1、考研数学三（微积分）-试卷 1 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f（x）= （分数：2.00）A.0B.1C.D.3.设 f（x）在 R 上连续，且 f（x）0，（x）在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是（ ） f（x）必有间断点。 （x） 2 必有间断点。 f（x）没有间断点。（分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.设 F（x）=g（x）（x），x=a 是 （x）的跳跃间断点，g“（a）存在，则 g（a）=0，g“（
2、a）=0 是F（x）在 x=a 处可导的（ ）（分数：2.00）A.充分必要条件B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件5.设 f（x）在（0，+）内二阶可导，满足 f（0）=0，f“（x）0（x0），又设 ba0，则axb 时，恒有（ ）（分数：2.00）A.af（x）xf（A）B.bf（x）xf（b）C.xf（x）bf（b）D.xf（x）af（A）6.设 f（x）具有二阶连续导数，且 f“（1）=0， （分数：2.00）A.f（1）是 f（x）的极大值B.f（1）是 f（x）的极小值C.（1，f（1）是曲线 f（x）的拐点坐标D.f（1）不是 f（x）的极值，（1，f（l）
3、也不是曲线 f（x）的拐点坐标7.设 f（x）= （分数：2.00）A.f（x）在1，1上存在原函数B.令 F（x）= 1 x f（t）dt，则 f“（0）存在C.g（x）在1，1上存在原函数D.g“（0）存在8.由曲线 y= （0x）与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为（ ）（分数：2.00）A.B.C.D.9.设 z= f（xy），其中函数 f 可微，则 （分数：2.00）A.2yf“（xy）B.2yf“（xy）C.D.10.设函数 f（x，y）连续，则 1 2 dx x 2 f（x，y）dy+ 1 2 dx y 4y f（x，y）dy=（ ）（分数：2.00）A.
4、 1 2 dx 1 4x f（x，y）dyB. 1 2 dx x 4x f（x，y）dyC. 1 2 dx 1 4x f（x，y）dyD. 1 2 dx y 2 f（x，y）dy11.如果级数 都发散，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.12.设 u n =（1） n 则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D.13.若 y=xe x +x 是微分方程 y“2y“+ay=bx+c 的解，则（ ）（分数：2.00）A.a=1，b=1，c=1B.a=1，b=1，c=2C.a=3，b=3，c=0D.a=3，b=1，c=1二、填空题(总题数：8，分数：16.00)14.x表示不超过 x 的最大
5、整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f（x）=x（x+l）（x+2）（x+n），则 f“（0）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_16.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_17.f（x）=max|1,x 2 |，则 1 x f（t）dt= 1。（分数：2.00）填空项 1:_18. （分数：2.00）填空项 1:_19.设 D=（x，y）x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.级数 （分数：2.00）填空项 1:_21.微分方程 ydx+（x 一 3y 2 ）dy=0 满足条件 y | x=1 =1 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_三
6、、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_23.设 f（x）= （分数：2.00）_24.设 g（x）= （分数：2.00）_25.证明 （分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27.设 f（x），g（x）在0，1上的导数连续，且 f（0）=0，f（x）0，g“（x）0。证明对任何a0，1，有 g（x）f“（x）dx+f（x）g“（x）dxf（a）g（1）。（分数：2.00）_28.设 u=f（x，y，z），（x 2 ，e y ，z）=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且 （分数：2.00）_29
7、.设 z=z（x，y）是由 x 2 6xy+10y 2 2yzz 2 +18=0 确定的函数，求 z=z（x，y）的极值点和极值。（分数：2.00）_30.计算 （分数：2.00）_31.求幂级数 （分数：2.00）_32.设 f（t）连续并满足 f（t）=cos2t+f（s）sinsds，求 f（t）。（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 1 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：13，分数：26.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f（x）= （分数：2.00）A.0B.1 C.D.
8、解析：解析：由题设3.设 f（x）在 R 上连续，且 f（x）0，（x）在 R 上有定义，且有间断点，则下列陈述中正确的个数是（ ） f（x）必有间断点。 （x） 2 必有间断点。 f（x）没有间断点。（分数：2.00）A.0 B.1C.2D.3解析：解析：错误。举例：设 （x）= f（x）=e x ，则 f（x）=1 在 R 上处处连续。 错误。举例：设 （x）= 则（x） 2 =9 在 R 上处处连续。 错误。举例：设 （x）= 4.设 F（x）=g（x）（x），x=a 是 （x）的跳跃间断点，g“（a）存在，则 g（a）=0，g“（a）=0 是F（x）在 x=a 处可导的（ ）（分数：2
9、.00）A.充分必要条件 B.充分非必要条件C.必要非充分条件D.非充分非必要条件解析：解析：因 （x）在 x=a 处不可导，所以不能对 F（x）用乘积的求导法则，须用定义求 F“（a）。题设 下面证明若 F“（A）存在，则 g（A）=0。 反证法，若 g（A）0，（x）=5.设 f（x）在（0，+）内二阶可导，满足 f（0）=0，f“（x）0（x0），又设 ba0，则axb 时，恒有（ ）（分数：2.00）A.af（x）xf（A）B.bf（x）xf（b） C.xf（x）bf（b）D.xf（x）af（A）解析：解析：将 A，B 选项分别改写成 或 xf（x）的单调性即可。 又因 令 g（x）=
10、xf“（x）一f（x），则 g（0）=0， g“（x）=xf“（x）0（x0）， 那么 g（x）g（0）=0（x0）， 故在（0，+）内单调减小。所以当 axb 时，6.设 f（x）具有二阶连续导数，且 f“（1）=0， （分数：2.00）A.f（1）是 f（x）的极大值B.f（1）是 f（x）的极小值 C.（1，f（1）是曲线 f（x）的拐点坐标D.f（1）不是 f（x）的极值，（1，f（l）也不是曲线 f（x）的拐点坐标解析：解析：选取特殊 f（x）满足:f“（x）= （x1） 2 ，如取 f（x）= 7.设 f（x）= （分数：2.00）A.f（x）在1，1上存在原函数B.令 F（x）=
11、 1 x f（t）dt，则 f“（0）存在C.g（x）在1，1上存在原函数 D.g“（0）存在解析：解析：由 =0=g（0）可知，g（x）在 x=0 处连续，所以 g（x）在1，1上存在原函数。故选 C。 以下说明 A、B、D 均不正确。 =0 可知，x=0 是 f（x）的跳跃间断点，所以在包含 x=0 的区间上 f（x）不存在原函数。8.由曲线 y= （0x）与 x 轴围成的平面图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体体积为（ ）（分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：由曲线 y=f（x）绕 x 轴旋转一周所得旋转体的体积计算公式，得 V x = 0 2 （x）dx= = 0 sin 3
12、xdx=（1cos 2 x）dcosx 9.设 z= f（xy），其中函数 f 可微，则 （分数：2.00）A.2yf“（xy） B.2yf“（xy）C.D.解析：解析：先根据函数求出必要偏导数的表达形式，将结果代入10.设函数 f（x，y）连续，则 1 2 dx x 2 f（x，y）dy+ 1 2 dx y 4y f（x，y）dy=（ ）（分数：2.00）A. 1 2 dx 1 4x f（x，y）dyB. 1 2 dx x 4x f（x，y）dyC. 1 2 dx 1 4x f（x，y）dy D. 1 2 dx y 2 f（x，y）dy解析：解析： 1 2 dx x 2 f（x，y）dy+
13、1 2 dy y 4y f（x，y）dx 的积分区域为两部分（如图144）： 11.如果级数 都发散，则（ ） （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：由于 12.设 u n =（1） n 则（ ） （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析： u n 收敛。 13.若 y=xe x +x 是微分方程 y“2y“+ay=bx+c 的解，则（ ）（分数：2.00）A.a=1，b=1，c=1B.a=1，b=1，c=2 C.a=3，b=3，c=0D.a=3，b=1，c=1解析：解析：由于 y=xe x +x 是方程 y“2y“+ay=bx+c 的解，则 xe x 是对应的齐次方程的解，其
14、特征方程有二重根 r 1 =r 2 =1，则 a=1。x 为非齐次方程的解，将 y=x 代入方程）y“2y“+y=bx+c，得b=1，c=2，故选 B。二、填空题(总题数：8，分数：16.00)14.x表示不超过 x 的最大整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：15.设 f（x）=x（x+l）（x+2）（x+n），则 f“（0）= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：n!）解析：解析：由于 f“（x）=（x+1）（x+2）（x+n）+x（x+2）（x+n）+（x+1）（x+2）（x+n1），所以 f“（0）=n!。16.曲线
15、（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：在点 处的切线的斜率为 在曲线方程两端分别对 x 求导，得 因此所求的切线方程为17.f（x）=max|1,x 2 |，则 1 x f（t）dt= 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：由题意可知 f（x）= 当 x1 时， 1 x f（t）dt= 1 1 f（t）dt+ 1 x f（t）dt 18. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由题意可知：19.设 D=（x，y）x 2 +y 2 1，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答
16、案：*）解析：解析：利用函数奇偶性及轮换对称性20.级数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：21.微分方程 ydx+（x 一 3y 2 ）dy=0 满足条件 y | x=1 =1 的特解为 1。（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x=y 2）解析：解析：对原微分方程变形可得 此方程为一阶线性微分方程，所以 三、解答题(总题数：11，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：23.设 f（x）= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当|x|1 时， )解析：24.设 g（x）=
17、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：25.证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.设 f（x），g（x）在0，1上的导数连续，且 f（0）=0，f（x）0，g“（x）0。证明对任何a0，1，有 g（x）f“（x）dx+f（x）g“（x）dxf（a）g（1）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 0 a g（x）f“（x）dx=g（x）f（x）| 0 a 一 0 a f（x）g“（x）dx =f（0）g（a）一 0 a f（x）g“（x）dx， 0 a g（x）f“（x）dx+ 0 1 f（
18、x）g“（x）dx =f（A）g（a）一 0 a f（x）g“（x）dx+ 0 1 f（x）g“（x）dx =f（A）g（A）+ 0 1 f（x）g“（x）dx， 由于x0，1时，g“（x）0，因此 f（x）g“（x）f（A）g“（x），xa，1， a 1 f（x）g“（x）dx a 1 f（a）g“（x）dx=f（a）g（1）g（a）， 从而 g（x）f“（x）dx+ 0 1 f（x）g“（x）dxf（a）g（A）+f（a）g（1）g（A）=f（a）g（1）。)解析：28.设 u=f（x，y，z），（x 2 ，e y ，z）=0，y=sinx，其中 f， 都具有一阶连续偏导数，且 （分数：2
19、.00）_正确答案：(正确答案：在等式 u=f（x，y，z）的两端同时对 x 求导数，得到如下等式 因此，可得)解析：29.设 z=z（x，y）是由 x 2 6xy+10y 2 2yzz 2 +18=0 确定的函数，求 z=z（x，y）的极值点和极值。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：在方程 x 2 6xy+10y 2 2yzz 2 +18=0 的两端分别对 x，y 求偏导数，因此有 将上式代入 x 2 6xy+10y 2 2yzz 2 +18=0，解得 再次对（1）（2）两式求偏导数，则有 又 A= )解析：30.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：积分区域如图 1419 所示，在极坐标中 )解析：31.求幂级数 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.设 f（t）连续并满足 f（t）=cos2t+f（s）sinsds，求 f（t）。（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f（t）连续，因此 f（s）sinsds 可导，从而 f（t）可导，于是 )解析：
