1、考研数学三（微积分）模拟试卷 37 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f(x)为单调可微函数，g(x) 与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= ，f(4)=6，则 g(4)等于( )（A）（B）（C）（D）42 设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f+(a)与 f-(a)都存在，则 ( )（A）f(x)在 x=a 处不连续（B） f(x)在 x=a 处连续（C） x(x)在 x=a 处可导（D）f(x)在 x=a 处连续可导3 下列命题成立的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在xx 0
2、内连续（B）若 f(x)在 x0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导（C）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 不存在，则 f(x)在x0 处不可导4 f(x)= 则 f(x)在 x=0 处( )（A）不连续（B）连续不可导（C）可导但 f(x)在 x=0 处不连续（D）可导且 f(x)在 x=0 处连续5 函数 f(x)在 x=1 处可导的充分必要条件是( )6 设 f(x)可导，则下列正确的是( )7 下列说法正确的是( ) 8 下列说法中正确的是( )（A）若 f(x0)0，则 f(x
3、)在 x0 的邻域内单调减少（B）若 f(x)在 x0 取极大值，则当 x(x0 一 ，x 0)时，f(x)单调增加，当x(x0，x 0+)时，f(x)单调减少（C） f(x)在 x0 取极值，则 f(x)在 x0 连续（D）f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x=0 处一定取到极值二、填空题9 设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f“(0)=2 且 f“(x)在 x=0 的邻域内连续，则=_10 设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在，(一 1，1) 内 f(x)=x，则 f( )=_11 若 f(x)=2nx(1 一 x)n，记 =_12 设 f
4、(x)在 x=a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则=_13 设 y=y(x)由 yexy+xcosx 一 1=0 确定，求 dy x=0 =_14 设 0yetdt+0xcostdt=xy 确定函数 y=y(x)，则 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 f(x)在 一 a，a(a0)上有四阶连续的导数， 存在(1)写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；(2)证明：存在 1， 2一 a，a，使得16 设 f(x)在 x0 的邻域内四阶可导，且f (4)(x)M(M0) 证明：对此邻域内任一异于 x0 的点 x，有 其中 x为 x 关于 x0 的对称点17 设
5、 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f(a)f 一(b)0，且 g(x)0(xa，b) ，g“(x)0(axb)，证明：存在 (a，b)，使得18 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f+(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f“()019 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f“(x)0证明：对任意的 a0，b0，有f(a+6)f(a)+f(b)20 设 f(x)在a，b上连续，且 f“(a)0，对任意的 x1，x 2a，b及 01，证明：fx1+(1 一 )x2f(x1)+(1 一 )f
6、(x2)21 设 f(x)二阶可导， =1 且 f“(x)0证明：当 x0 时，f(x)x22 设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x 0)证明：f(x)e x(x0)23 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f“(x)0，取 xia，b(i=1，2，2)及ki0(i=1，2，n)且满足 k1+k2+kn=1证明： f(k 1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)24 证明：当 x0 时，(x 2 一 1)lnx(x 一 1)225 当 x0 时，证明：26 设 0a b，证明：27 求由方程 x2+y3 一 xy=0 确定的函数在
7、 x0 内的极值，并指出是极大值还是极小值28 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f(0)=f(1)=f(1)=0证明：方程 f“(x)一 f(x)=0 在(0，1) 内有根29 设 f(x)=3x2+Ax-3(x0)，A 为正常数，问 A 至少为多少时， f(x)20?30 设 f(x)在0，+)内二阶可导，f(0)=一 2，f(0)=1，f“(x)0证明：f(x)=0 在(0，+) 内有且仅有一个根31 设 f(x)=x1+x2+xn(x2) (1)证明方程 f(x)=1 有唯一的正根 x； (2)求 32 设 a0，讨论方程 aex=x2 根的个数考研数学三（微积分）模拟试卷
8、 37 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 因为 g(4)= ，所以选 B【知识模块】 微积分2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f+(a)存在，所以 ，即 f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f-(a)存在可得 f(x)在 x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a处连续，选 B【知识模块】 微积分3 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)=不存在，所以 f(x)在 x 处不连续，A 不对； 同理 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x00，因为f(x)在 x0 处不连续，所以 f(x)在 x0 处也不可导，B
9、不对；【知识模块】 微积分4 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分5 【正确答案】 D【试题解析】 存在，所以 f(x)在 x=1 处可导所以选 D【知识模块】 微积分6 【正确答案】 C【试题解析】 【知识模块】 微积分7 【正确答案】 D【试题解析】 【知识模块】 微积分8 【正确答案】 D【试题解析】 由 f“(0)存在，得 f(0)存在，又 f(x)为偶函数，所以 f(0)=0，所以 x=0 一定为 f(x)的极值点，选 D【知识模块】 微积分二、填空题9 【正确答案】 1【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(0)=0，又因为 f“(x)
10、在 x=0 的邻域内连续，所以 f(x)=f(0)+f(0)x+ +o(x2)=1+x2+o(x2)，于是【知识模块】 微积分10 【正确答案】 【试题解析】 因为在(一 1，1)内 f(x)=x， 【知识模块】 微积分11 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分12 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 微积分13 【正确答案】 -2dx【试题解析】 当 x=0 时，y=1，将 yexy+xcosx 一 1=0 两边对 x 求导得【知识模块】 微积分14 【正确答案】 【试题解析】 0yetdt+0xcostdt=xy 两边对 x 求导得【知识模块】 微积分三、解答题解答应写出
11、文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)由 存在，得 f(0)=0，f(0)=0，f“(0)=0 ，则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 f(x)= ，其中 介于 0 与 x 之间(2)上式两边积分得 因为 f(1)(x)在 一 a，a上为连续函数，所以 f(4)(x)在一 a，a上取到最大值 M 和最小值 m，于是有 mx4f(4)()x4Mx4， a5f(4)()=60-aaf(x)dx再由积分中值定理，存在 2-a，a ，使得 a5f(4)()=60-aaf(x)dx=120af(2)，即 a4f(4)(1)=120f(2)【知识模块】 微积分16 【正确答案】
12、【知识模块】 微积分17 【正确答案】 设 f+(a)0，f -(b)0， 由 f+(a)0，存在 x1(a，b)，使得 f(x1)f(a)=0；由 f-(b)0，存在 x2(a，b) ，使得 f(x2)f(b)=0，因为 f(x1)f(x2)0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0【知识模块】 微积分18 【正确答案】 【知识模块】 微积分19 【正确答案】 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1(0，a) ， 2(b，a+b)，使得 两式相减得 f(a+b)一 f(a)一 f(b)=f(2)一 f(1)a 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调增加，而 ，所以 f()f(
13、)， 故 f(a+b)一 f(a)一 f(b)=f(2)一 f(1)a0，即 f(a+b)f(a)+f(b) 【知识模块】 微积分20 【正确答案】 令 x0=x1+(1 一 x)x2，则 x0a， b，由泰勒公式得 f(x)=f(x 0)+f(x0)(xx0)+ (xx0)2，其中 介于 x0 与之间， 因为 f“(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x1)(xx1)，于是两式相加，得fx1+(1 一 )x2)f(x1)+(12)f(x2)【知识模块】 微积分21 【正确答案】 由 =1，得 f(0)=0，f(0)=1 ，又由 f“(x)0 且 x0，所以f(x)f(0)+f(0)x=x【
14、知识模块】 微积分22 【正确答案】 令 (x)=e-xf(x)，则 (x)在0，+)内可导， 又 (0)=1，(x)=e -xf(x)-f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1，所以有 f(x)e x(x0)【知识模块】 微积分23 【正确答案】 令 x0=k1x1+k2x2+knxn，显然 x0a，b 因为 f“(x)0，所以f(z)f(x0)+f(x0)(xx0)， 分别取 x=xi(i=1，2，n)，得将上述各式分别相加，得 f(x0)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)，即 f(k 1x1+k2x2+knxn)k1f(x1)+k2f(x2)+knf(xn)【知
15、识模块】 微积分24 【正确答案】 令 (x)=(x2 一 1)lnx 一(x 一 1)2，(1)=0故 x=1 为 (x)的极小值点，也为最小值点，而最小值为 (1)=0，所以 x0 时，(x)0，即(x 2 一 1)Inx(x 一 1)2【知识模块】 微积分25 【正确答案】 【知识模块】 微积分26 【正确答案】 【知识模块】 微积分27 【正确答案】 【知识模块】 微积分28 【正确答案】 令 (x)=e-xf(x)+f(x) 因为 (0)=(1)=0，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)使得 (c)=0， 而 (x)=e-xf“(x)一 f(x)且 e-x0，所以方程 f“(c)一 f
16、(c)=0在(0， 1)内有根【知识模块】 微积分29 【正确答案】 f(x)20 等价于 A20x3 一 3x5， 令 (x)=20x3 一 3x5，由 (x)一60x2 一 15x4=0，得 x=2， “(x)=120x 一 60x3，因为 “(2)=一 2400，所以 x=2 为(x)的最大值点，最大值为 (2)=64，故 A 至少取 64 时，有 f(x)20【知识模块】 微积分30 【正确答案】 因为 f“(x)0，所以 f(x)单调不减，当 x0 时，f(x)f(0)=1 当x0 时，f(x)一 f(0)=f()x，从而 f(x)f(0)+x，因为由 f(x)在0，+)上连续，且
17、f(0)=一 2 0， =+，则 f(x)=0 在(0，+) 内至少有一个根，又由 f(x)10，得方程的根是唯一的【知识模块】 微积分31 【正确答案】 (1)令 (x)=fn(x)一 1，因为 n(0)=一 10，(1)=n 一 10，所以n(x)在(01) (0，+)内有一个零点，即方程 fn(x)=1 在(0，+)内有一个根因为 n(x)=1+2x+nxn-10，所以 n(x)在(0，+)内单调增加，所以 n(x)在(0，+) 内的零点唯一，所以方程 fn(x)=1 在(0 ，+)内有唯一正根，记为 xn(2)由fn(xn)一 fn+1(xn+1)=0，得(x n 一 xn+1)+(xnn 一 xn+1n)+(xnn 一 xn+1n)=xn+1n+10，从而xnx n+1，所以x nn=1 单调减少，又 xn0(n=1 ，2 ，) ，故，显然 Axnx1=1，由 xn+xnn+xnn=1，得【知识模块】 微积分32 【正确答案】 ae x=xn 等价于 xne-x 一 a=0 令 f(x)=xne-x 一 a，由 f(x)一(2x xn)e-x=0 得 x=0， x=2 当 x0 时，f(x)0；当 0x 2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0， 于是 x=0 为极小点，极小值为 f(0)=一 a0；x=2 为极大点，极大值为【知识模块】 微积分
