试求：()F(x)的极值； ()曲线 y=F(x)的拐点的横坐标； () （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()由 F“(x)= ，即知 F(x)在 x=0 处取极小值 0，且无其他极值 ()F“(x)= 两侧 F“(x)变号，即知 x= 为曲线 y=F(x)的拐点的横坐标 ()注意到 x 2 F“(x)为奇函数，因此 )解析：28.设曲线 y=bx-x 2 与 x 轴所围平面图形被曲线 y=ax 2 (a0)分成面积相等的两部分，求 a 的值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不妨设 b0，画草图如图 312(当 b0 时，其图形与 b0 时的图形关于 y 轴对称) 求两曲线
19、的交点：由 )解析：29.设一抛物线过 x 轴上两点(1，0)与(3，0)()求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与 x 轴围成图形的面积；()求上述两平面图形分别绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积之比（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设抛物线的方程为 y=a(x-1)(x-3)，其中常数 a0不妨设 a0，如图 313 ()此抛物线与两坐标轴围成图形的面积 此抛物线与 x 轴围成图形的面积 从而，由计算结果知 S 1 =S 2 ()上述两平面图形绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积分别为 )解析：30.设曲线方程为 y=e -x (x0) ()把曲线 y=e -x ，x
20、 轴，y 轴和直线 x=(0)所围平面图形绕 x轴旋转一周得一旋转体，求此旋转体的体积 V()；并求满足 V(a)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()在曲线 y=e -x 上点 处的切线方程是 它与 x 轴的交点是(1+x 0 ，0)，它与 y 轴的交点是 ，于是切线与两坐标轴所围平面图形是两直角边长分别为1+x 0 和 的直角三角形，其面积为 令 可解出唯一驻点 x 0 =1，又因 ，在 x 0 =1 有 S“(1)0，故 S 在 x 0 =1 取得最大值，且 maxS=S(1)= 即过曲线 y=e -x (x0)上点 处的切线与两坐标轴所围成的平面图形的面积最大，且该面
21、积是 )解析：31.设 D 是位于曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：() ()由于 V“(a)= )解析：32.设 f(x)在区间a，b上可导，且满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 又 f(x)在a，b上连续，所以 上的平均值 由于 F(x)=e x f(x)在 上连续，由积分中值定理即知至少存在一点 c 使得 )解析：33.设 y=f(x)在0，+)上有连续的导数，f(x)的值域为0，+)，且 f“(x)0，f(0)=0又 x=(y)为y=f(x)的反函数，对于常数 a0，b0，试证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 ，则 g“(a)=f
22、(a)-b令 g“(a)=0，得 b=f(a)， 即 a=(b)当0a(b)时，由“(x)0 有 f(a)f(b)=b，从而知 g“(a)0；当 0(b)a 时有 f(b)=bf(a)，从而知 g“(a)0，所以 g(b)为最小值，即 由于 (g(b)“ b =f(b)“(b)+(b)-(b)-“(b)b =b“(b)+(b)-(b)-“(b)b0， 又 所以 g(b)0，从而有 (2)对积分 用变量替换后再分部积分，有 若 a(b)，如图 314-(1)，则当ax(b)时 f(a)f(x)f(b)=b，推知 若 a(b)，如图 314-(2)，则当 ax(b)时 f(a)f(x)f(b)=b，推知 若 a=(b)，如图 314-(3)，则 )解析：
