1、考研数学三（微积分）模拟试卷 127 及答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有二阶连续导数，且 f(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点3.设 f(x)，g(x)，“(x)的图形分别为 （分数：2.00）A.y=f(x)B.y=f(x)，y=
2、g(x)C.y=f(x)，y=(x)D.y=f(x)，y=g(x)，y=(x)4.曲线 y= （分数：2.00）A.1B.2C.3D.45.设 f(x)在 x=x 0 可导，且 f(x 0 )=0，则 f(x 0 )=0 是f(x)在 x 0 可导的( )条件（分数：2.00）A.充分非必要B.充分必要C.必要非充分D.既非充分也非必要6.设 F(x)=g(x)(x)，(x)在 x=a 连续但不可导，又 g(a)存在，则 g(a)=0 是 F(x)在 x=a 可导的( )条件（分数：2.00）A.充分必要B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分也非必要7.函数 f(x)=(x 2 一 x 一
3、2)x 3 一 x的不可导点有（分数：2.00）A.3 个B.2 个C.1 个D.0 个8.设 f(x+1)=af(x)总成立，f(0)=b，其中 a1，b1 为非零常数，则 f(x)在点 x=1 处（分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(1)=aC.可导且 f(1)=bD.可导且 f(1)=ab二、解答题(总题数：20，分数：40.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_10.设 f(x)在(a，b)内可导，证明：对于 （分数：2.00）_11.求 y(x)= （分数：2.00）_12.()求曲线 y=xe x 在点(1， （分数：2.00）_13.设
4、总成本关于产量 x 的函数为 C(x)=400+3x+ x 2 ，需求量 x 关于价格 P 的函数为 P= （分数：2.00）_14.设某产品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的，收益函数 R=PQ，当价格为 P 0 ，对应的需求量为 Q 0 时，边际收益 R(Q 0 )=2，而 R(P 0 )=一 150，需求对价格的弹性 E P 满足E P = （分数：2.00）_15.设某商品需求量 Q 是价格 p 的单调减函数 Q=Q(p)，其需求弹性 = 0()设 R 为总收益函数，证明 （分数：2.00）_16.在椭圆 （分数：2.00）_17.求 f(x)= （分数：2.00）_18.求 （分数
5、：2.00）_19.求 （分数：2.00）_20.求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式（分数：2.00）_21.求极限 I= （分数：2.00）_22.确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x 一(a+b （分数：2.00）_23.设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_24.设 0x （分数：2.00）_25.设 f(x)在0，1二阶可导，且f(0)a，f(1)a，f“(x)b，其中 a，b 为非负常数，求证：对任何 c(0，1)，有 f(c)2a+ （分数：2.00）_26.设函数 f(x)在0，1上具有二阶导数，且 f(0)=f(1)=0
6、，f( )=一 1证明： （分数：2.00）_27.设 f(0)=1，且 f(0)=0，求极限 （分数：2.00）_28.已知函数 f(x)在(0，+)内可导且 f(x)0， f(x)=1，又满足 （分数：2.00）_考研数学三（微积分）模拟试卷 127 答案解析(总分：56.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 x=0 的某邻域内有二阶连续导数，且 f(0)=0， （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(
7、0，f(0)是曲线 y=f(x)的拐点D.x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 y=f(x)的拐点解析：解析：由于 又 f(x)在 x=0 的某邻域内有二阶连续导数，所以 f“(0)=0，但不能确定点(0，f(0)为曲线 y=f(x)的拐点由 =10，根据极限的保号性可知，在 x=0 的某邻域内必有3.设 f(x)，g(x)，“(x)的图形分别为 （分数：2.00）A.y=f(x)B.y=f(x)，y=g(x)C.y=f(x)，y=(x)D.y=f(x)，y=g(x)，y=(x) 解析：解析：(1)由 f(x)的图形可知，在(x 0 ， 1 )上为凸弧，( 1 ，x 2 )
8、上为凹弧，(x 2 ，+)为凸弧，故( 1 ，f( 1 )，(x 2 ，f(x 2 )是 y=f(x)的两个拐点又因 f(x)在点 x=x 0 处不连续，所以点(x 0 ，f(x 0 )不是拐点(拐点定义要求函数在该点处连续) (2)由 g(x)的图形可知，在 x= 1 和 x=x 2 处有 g“(x)=0，且在 x= 1 ，x=x 2 的左右两侧一阶导数升降性相反或二阶导数异号，故有两个拐点(x 1 ，g( 1 )与(x 2 ，g(x 2 )由于在 x 0 附近，当 xx 0 和 xx 0 时 g(x)均单调上升或均有 g“(x)0，故点(x 0 ，g(x 0 )不是拐点因此 g(x)只有两
9、个拐点 4.曲线 y= （分数：2.00）A.1B.2C.3D.4 解析：解析：先考察垂直渐近线间断点为 x=0 与 x=1，因 =，所以 x=0，x=分别是该曲线的垂直渐近线 再考察水平渐近线由于 所以沿 x+方向无水平渐近线又 所以沿 x一方向有水平渐近线 y=0 最后考察斜渐近线由于5.设 f(x)在 x=x 0 可导，且 f(x 0 )=0，则 f(x 0 )=0 是f(x)在 x 0 可导的( )条件（分数：2.00）A.充分非必要B.充分必要 C.必要非充分D.既非充分也非必要解析：解析：按定义f(x)在 x 0 可导 存在 因f(x)在 x=x 0 处的右导数与左导数分别是 6.
10、设 F(x)=g(x)(x)，(x)在 x=a 连续但不可导，又 g(a)存在，则 g(a)=0 是 F(x)在 x=a 可导的( )条件（分数：2.00）A.充分必要 B.充分非必要C.必要非充分D.既非充分也非必要解析：解析：因为 (a)不存在，所以不能对 g(x)(x)用乘积的求导法则；当 g(a)0 时，若 F(x)在x=a 可导，可对 用商的求导法则 ()若 g(a)=0按定义考察 即 F(a)=g(a)(a) ()再用反证法证明：若 F(a)存在，则必有 g(a)=0若 g(a)0，则由商的求导法则即知 (x)=7.函数 f(x)=(x 2 一 x 一 2)x 3 一 x的不可导点
11、有（分数：2.00）A.3 个B.2 个 C.1 个D.0 个解析：解析：函数x，x 一 1，x+1分别仅在 x=0，x=1，x=一 1 不可导且它们处处连续因此只需在这些点考察 f(x)是否可导 f(x)=(x 2 一 x 一 2)xx 一 1x+1，只需考察 x=0，1，一1 是否可导 考察 x=0，令 g(x)=(x 2 一 x 一 2)x 2 一 1，则 f(x)=g(x)x，g(0)存在，g(0)0，(x)=x在 x=0 连续但不可导，故 f(x)在 x=0 不可导 考察 x=1，令 g(x)=(x 2 一 x 一 2)x 2 +x，(x)=x1，则 g(1)存在，g(1)0，(x)
12、在 x=1 连续但不可导，故 f(x)=g(x)(x)在x=1 不可导 考察 x=一 1，令 g(x)=(x 2 一 x 一 2)x 2 一 x，(x)=x+1，则 g(一 1)存在，g(一 1)=0，(x)在 x=一 1 连续但不可导，故 f(x)=g(x)(x)在 x=一 1 可导因此选(B)8.设 f(x+1)=af(x)总成立，f(0)=b，其中 a1，b1 为非零常数，则 f(x)在点 x=1 处（分数：2.00）A.不可导B.可导且 f(1)=aC.可导且 f(1)=bD.可导且 f(1)=ab 解析：解析：按定义考察二、解答题(总题数：20，分数：40.00)9.解答题解答应写出
13、文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：10.设 f(x)在(a，b)内可导，证明：对于 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：充分性：设(*)成立， x 1 ，x 2 (a，b)且 x 1 x 2 ，则 f(x 2 )f(x 1 )+f(x 1 )(x 2 一 x 1 )，f(x 1 )f(x 2 )+f(x 2 )(x 1 一 x 2 ) 两式相加可得f(x 1 )一 f(x 2 )(x 2 一 x 1 )0，于是由 x 1 x 2 知 f(x 1 )f(x 2 )，即 f(x)在(a，b)单调减少 必要性：设 f(x)在(a，b)单调减少对于 )解析：11.求 y(x
14、)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()先求驻点与不可导点由 当 xx 1 时 y0，y=y(x)：为增函数；当x 1 x1 时 y0，y=y(x)为减函数；当 x=1 时函数无定义，y=y(x)不可导；当 1xx 2 时y0，y=y(x)为减函数；当 xx 2 时 y0，y=y(x)为增函数于是 x=x 1 为极大值点，x=x 2 为极小值点，x=1 为不可导点 ()再考虑凹凸区间与拐点由 令 y“=0，解得 x 1 = ；在 x=1 处y“不存在 当 x x1 时 y“0，y=y(x)图形为凹；当 x1 时 y“(x)0，y=y(x)图形为凹，于是 y=y(x)图形的拐点为 (
15、)最后考察渐近线由于 因此 x=1 为曲线 y=y(x)的垂直渐近线又 =，因此无水平渐近线由 )解析：12.()求曲线 y=xe x 在点(1， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()因为 y=(1 一 x)e x ，于是 y(1)=0从而曲线 y=xe x 在点(1， )解析：13.设总成本关于产量 x 的函数为 C(x)=400+3x+ x 2 ，需求量 x 关于价格 P 的函数为 P= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由边际成本的定义知，边际成本 MC=C(x)=3+x 又因总收益函数 R=Px= 从而边际利润 ML=MRMC= 一 x 一 3 由于函数 P= ，由此
16、可得收益对价格的弹性 )解析：14.设某产品的需求函数 Q=Q(P)是单调减少的，收益函数 R=PQ，当价格为 P 0 ，对应的需求量为 Q 0 时，边际收益 R(Q 0 )=2，而 R(P 0 )=一 150，需求对价格的弹性 E P 满足E P = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因需求函数 Q=Q(P)单调减少，故需求对价格的弹性 E P 0，且反函数 P=P(Q)存在 由题设知 Q 0 =Q(P 0 )，P 0 =P(Q 0 )，且 把它们代入分析中所得的关系式就有 R(Q 0 )=P 0 (1 一 )解析：解析：为了解决本题，必须建立 R(Q)，R(P)与 E P 之间的关
17、系 因 R=PQ=PQ(P)，于是 R(P)=Q(P)+ =Q(1+E P ) 设 P=P(Q)是需求函数 Q=Q(P)的反函数，则 R=PQ=QP(Q)，于是 15.设某商品需求量 Q 是价格 p 的单调减函数 Q=Q(p)，其需求弹性 = 0()设 R 为总收益函数，证明 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()R(p)=pQ(p)，两边对 p 求导得 )解析：16.在椭圆 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设椭圆内接矩形在第一象限中的顶点为 M(x，y)，则矩形的面积为 S(x)=4xy=(0xa) 下面求 S(x)在0，a上的最大值先求 S(x)： 令 S(x)=0 解得
18、x= =2ab，所以 S(x)在0，a的最大值即内接矩形最大面积为 2ab 设 f(x)在(a，b)内可导，又)解析：17.求 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 f(x)= )解析：18.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19.求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求 arctanx 带皮亚诺余项的 5 阶麦克劳林公式（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.求极限 I= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.确定常数 a 和 b 的值，使 f(x)=x 一(a+b （分数：2.00）_正
19、确答案：(正确答案： 不难看出当 1 一 a 一 b=0 与 一 b=0 同时成立 f(x)才能满足题设条件由此可解得常数 a= )解析：23.设 f(x)在 x=0 处 n(n2)阶可导且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：1) 再用当 x0 时的等价无穷小替换 ln1+f(x)f(x)，可得 =4 2)用 o(1)表示当 x0 时的无穷小量，由当 x0 时的极限与无穷小的关系 =4+o(1)，并利用 x n o(1)=o(x n )可得 f(x)=4x n +o(x n )从而由泰勒公式的唯一性即知 f(0)=0，f(0)=0，f (n1) (0)=0， )解析：24.设 0x （
20、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由带拉格朗日余项的泰勒公式 )解析：25.设 f(x)在0，1二阶可导，且f(0)a，f(1)a，f“(x)b，其中 a，b 为非负常数，求证：对任何 c(0，1)，有 f(c)2a+ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：考察带拉格朗日余项的一阶泰勒公式： (0，1)，有 f(x)=f(c)+f(c)(x一 c)+ f“()(x 一 c) 2 ， (*) 其中 =c+(x 一 c)，0f“( 1 )c 2 ，0 1 c1； 在(*)式中，令 x=1，得 f(1)=f(c)+f(c)(1 一 c)+ f“( 2 )(1 一 c) 2 ，0c 2 1
21、上面两式相减得 f(1)一 f(0)=f，(c)+ f“( 2 )(1 一 c) 2 一 f“( 1 )c 2 从而 f(c)=f(1)一 f(0)+ f“( 1 )c 2 一 f“( 2 )(1 一 c) 2 ，两端取绝对值并放大即得 )解析：解析：证明与函数的导数在某一点取值有关的不等式时，常常需要利用函数在某点的泰勒展开式本题涉及证明f(c)2a+26.设函数 f(x)在0，1上具有二阶导数，且 f(0)=f(1)=0，f( )=一 1证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：将 f(x)在 x 0 = 处展成带拉格朗日余项的一阶泰勒公式，有 在上式中分别令 x=0，x=1，并利
22、用 f(0)=f(1)=0 即得 将式与式相加消去未知的一阶导数值 f( )可得 )解析：解析：为了得到 f“(x)的估值可以利用泰勒公式找出它与 f(0)，f(1)及 min f(x)之间的关系由于题设条件中给出了 f(0)与 f(1)的函数值，又涉及二阶导数 f“(x)，因此可考虑利用 f(0)和 f(1)在展开点 x 0 = 27.设 f(0)=1，且 f(0)=0，求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是 型极限，因为在题目中没有假设当 x0 时 f(x)可导，故不能使用洛必达法则求极限由导数定义可得 )解析：28.已知函数 f(x)在(0，+)内可导且 f(x)0， f(x)=1，又满足 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
