1、考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 2及答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0，y=f(x+x)一 f(x)，其中x0，则( )（分数：2.00）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy03.设 f“(x)连续，f(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0
2、)也非 y=f(x)的拐点4.设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，则 （分数：2.00）A.单调增加B.单调减少C.恒等于零D.非单调函数5.设 f(x)可导，则当x0 时，ydy 是x 的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小6.f(x)在(一，+)内二阶可导，f“(x)0， （分数：2.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零7.若 f(x)在 x=0的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f
3、(x)的拐点C.x=0是 f(x)的极大值点D.x=0是 f(x)的极小值点8.设 f(x)在 x=0的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9. （分数：2.00）填空项 1:_10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12.设周期为 4的函数 f(x)处处可导，且 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_14.设 f(x)在 上连续，在 内可
4、导，证明：存在 ， 使得 （分数：2.00）_15.求极限 （分数：2.00）_16.设 （分数：2.00）_17.设 （分数：2.00）_18.设当 x0 时，方程 （分数：2.00）_19.求曲线 （分数：2.00）_20.证明：当 x0 时，e x 一 1(1+x)ln(1+x)（分数：2.00）_21.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又|f(x)|M，证明： （分数：2.00）_22.设函数 f(x)，g(x)在a，+)上二阶可导，且满足条件 f(a)=g(a)，f(a)=g(a)， f“(x)g“(x)(xa)证明：当 xa 时，f(x)g(x)（分数：2.
5、00）_23.证明：当 x0 时，x 2 (1+x)ln 2 (1+x)（分数：2.00）_24.证明：不等式： （分数：2.00）_25.求 （分数：2.00）_26.设 PQ为抛物线 （分数：2.00）_27.证明：当 0x1 时，(1+x)ln 2 (1+x)x 2 （分数：2.00）_28.证明：当 0x1 时， （分数：2.00）_29.证明： （分数：2.00）_30.求 （分数：2.00）_31.证明方程 （分数：2.00）_32.设 k0，讨论常数 k的取值，使 f(x)=xlnx+k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_33.设 （分数：2.00）_3
6、4.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：（分数：4.00）(1).存在 (a，b)，使得 f()=2()（分数：2.00）_(2).存在 (a，b)，使得 f()+f()=0（分数：2.00）_考研数学三（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 2答案解析(总分：70.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.
7、设函数 f(x)二阶可导，且 f(x)0，f“(x)0，y=f(x+x)一 f(x)，其中x0，则( )（分数：2.00）A.ydy0B.ydy0C.dyy0D.dyy0 解析：解析：根据微分中值定理，y=f(x+x)一 f(x)=f()x0(x+xx)，dy=f(x)x0，因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，而 x，所以 f()f(x)， 于是 f()xf(x)x，即 dyy0，选(D)3.设 f“(x)连续，f(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点D.f(0)非极值，(0，f(0)也
8、非 y=f(x)的拐点解析：解析：由 及 f“(x)的连续性，得 f“(0)=0，由极限的保号性，存在 0，当 0|x| 时，4.设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a)内二阶可导，且 f(0)=0，f“(x)0，则 （分数：2.00）A.单调增加B.单调减少 C.恒等于零D.非单调函数解析：解析： 令 h(x)=xf(x)一 f(x)，h(0)=0，h(x)=xf“(x)0(0 得 h(x)0(0xa)， 于是 故 5.设 f(x)可导，则当x0 时，ydy 是x 的( )（分数：2.00）A.高阶无穷小 B.等价无穷小C.同阶无穷小D.低阶无穷小解析：解析：因为 f(x)可导，所以 f
9、(x)可微分，即y=dy+(x)，所以y 一 dy是x 的高阶无穷小，选(A)6.f(x)在(一，+)内二阶可导，f“(x)0， （分数：2.00）A.单调增加且大于零B.单调增加且小于零 C.单调减少且大于零D.单调减少且小于零解析：解析：由7.若 f(x)在 x=0的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.x=0是 f(x)的零点B.(0，f(0)是 y=f(x)的拐点C.x=0是 f(x)的极大值点D.x=0是 f(x)的极小值点 解析：解析：由 得 f(0)=0， 由8.设 f(x)在 x=0的邻域内有定义，且 f(0)=0，则 f(x)在 x=0处可导的充分必要条件是( )
10、（分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设 显然 而 f(x)在 x=0处不可导，(A)不对； 即 存在只能保证 f(x)在x=0处右可导，故(B)不对； 因为 于是 存在不能保证 f(x)在 x=0处可导，故(D)不对；二、填空题(总题数：4，分数：8.00)9. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：10.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由*得曲线的斜渐近线为 y=3x+5）解析：11. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 得 ）解析：12.设周期为 4的函数 f(x)处处可导，且 （分数：2.00）
11、填空项 1:_ （正确答案：正确答案：由 得 f(1)=2， 再由 ）解析：三、解答题(总题数：23，分数：46.00)13.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：14.设 f(x)在 上连续，在 内可导，证明：存在 ， 使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 由柯西中值定理，存在 使得 由拉格朗日中值定理，存在使得 故 )解析：15.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得 于是 )解析：16.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由题意得 解得 )解析：17.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设当 x0 时，
12、方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (1)当 k0 时，由 f(x)0 得 f(x)在(0，+)内单调减少， 再由f(0+0)=+， 得 k0 时，f(x)在(0，+)内有且仅有一个零点， 即方程 在(0，+)内有且仅有一个根； (2)当 k0 时，令 f(x)=0，解得 因为 所以 为 f(x)的最小值点，令最小值 解得 故 或 k0 时，方程 )解析：19.求曲线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 得曲线无水平渐近线； 由 得 x=一 1为铅直渐近线； 由 得x=1不是铅直渐近线； 由 )解析：20.证明：当 x0 时，e x 一 1(1+x)ln(1+x)（分
13、数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=e x 一 1一(1+x)ln(1+x)，f(0)=0， f(x)=e x 一 ln(1+x)一 1，f(0)=0； )解析：21.设 f(x)在0，1上二阶连续可导且 f(0)=f(1)，又|f(x)|M，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由泰勒公式得 两式相减得 取绝对值得 因为 x 2 x，(1 一 x) 2 1 一 x，所以 x 2 +(1一 x) 2 1，故 )解析：22.设函数 f(x)，g(x)在a，+)上二阶可导，且满足条件 f(a)=g(a)，f(a)=g(a)， f“(x)g“(x)(xa)证明：当 xa
14、时，f(x)g(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=f(x)一 g(x)，显然 (a)=(a)=0，“(x)0(xa) 由 得(x)0(xa)； 再由 )解析：23.证明：当 x0 时，x 2 (1+x)ln 2 (1+x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 2 一(1+x)ln 2 (1+x)，f(0)=0； f(x)=2xln 2 (1+x)一 2ln(1+x)，f(0)=0； 由 得 f(x)0(x0)； 由 )解析：24.证明：不等式： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 得 x=0，因为 所以 x=0为 f(x)的极小值点，也为最
15、小值点，而 f(0)=0，故对一切的 x，有 f(x)0，即 )解析：25.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=(1 一 x)arctanx=0，得 x=0或 x=1， 因为 y“(0)=10， 所以x=0为极小值点，极小值为 y=0；x=1 为极大值点，极大值为 )解析：26.设 PQ为抛物线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 因为 关于 y轴对称，不妨设 a0 过 P点的法线方程为设 因为 Q在法线上，所以 解得 PQ的长度的平方为 由 为唯一驻点，从而为最小值点， 故 PQ的最小距离为 )解析：27.证明：当 0x1 时，(1+x)ln 2 (1+x)x 2
16、 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f(x)=x 2 一(1+x)ln 2 (1+x)，f(0)=0； f(x)=2x 一 ln 2 (1+x)一 2ln(1+x)，f(0)=0； )解析：28.证明：当 0x1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 等价于一 2xln(1一 x)一 ln(1+x)， 令 f(x)=ln(1+x)一 ln(1一 x)一 2x，则 f(0)=0， 由 得 f(x)0(0x1)，故当 0x1 时， )解析：29.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 方法一 由 则 x=0为f(x)的最小值点，而最小值为 f(0)=0，故 f
17、(x)0，即 方法二 令 得 x=0，因为 所以 x=0为 f(x)的最小值点，最小值为 f(0)=0，所以有 )解析：30.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由 f(x)=2x1=0 得 因为 所以 f(x)在0，1上的最大值为最小值为 )解析：31.证明方程 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 k0，讨论常数 k的取值，使 f(x)=xlnx+k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)的定义域为(0，+)， 由 f(x)=lnx+1=0，得驻点为 由 得为 f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为
18、 (1)当 时，函数 f(x)在(0，+)内没有零点； (2)当 时，函数 f(x)在(0，+)内有唯一零点 (3)当 时，函数 f(x)在(0，+)内有两个零点，分别位于 与 )解析：33.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 f(x)在(一，+)上单调增加 因为 当 x )解析：34.设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导(a0)，且 f(a)=0证明：存在 (a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)一(b 一 x) a f(x)，显然 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导， 因为 (a)=(b)=0，所以由罗尔定理，存在 (a，b
19、)，使得 ()=0， 由 (x)=(b 一 x) a-1 (bx)f(x)一 af(x)得 (b 一 ) a-1 (b一 )f()一 af()且(b 一 ) a-1 0，故 )解析：设 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：（分数：4.00）(1).存在 (a，b)，使得 f()=2()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e -x2 f(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在 (a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=e -x2 f(x)一 2xf(x)且 e -x2 0，故 f()=2()解析：(2).存在 (a，b)，使得 f()+f()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=xf(x)，因为 f(a)=f(b)=0，所以 (a)=(b)=0， 由罗尔定理，存在(a，b)，使得 ()=0， 而 (x)=xf(x)+f(x)，故 f()+f()=0)解析：
