1、考研数学三（微积分）-试卷 37 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x f(t)一 f(一 t)dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dtC. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt3.若由曲线 y= （分数：2.00）A.B.C.y=x+1D.二、解答题(总题数：26，分数：54.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2、_5.设 f(x)连续，且 f(x)=2f(x 一 t)dt+e x ，求 f(x)（分数：2.00）_6. （分数：2.00）_7. （分数：2.00）_8. （分数：2.00）_9.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= （分数：2.00）_10.设 f“(lnx)= （分数：2.00）_11. （分数：2.00）_12.设 f(x)连续 0 x tf(x 一 t)dt=1 一 cosx，求 （分数：2.00）_设 S(x)= 0 x |cost|dt证明：（分数：4.00）(1).当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)；（分数：2.00）_(2).
3、求 （分数：2.00）_13.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_14.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0 f(x)dx=f()（分数：2.00）_设 f(x)在(一 a，a)(a0)内连续，且 f“(0)=2证明：（分数：4.00）(1).对 0xa，存在 001，使得 0 x f(t)dt+ 0 x f(t)dt=xf(x)一 f(一 x)；（分数：2.00）_(2).求 （分数：2.00）_15.设 a n = tan n xdx(n2)，证明： （分数：2.00）_16.设
4、f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(一，+)有|f(x)+f“(x)|1证明：|f(x)|1（分数：2.00）_17.设 f(x)在(一，+)上有定义，且对任意的 x，y(一，+)有|f(x)一 f(y)|x 一 y|证明： a b f(x)dx 一(b 一 a)f(a) （分数：2.00）_18.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：2.00）_19.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： a b xf(x)dx （分数：2.00）_20.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1 n+1 f(x)dx （分数：2.00
5、）_21.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：当 0k1 时， 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_22.设 f“(x)在0，1上连续且|f“(x)|M证明：| 0 1 f(x)dx 一 （分数：2.00）_23.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令 |f“(x)|=M 证明：| 0 a f(x)dx| （分数：2.00）_24.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)一 f(0)=1证明：f “2 (x)dx1（分数：2.00）_25.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： a b f 2 (x)dx （分数：2.00）_2
6、6.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： （分数：2.00）_27.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 lkm，问降雪是什么时候开始的？（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 37 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：3，分数：6.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )（分数：2.00）A. 0 x f(t)一 f(一 t)
7、dtB. 0 x tf(t)+f(一 t)dt C. 0 x f(t 2 )dtD. 0 x f 2 (t)dt解析：解析：因为 tf(t)一 f(一 t)为偶函数，所以 0 x tf(t)一 f(一 t)dt 为奇函数，(A)不对；因为 f(t 2 )为偶函数，所以 0 x f(t 2 )dt 为奇函数，(C)不对；因为不确定 f 2 (t)的奇偶性，所以(D)不对；令 F(x)= 0 x tf(t)+f(一 t)ldt，F(一 x)= 0 一 x tf(t)+f(一 t)dt= 0 x (一 u)f(u)+f(一 u)(一 du)=F(x)，选(B)3.若由曲线 y= （分数：2.00）A
8、. B.C.y=x+1D.解析：解析：曲线 y= 在点(t， )处的切线方程为 y= 由于切线位于曲线 y= 的上方，所以由曲线 y= 切线及 x=1，x=3 围成的面积为 当 t(0，2)时，S“(t)0；当 t(2，3)时，S“(t)0，则当 t=2 时，S(t)取最小值，此时切线方程为二、解答题(总题数：26，分数：54.00)4.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：5.设 f(x)连续，且 f(x)=2f(x 一 t)dt+e x ，求 f(x)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 x f(x 一 t)dt )解析：6. （分数：2.00）_正确答案：(正确
9、答案： )解析：7. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(x 2 e x )“=(x x +2x)e x ， )解析：8. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：9.设 F(x)为 f(x)的原函数，且当 x0 时，f(x)F(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：两边积分得 F 2 (x)= 解得 F 2 (x)= +C，由 F(0)=1，F(x)0，得 F(x)= )解析：10.设 f“(lnx)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 lnx=t，则 f“(t)= 当 t0 时，f(t)=t+C 1 ；当 t0 时，f(t)=e t +C 2
10、 显然 f“(t)为连续函数，所以 f(t)也连续，于是有 C 1 =1+C 2 ，故 f(x)= )解析：11. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：12.设 f(x)连续 0 x tf(x 一 t)dt=1 一 cosx，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 0 x tf(x 一 t)dt 0 x (x 一 u)f(u)(一 du)= 0 x (x 一 u)f(u)du =x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du， 得 x 0 x f(u)du 一 0 x uf(u)du=1 一 cosx，两边求导得 0 x f(u)du=sinx，令 x= 得 )
11、解析：设 S(x)= 0 x |cost|dt证明：（分数：4.00）(1).当 nx(n+1) 时，2nS(x)2(n+1)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 nx(n+1) 时， 0 n |cost|dt 0 x |cost|dt 0 (n+1) |cost|dt， 0 n |cost|dt=n 0 |cost|dt = )解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 nx(n+1)，得 从而 根据夹逼定理得 )解析：13.设 f(x)在0，+)上连续，非负，且以 T 为周期，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对充分大的 x，存在自然数 n，使
12、得 nTx(n+1) T ， 因为 f(x)0，所以 0 nT f(t)dt 0 x f(t)dt 0 (n+1)T f(t)dt， 注意到当 x+时，n+，且 由夹逼定理得 )解析：14.设 f(x)在0，1上连续，f(0)=0， 0 1 f(x)dx=0证明：存在 (0，1)，使得 0 f(x)dx=f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)= 因为 f(x)在0，1上连续，所以 (x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，又 (0)=0，(1)= 0 1 f(x)dx=0，由罗尔定理，存在 t(0，1)，使得 “()=0，而 “(x)= )解析：设 f(x)在(一 a，a)
13、(a0)内连续，且 f“(0)=2证明：（分数：4.00）(1).对 0xa，存在 001，使得 0 x f(t)dt+ 0 x f(t)dt=xf(x)一 f(一 x)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F(x)= 0 x f(t)dt+ 0 一 x f(t)dt，显然 F(x)在0，x上可导，且 F(0)=0，由微分中值定理，存在 01，使得 F(x)=F(x)一 F(0)=F“(x)x，即 0 x f(t)dt+ 0 一 x f(t)dt=xf(x)一 f(一 x)解析：(2).求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 =A，由 0 x f(t)dt+ 0 一 x f
14、(t)dt=xf(x)一 f(一 x)，得 )解析：15.设 a n = tan n xdx(n2)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：a n +a n+2 = 同理 a n +a n 一 2 = 因为 tan n x，tan n+2 x 在 上连续，tan n xtan n+2 x，且 tan n x， tan n+2 x 不恒等，所以 tan n+2 xdx，即 a n a n+2 ， 于是 =a n +a n+2 2a n ，即 a n 同理可证 a n )解析：16.设 f(x)有界，且 f“(x)连续，对任意的 x(一，+)有|f(x)+f“(x)|1证明：|f(x)
15、|1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 (x)=e x f(x)，则 “(x)=e x f(x)+f“(x)， 由|f(x)+f“(x)|1 得|“(x)|e x ，又由 f(x)有界得 (一)=0，则 (x)=(x)一 (一)= 一 x “(x)dx，两边取绝对值得 e x |f(x)| 一 x |“(x)|dx 一 x e x dx=e x ，所以|f(x)|1)解析：17.设 f(x)在(一，+)上有定义，且对任意的 x，y(一，+)有|f(x)一 f(y)|x 一 y|证明： a b f(x)dx 一(b 一 a)f(a) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为(b
16、一 a)f(a)= a b f(a)dx， 所以| a b f(x)dx 一(b 一 n)f(a)|=| a b f(x)一 f(a)dx| a b |f(x)一 f(a)|dx )解析：18.设 f(x)在0，1上连续，且 0mf(x)M，对任意的 x0，1，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 0mf(x)M，所以 f(x)一 m0，f(x)一 M0，从而 )解析：19.设 f(x)在a，b上连续且单调增加，证明： a b xf(x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.设 f(x)在(0，+)内连续且单调减少证明： 1 n+1 f(x)dx （
17、分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 n+1 f(x)dx= 1 2 f(x)dx+ 2 3 f(x)dx+ n n+1 f(x)dx， 当x1，2时，f(x)f(1)，两边积分得 1 2 f(x)dxf(1)， 同理 2 3 f(x)dxf(2)， n n+1 f(x)dxf(n)，相加得 n n+1 f(x)dx 当 x1，2时，f(2)f(x)，两边积分得 f(2) 1 2 f(x)dx， 同理 f(3) 2 3 f(x)dx，f(n) n 一 1 n f(x)dx， 相加得 f(2)+f(n) 1 n f(x)dx，于是 )解析：21.设 f(x)在a，b上连续且单调减少证明：
18、当 0k1 时， 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 k f(x)dx 一 k 0 1 f(x)dx= 0 k f(x)dx 一 k 0 k f(x)dx+ k 1 f(x)dx =(1 一 k) 0 k f(x)dx 一 kf(x)dx=k(1 一 k)f( 1 )一 f( 2 ) 其中 1 0，k， 2 k，1因为 0k1 且 f(x)单调减少， 所以 0 k f(x)dx 一 k 0 1 f(x)dx=k(1 一 k)f( 1 )一 f( 2 )0，故 0 k f(x)dxk 0 1 f(x)dx)解析：22.设 f“(x)在0，1
19、上连续且|f“(x)|M证明：| 0 1 f(x)dx 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.设 f(x)在0，a上一阶连续可导，f(0)=0，令 |f“(x)|=M 证明：| 0 a f(x)dx| （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由微分中值定理得 f(x)一 f(0)=f“()x，其中 介于 0 与 x 之间， 因为 f(0)=0，所以|f(x)|=|f“()x|Mx，x0，a， 从而| 0 a f(x)dx| 0 a |f(x)|dx 0 a Mxdx= )解析：24.设 f“(x)在0，1上连续，且 f(1)一 f(0)=1证明：f “2 (x)dx1
20、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 1=f(1)一 f(0)= 0 1 f“(x)dx， 得 1 2 =1=( 0 1 f“(x)dx) 2 0 1 1 2 dx 0 1 f “2 (x)dx= 0 1 f “2 (x)dx，即 0 1 f “2 (x)dx1)解析：25.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=0证明： a b f 2 (x)dx （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(a)=0，得 f(x)一 f(a)=f(x)=f“(t)dt，由柯西不等式得 f 2 (x)=( a x f“(t)dt) 2 a x 1 2 dt a x f “2 (t)dt(x
21、 一 a) a b f “2 (x)dx 积分得 a b f 2 (x)dx a b (x 一 a)dxf “2 (x)dx= )解析：26.设 f(x)在a，b上连续可导，且 f(a)=f(b)=0证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 且 f(a)=f(b)=0，所以 )解析：27.早晨开始下雪整天不停，中午一扫雪车开始扫雪，每小时扫雪体积为常数，到下午 2 点扫雪 2km，到下午 4 点又扫雪 lkm，问降雪是什么时候开始的？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设单位面积在单位时间内降雪量为 a，路宽为 b，扫雪速度为 c，路面上雪层厚度为 H(t)，扫雪车前进路程为 S(t)，降雪开始时间为 T，则 H(t)=a(t 一 T)，又 bH(t)s=ct，)解析：
