1、考研数学三（微积分）-试卷 29 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=a 处可导，且 f(a)0，则|f(x)|在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续3.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 （分数：2.00）A.1B.C.D.4.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.一 f“(a)B.f“(a)C.2f“(a)D.5.设 f(x)在
2、 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点6.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点D.x=0 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点7.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.
3、一定不可导C.不一定连续D.连续8.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导二、填空题(总题数：17，分数：34.00)9.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_10.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与一 2y=一 1+xy 3 在点(一 1，1)处相切，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设函数 y
4、= 满足 f“(x)= （分数：2.00）填空项 1:_12.设 f(x)二阶连续可导，且 =0，f“(0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f“(1)=一 2，则 （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)1，f“(0)=2 且 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(一 1，1)内 f“(x)=|x|，则 （分数：2.00）填空项 1:_16.若 f(x)=2nx(1 一 x) n ，记 M n =
5、 （分数：2.00）填空项 1:_17.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f“(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_18.设 y=y(x)由 ye xy +xcosx 一 1=0 确定，求 dy| x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_19.设 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 （分数：2.00）填空项 1:_20.设函数 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_21.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_22.设 F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f“(t)dt，其中 f“(x)
6、在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2 ，则f“(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_23.设 f(x)在(一，+)上可导， （分数：2.00）填空项 1:_24.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f“ x (1，2)=3，f“ y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 “(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_25.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：8，分数：16.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_27.已知 （分数：2.00）_28.设 （分数：2.00）_29.确定 a，b，使得
7、x 一(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_30.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_31.求 （分数：2.00）_32.f(x)= （分数：2.00）_33.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间？（分数：2.00）_考研数学三（微积分）-试卷 29 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x
8、=a 处可导，且 f(a)0，则|f(x)|在 x=a 处( )（分数：2.00）A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析：解析：不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 x=a 处可导，所以 f(x)在 x=a 处连续，于是存在 0，当|xa| 时，有 f(x)0，于是3.设 为 f(x)=arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 （分数：2.00）A.1B.C. D.解析：解析：4.设 f(x)在 x=a 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.一 f“(a)B.f“(a)C.2f“(a)D. 解析：解析：5.设 f(x)在 x=0 处二阶可导，f(0)=0 且 （分数：2.
9、00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：6.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 （分数：2.00）A.x=0 为 f(x)的极大点B.x=0 为 f(x)的极小点C.(0，f(0)为 y=f(x)的拐点 D.x=0 既不是 f(x)极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点解析：解析：由 0 x g(xt)dt= 0 x g(t)dt 得 f“(x)=一 2x 2 + 0 x g(t)dt，f“(x)=一 4x+g(x)
10、， 因为 所以存在 0，当 0|x| 时， 7.设 f(x)在 x=a 处的左右导数都存在，则 f(x)在 x=a 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续 解析：解析：因为 f(x)在 x=a 处右可导，所以 存在，于是8.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(x)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导 解析：解析：令二、填空题(总题数：17，分数：34
11、.00)9.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x(l+4x)e 8x ）解析：解析：由 10.设两曲线 y=x 2 +ax+b 与一 2y=一 1+xy 3 在点(一 1，1)处相切，则 a= 1，b= 2（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2）填空项 1:_ （正确答案：3）解析：解析：因为两曲线过点(一 1，1)，所以 b 一 a=0，又由 y=x 2 +ax+b 得 =a 一 2，再由一 2y=一 1+xy 3 得 11.设函数 y= 满足 f“(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析
12、：12.设 f(x)二阶连续可导，且 =0，f“(0)=4，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 2 ）解析：解析：13.设 f(x)在 x=1 处一阶连续可导，且 f“(1)=一 2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：14.设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)1，f“(0)=2 且 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 f(x)为偶函数，所以 f“(x)为奇函数，于是 f“(0)=0，又因为 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，所以 f(x)
13、=f(0)+f“(0)x+ +0(x 2 )=1+x 2 +o(x 2 )，于是 15.设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(一 1，1)内 f“(x)=|x|，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为在(一 1，1)内 f“(x)=|x|， 所以在(1，1)内 f(x)= 由 f(0)=0 得 f(x)= 故16.若 f(x)=2nx(1 一 x) n ，记 M n = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：由 f“(x)=2n(1 一 x) n 一 2n 2 x(1 一 x) n 一 1 =0
14、 得 时，f“(x)0；当 x 时，f“(x)0，则 为最大点， 17.设 f(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f“(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：18.设 y=y(x)由 ye xy +xcosx 一 1=0 确定，求 dy| x=0 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2dx）解析：解析：当 x=0 时，y=1，将 ye xy +xcosx 一 1=0 两边对 x 求导得 将 x=0，y=1 代入上式得 19.设 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 （分数：2
15、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 0 y e t dt+ 0 x costdt=xy 两边对 x 求导得 20.设函数 y=y(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x=1n2 时，t=1；当 t=+1 时，y=021.设 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）填空项 1:_ （正确答案：一 1）解析：解析：因为 f(x)在 x=1 处可微，所以 f(x)在 x=1 处连续， 于是 f(10)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=122.设 F(x)= 0 x (x 2 一
16、t 2 )f“(t)dt，其中 f“(x)在 x=0 处连续，且当 x0 时，F(x)x 2 ，则f“(0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：F(x)=x 2 0 x f“(t)dt 一 0 x t 2 f“(t)dt，F“(x)=2x 0 x f 一(t)dt， 23.设 f(x)在(一，+)上可导， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：24.设 f(x，y)可微，f(1，2)=2，f“ x (1，2)=3，f“ y (1，2)=4，(x)=fx，f(x，2x)，则 “(1)= 1（分数：2.00）填空项 1:_
17、 （正确答案：正确答案：47）解析：解析：因为 “(x)=f x “ x，f(x，2x)+f y “ x，f(x，2x)f x “ (x，2x)+2f y “ (x，2x)，所以 “(1)=f x “ 1，f(1，2)+f y “ 1，f(1，2)f x “ (1，2)+2f y “ (1，2)=3+4(3+8)=4725.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2x 一 4）解析：解析：三、解答题(总题数：8，分数：16.00)26.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：27.已知 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：2
18、8.设 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.确定 a，b，使得 x 一(a+bcosx)sinx 当 x0 时为阶数尽可能高的无穷小（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 y=x 一(a+bcosx)sinx， y“=1+bsin 2 x 一(a+bcosx)cosx， y“=bsin2x+ sin2x+(a+bcosx)sinx=asinx+2bsin2x， y“=acosx+4bcos2x， 所以令 y“(0)=f“(0)=0 得 故当 )解析：30.设 f(x)连续可导， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.求 （分数：2.00）_正确答
19、案：(正确答案： )解析：32.f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x=k(k=0，一 1，一 2，)及 x=1 为 f(x)的间断点 因为 f(0 一 0)f(0+0)，所以 x=0 为跳跃间断点； 得 x=一 2 为可去间断点； 当 x=k(k=一 1，一 3，一 4，)时， 由=得 x=k(k=一 1，一 3，一 4，)为第二类间断点； 由 )解析：33.一条均匀链条挂在一个无摩擦的钉子上，链条长 18m，运动开始时链条一边下垂 8m，另一边下垂10m，问整个链条滑过钉子需要多长时间？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设链条的线密度为 ，取 x 轴正向为垂直向下，设 t 时刻链条下垂 x(t)m，则下垂那段的长度为(10+x)m，另一段长度为(8 一 x)m，此时链条受到的重力为 (10+x)g 一(8 一 x)g=2(x+1)g链条的总重量为 18，由牛顿第二定理 F=ma 得 )解析：
