1、考研数学三（微积分）-试卷 34 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 y(x)是微分方程 y“+(x 一 1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y“(0)=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1B.等于 2C.等于 0D.不存在3.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 2y“一 3y 一(2x+1)e 一 x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+6)e 一 xB.x 2 e 一 xC.x 2 (ax+b)e 一
2、xD.x(ax+b)e 一 x二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_5.微分方程 y“一 xe 一 y + （分数：2.00）填空项 1:_6.微分方程 yy“一 2(y“) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_7.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_8.以 y=C 1 e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设 y(x)为微分方程 y“一 4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 的
3、特解，则 0 1 y(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.差分方程 y t+1 一 2y t =32 t 的通解为 y(t)= 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：20，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_12.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_13.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有|f“(x)|q1，令 u n =f(u n 一 1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：2.00）_14.设 f(x)在(一，+)内一阶连续可导，且 =1证明： 收敛，而 （分数：2.00）_15
4、.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）_16.设 y=y(x)满足 y“=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：2.00）_17.求幂级数 （分数：2.00）_18.求函数 f(x)=1n(1 一 x 一 2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_19.求幂级数 （分数：2.00）_20.求幂级数 （分数：2.00）_21.求幂级数 （分数：2.00）_22.求 （分数：2.00）_23.设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy“+y=e x 的满足 y(x)=1 的解 (1)求 F(x)关于x 的幂级数；
5、 (2)求 （分数：2.00）_24.将函数 f(x)=arctan （分数：2.00）_25.设 f(x)= 且 a 0 =1，a n+1 =a n +n(n=0，1，2，) (1)求 f(x)满足的微分方程； (2)求 （分数：2.00）_26.设 u n 0，且 =q 存在证明：当 q1 时级数 u n 收敛，当 q1 时级数 （分数：2.00）_27.设级数 (a n 一 a n 一 1 )收敛，且 b n 绝对收敛证明： （分数：2.00）_28.设 a n = tan n xdx，对任意的参数 ，讨论级数 （分数：2.00）_设函数 f 0 (x)在(一，+)内连续，f n (x)
6、= 0 x f n 一 1 (t)dt(n=1，2，) 证明：（分数：4.00）(1).f n (x)= （分数：2.00）_(2). （分数：2.00）_29.设 a 0 =1，a 2 =一 2，a 2 = a n (n2)证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 34 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 y(x)是微分方程 y“+(x 一 1)y“+x 2 y=e x 满足初始条件 y(0)=0，y“(0)
7、=1 的解，则 （分数：2.00）A.等于 1 B.等于 2C.等于 0D.不存在解析：解析：微分方程有 y“+(x 一 1)y“+x 2 y=e x 中，令 x=0，则 y“(0)=2，于是 3.二阶常系数非齐次线性微分方程 y“一 2y“一 3y 一(2x+1)e 一 x 的特解形式为( )（分数：2.00）A.(ax+6)e 一 xB.x 2 e 一 xC.x 2 (ax+b)e 一 xD.x(ax+b)e 一 x 解析：解析：方程 y“一 2y“一 3y=(2x+1)e 一 x 的特征方程为 2 一 2 一 3=0，特征值为 1 =一1， 2 一 3，故方程 y“一 2y“一 3y=(
8、2x+1)e 一 x 的特解形式为 x(ax+b)e 一 x ，选(D)二、填空题(总题数：7，分数：14.00)4.设 y=y(x)满足y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：5.微分方程 y“一 xe 一 y + （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：6.微分方程 yy“一 2(y“) 2 =0 的通解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C 1 x+C 2 ）解析：解析：7.微分方程 xy“= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：lnx+C）解析：解析：8.以 y=C 1
9、e x +e x (C 2 cosx+C 3 sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：特征值为 1 =1， 2，3 =1i，特征方程为( 一 1)( 一 1+i)( 一 1 一 i)=0，即 3 一 3 2 +4 一 2=0，所求方程为 y“一 3y“+4y“2y=09.设 y(x)为微分方程 y“一 4y“+4y=0 满足初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 的特解，则 0 1 y(x)dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：y“一 4y“+4y=0 的通解为 y=(
10、C 1 +C 1 x)e 2x ， 由初始条件 y(0)=1，y“(0)=2 得 C 1 =1，C 2 =0，则 y=e 2x ，于是 10.差分方程 y t+1 一 2y t =32 t 的通解为 y(t)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：C2 t + ）解析：解析：y t+1 一 2y t =0 的通解为 y(t)=C2 t ，f(t)=32 t ，因为 2 为特征值，所以设特解为 y t * =at2 t ，代入原方程得 a= ，故原方程的通解为 y(t)=C2 t + 三、解答题(总题数：20，分数：40.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算
11、步骤。_解析：12.对常数 p，讨论幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =1，得幂级数的收敛半径为 R=1 (1)当 p0 时，记 q=一 p，则有=+，因而当 x=1 时， 发散，此时幂级数的收敛域为(一 1，1)； (2)当 0p1 时，对=+，所以 x=1 时，级数 发散，当 x=一 1 时， 显然收敛，此时幂级数的收敛域为一1，1)； (3)当 p1 时，对 收敛，当 x=一 1 时， )解析：13.设 f(x)在区间a，b上满足 af(x)b，且有|f“(x)|q1，令 u n =f(u n 一 1 )(n=1，2，)，u 0 a，b，证明：级数 （分数：2.00）
12、_正确答案：(正确答案：由|u n+1 一 u n |=|f(u n )一 f(u n 一 1 )|=|f“( 1 )|u n 一 u n 一 1 | q|u n 一 u n 一 1 q2|u n 一 1 一 u n 一 2 |q n |u 1 一 u 0 | 且 q n |u n+1 一 u n |收敛，于是 )解析：14.设 f(x)在(一，+)内一阶连续可导，且 =1证明： 收敛，而 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：15.设 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0，得 f(0)=0，f“(0)=0由泰勒公式得
13、 f(x)=f(0)+f“(0)x+ 其中 介于 0 与 x 之间 又 f“(x)在 x=0 的某邻域内连续，从而可以找到一个原点在其内部的闭区间，在此闭区间内有|f“(x)|M，其中 M0 为 f“(x)在该闭区间上的界，所以对充分大的 n，有 因为 )解析：16.设 y=y(x)满足 y“=x+y，且满足 y(0)=1，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y“=x+y 得 y“=1+y“，再由 y(0)=1 得 y“(0)=1，y“(0)=2，根据麦克劳林公式，有 )解析：17.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.求函数 f(x)=1n(
14、1 一 x 一 2x 2 )的幂级数，并求出该幂级数的收敛域（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=1n(1 一 x 一 2x 2 )=1n(x+1)(1 一 2x)=1n(1+x)+ln(l 一 2x)， )解析：19.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：级数 的收敛半径为 R=+，收敛区间为(一，+) )解析：20.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然该幂级数的收敛区间为一 1，1， )解析：21.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =0，得收敛半径 R=+，该幂级数的收敛区间为(一，+)， )解析：22.求 （分数：2.
15、00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)的一个原函数为 F(x)，且 F(x)为方程 xy“+y=e x 的满足 y(x)=1 的解 (1)求 F(x)关于x 的幂级数； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)由 xy“+y=e x 得 解得 )解析：24.将函数 f(x)=arctan （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由逐项可积性得 )解析：25.设 f(x)= 且 a 0 =1，a n+1 =a n +n(n=0，1，2，) (1)求 f(x)满足的微分方程； (2)求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 u n
16、0，且 =q 存在证明：当 q1 时级数 u n 收敛，当 q1 时级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 q1 时，取 0 = 所以存在 N0，当 nN 时， 所以存在N0，当 nN 时， )解析：27.设级数 (a n 一 a n 一 1 )收敛，且 b n 绝对收敛证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 S n =(a 1 一 a 0 )+(a 2 一 a 1 )+(a n 一 a n 一 1 )，则 S n =a n =a 0 因为级数 (a n 一 a n 一 1 )收敛，所以 S n 存在，设 S n =S，则有 a n =S+a 0 ，即 a n 存在，
17、于是存在 M0，对一切的自然数 n 有|a n |M 因为 b n 绝对收敛，所以正项级数 |b n |收敛，又 0|a n b n |M|b n |，再由 M|b n |收敛，根据正项级数的比较审敛法得 a n b n |收敛，即级数 )解析：28.设 a n = tan n xdx，对任意的参数 ，讨论级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设函数 f 0 (x)在(一，+)内连续，f n (x)= 0 x f n 一 1 (t)dt(n=1，2，) 证明：（分数：4.00）(1).f n (x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n=1 时，f 1 (x)= 0 1 f 0 (t)dt，等式成立； )解析：(2). （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 x(一，+)，f 0 (t)在0，x或x，0上连续，于是存在 M0(M与 x 有关)，使得|f 0 (t)|M(t0，x或 tx，0)，于是 因为 |x| n 收敛，根据比较审敛法知 )解析：29.设 a 0 =1，a 2 =一 2，a 2 = a n (n2)证明：当|x|1 时，幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 =1，得幂级数的收敛半径 R=1，所以当|x|1 时，幂级数 收敛由 a n+1 = (一 1) n (n+1)(n3)，所以 )解析：
