1、考研数学三（微积分）-试卷 4 及答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.函数 f（x）= （分数：2.00）A.x=1 为第一类间断点，x=1 为第二类间断点B.x=1 均为第一类间断点C.x=1 为第二类间断点，x=1 为第一类间断点D.x=1 均为第二类间断点3.设 f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则 f（0）=0 是 F（x）在 x=0 处可导的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充
2、分条件D.既非充分条件也非必要条件4.设函数 f（x）连续，且 f“（0）0，则存在 0，使得（ ）（分数：2.00）A.f（x）在（0，）内单调增加B.f（x）在（，0）内单调减少C.对任意的 x（0，）有 f（x）f（0）D.对任意的 x（，0）有 f（x）f（0）5.函数）y=f（x）在（一，+）连续，其二阶导函数的图形如图 122 所示，则 y=f（x）的拐点个数是（ ） （分数：2.00）A.1B.2C.3D.46.由曲线 y=1（x1） 2 及直线 y=0 围成的图形（如图 131 所示）绕 y 轴旋转一周而成的立体体积V 是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.7.设函数 u
3、（x，y）=（x+y）+（xy）+ xy x+y （t）dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.8.累次积分 0 1 dx x 1 f（x，y）dy+ 1 2 dy 0 2y f（x，y）dx 可写成（ ）（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2 f（x，y）dyB. 0 1 dx x 2y f（x，y）dyC. 0 1 dx x 2x f（x，y）dyD. 0 1 dx y 2y f（x，y）dy9.设级数 u n 收敛，则下列选项必为收敛级数的为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.10.正项级数 （分数：2.00）A.充要条件
4、B.充分条件C.必要条件D.既非充分条件，又非必要条件11.已知，y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y“+p（x）y“+q（x）y=f（x）的三个特解，则该方程的通解为（ ）（分数：2.00）A.y=C 1 x+C 2 x 2 +e xB.y=C 1 x 2 +C 2 e x +xC.y=C 1 （xx 2 ）+C 2 （xe x ）+xD.y=C 1 （xx 2 ）+C 2 （x 2 e x ）二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_13.已知 y= （分数：2.00）填空项 1:_14.函数 y=ln（12x）在 x=0
5、处的 n 阶导数 y （n） （0）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_15.设某商品的收益函数为 R（p），收益弹性为 1+p 3 ，其中 p 为价格，且 R（1）=1，则 R（p）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f（x，y，z）=e x +y 2 z，其中 z=z（x，y）是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 f z “ （0，1，1）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18.设函数 f（u，）具有二阶连续偏导数 z=f（x，xy），则 （分数：2.00）填空项 1:_19.级数 （分数：2.00）
6、填空项 1:_20.微分方程 y“+y=e x cosx 满足条件 y（0）=0 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.证明当 x0 时，（x 2 1）Inx（x1） 2 。（分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.设 f（x），g（x）在a，b上连续，且满足 a x f（t）dt a x g（t）dt，xa，b），f（t）dt= a b g（t）dt。证明 a b xf（x）dx a x xg（x）dx。（分数：2.00）_
7、26.证明可微的必要条件：设 z=f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处可微，则 f x “ （x 0 ，y 0 ）与 f（x 0 ，y 0 ）都存在，且 dz| x0，y0 =f x “ （x 0 ，y 0 ）x+f x “ （x 0 ，y 0 ）y。（分数：2.00）_27.求 f（x，y）=xe 一 （分数：2.00）_28.求二重积分 （分数：2.00）_29.求幂级数 （分数：2.00）_30.已知函数 f（x）满足方程 f“（x）+f“（x）2f（x）=0 及 f“（x）+f（x）=2e x 。 （）求 f（x）的表达式； （）求曲线 y=f（x 2 ） 0 x f（一 t 2
8、）dt 的拐点。（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 4 答案解析(总分：60.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.函数 f（x）= （分数：2.00）A.x=1 为第一类间断点，x=1 为第二类间断点B.x=1 均为第一类间断点 C.x=1 为第二类间断点，x=1 为第一类间断点D.x=1 均为第二类间断点解析：解析：分别就|x|=1，|x|1，|x|1 时求极限 得出 f（x）的分段表达式：3.设 f（x）可导，F（x）=f（x）（1+|sinx|），则
9、 f（0）=0 是 F（x）在 x=0 处可导的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件 B.充分条件但非必要条件C.必要条件但非充分条件D.既非充分条件也非必要条件解析：解析：令 （x）=f（x）|sinx|，显然 （0）=0。由于 4.设函数 f（x）连续，且 f“（0）0，则存在 0，使得（ ）（分数：2.00）A.f（x）在（0，）内单调增加B.f（x）在（，0）内单调减少C.对任意的 x（0，）有 f（x）f（0） D.对任意的 x（，0）有 f（x）f（0）解析：解析：由导数定义，知 f“（0）= 0。根据极限的保号性，存在 0，使对任意 xU （0），有 5.函数）y=f（x）在
10、（一，+）连续，其二阶导函数的图形如图 122 所示，则 y=f（x）的拐点个数是（ ） （分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：只须考查 f“（x）=0 的点与 f“（x）不存在的点。 f“（x 1 ）=f“（x 4 ）=0，且在 x=x 1 ，x 4 两侧 f“（x）变号，故凹凸性相反，则（x 1 ，f（x 1 ），（x 4 ，f（x 4 ）是 y=f（x）的拐点。 x=0 处 f“（0）不存在，但 f（x）在 x=0 连续，且在 x=0 两侧 f“（x）变号，因此（0，f（0）也是 y=f（x）的拐点。 虽然 f“（x 3 ）=0，但在 x=x 3 两侧 f“（x）0，y
11、=f（x）是凹的，（x 3 ，f（x 3 ）不是 y=f（x）的拐点。因此共有三个拐点。故选 C。6.由曲线 y=1（x1） 2 及直线 y=0 围成的图形（如图 131 所示）绕 y 轴旋转一周而成的立体体积V 是（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：根据选项，需要把曲线表示成 x=x（y），于是要分成两部分： 则所求立体体积为两个旋转体的体积差，其中 于是有 V=V 1 V 2 = 0 1 7.设函数 u（x，y）=（x+y）+（xy）+ xy x+y （t）dt，其中函数 具有二阶导数， 具有一阶导数，则必有（ ） （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：先分别
12、求出 再进一步比较结果。 可见有8.累次积分 0 1 dx x 1 f（x，y）dy+ 1 2 dy 0 2y f（x，y）dx 可写成（ ）（分数：2.00）A. 0 2 dx x 2 f（x，y）dyB. 0 1 dx x 2y f（x，y）dyC. 0 1 dx x 2x f（x，y）dy D. 0 1 dx y 2y f（x，y）dy解析：解析：原积分域为直线 y=x，x+y=2，与 y 轴围成的三角形区域，故选 C。9.设级数 u n 收敛，则下列选项必为收敛级数的为（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为级数 10.正项级数 （分数：2.00）A.充要条件B.充
13、分条件 C.必要条件D.既非充分条件，又非必要条件解析：解析：由于正项级数 a n 2 收敛。 因此，正项级数 11.已知，y 1 =x，y 2 =x 2 ，y 3 =e x 为方程 y“+p（x）y“+q（x）y=f（x）的三个特解，则该方程的通解为（ ）（分数：2.00）A.y=C 1 x+C 2 x 2 +e xB.y=C 1 x 2 +C 2 e x +xC.y=C 1 （xx 2 ）+C 2 （xe x ）+x D.y=C 1 （xx 2 ）+C 2 （x 2 e x ）解析：解析：方程 y“+p（x）y“+q（x）y=f（x）是一个二阶线性非齐次方程，则（xx 2 ）和（xe x
14、）为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为 y=C 1 （x 一 x 2 ）+C 2 （x 一 e x ）+x，故选 C。二、填空题(总题数：9，分数：18.00)12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：13.已知 y= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x（1+x 2 ） ）解析：解析：14.函数 y=ln（12x）在 x=0 处的 n 阶导数 y （n） （0）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2 n （n1）!）解析：解析：将 ln（l+t）按照泰勒展开式展开成级数的形式 令 t=2x
15、 代入第 n 项可得 15.设某商品的收益函数为 R（p），收益弹性为 1+p 3 ，其中 p 为价格，且 R（1）=1，则 R（p）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由弹性的定义得16.f（x）= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设 x2=t，dx=dt，当 x=1 时，t=1；当 x=4 时，t=2。于是17.设 f（x，y，z）=e x +y 2 z，其中 z=z（x，y）是由方程 x+y+z+xyz=0 所确定的隐函数，则 f z “ （0，1，1）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
16、：正确答案：1）解析：解析：已知 f（x，y，z）=e x +y 2 2，那么有 f x “ （x，y，z）=e x +y 2 z x “ 。在等式x+y+z+xyz=0 两端对 x 求偏导可得 1+z x “ +yz+xyz x “ =0。 由 x=0，y=1，z=1，可得 z x “ =0。 故 f x “ （0，1，1）=e 0 =1。18.设函数 f（u，）具有二阶连续偏导数 z=f（x，xy），则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf 12 “ +f 2 “ +xyf 22 “）解析：解析：由题干可知， 19.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案
17、：正确答案：*）解析：解析：由麦克劳林公式易知20.微分方程 y“+y=e x cosx 满足条件 y（0）=0 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y=e x sinx）解析：解析：原方程的通解为 y=e 1dx （e x cosxe 1dx dx+C） =e x （cosxdx+C）=e x （sinx+C）。 由 y（0）=0 得 C=0，故所求解为 y=e x sinx。三、解答题(总题数：10，分数：20.00)21.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：2
18、3.证明当 x0 时，（x 2 1）Inx（x1） 2 。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 f（x）=（x 2 1）lnx（x1） 2 ，易知 f（1）=0。又 )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.设 f（x），g（x）在a，b上连续，且满足 a x f（t）dt a x g（t）dt，xa，b），f（t）dt= a b g（t）dt。证明 a b xf（x）dx a x xg（x）dx。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 F（x）=f（x）g（x），G（x）=F（t）dt，由题设 G（x）0，xa，b），且 G（A）=G（b）=0，
19、G“（x）=F（x）。 从而 a b xF（x）dx= a b xdG（x）=xG（x）| a b 一 a b G（x）dx=一 a b bG（x）dx，由于 G（x）0，xa，b），故有一 a b G（x）dx0，即 a b xF（x）dx0。 因此 a b xf（x）dx a b xg（x）dx。)解析：26.证明可微的必要条件：设 z=f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处可微，则 f x “ （x 0 ，y 0 ）与 f（x 0 ，y 0 ）都存在，且 dz| x0，y0 =f x “ （x 0 ，y 0 ）x+f x “ （x 0 ，y 0 ）y。（分数：2.00）_正确答案：(正
20、确答案：设 z=f（x，y）在点（x 0 ，y 0 ）处可微，则等式成立。令y=0，于是 令 Ax0，有 )解析：27.求 f（x，y）=xe 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求函数 f（x，y）=xe )解析：28.求二重积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域 D 如图 1418，D 的极坐标表示是： 0，0r2（1+cos），因此 )解析：29.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 a n = 所以当 x 2 1 时，原级数绝对收敛，当 x 2 1 时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为 1，收敛区间为（1，1）。 )解析：30.已知函数
21、 f（x）满足方程 f“（x）+f“（x）2f（x）=0 及 f“（x）+f（x）=2e x 。 （）求 f（x）的表达式； （）求曲线 y=f（x 2 ） 0 x f（一 t 2 ）dt 的拐点。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：（）齐次微分方程 f“（x）+f“（x）2f（x）=0 的特征方程为 r 2 +r2=0，特征根为 r 1 =1，r 2 =2，因此该齐次微分方程的通解为 f（x）=C 1 e x +C 2 e 2x 。 再由 f“（x）+f（x）=2e x 得 2C 1 e x 3C 2 e 2x =2e x ，因此可知 C 1 =1，C 2 =0。 所以 f（x）的表达式为f（x）=e x 。 （）曲线方程为 ，则 令 y“=0 得 x=0 下面证明 x=0 是 y“=0 唯一的解，当 x0 时， 可得 y“0； 当 x0 时， 2x0，2（1 +2x 2 ） )解析：
