1、考研数学三（概率统计）-试卷 27 及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 X 和 Y 分别表示扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.D.13.设随机变量 XU一 1，1，则随机变量 U=arcsinX，V=arccosX 的相关系数为( )（分数：2.00）A.一 1B.0C.D.14.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 1
2、 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 +X 2 +X n ) B.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )C.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2 )，则 D.若 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )，则 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关5.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，yN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY =一05，且 P(aX+bY1)=05，则( ) （分数：2.00）A.
3、B.C.D.二、填空题(总题数：3，分数：6.00)6.设 X 的分布函数为 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_7.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_8.设随机变量 XP()，且 E(X 一 1)(X 一 2)=1，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：15，分数：38.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_10.设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)=_（分数：2.00）_n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一
4、把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：（分数：4.00）(1).试开过的钥匙除去；（分数：2.00）_(2).试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_11.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：2.00）_12.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品，销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系： （分数：2.00）_13.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10
5、，20上的均匀分布，商店每出售一单位商品可获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_14.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0， )，YN(0， （分数：2.00）_设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U= （分数：4.00）(1).(U，V)的分布；（分数：2.00）_(2).U，V 的相关系数（分数：2.00）_15.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望
6、（分数：2.00）_设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：6.00）(1).求 E(X)；（分数：2.00）_(2).求 Cov(X，|X|)，问 X，|X|是否不相关？（分数：2.00）_(3).问 X，|X|是否相互独立？（分数：2.00）_16.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为 （分数：2.00）_17.设随机变量(X，Y)在区域 D=(x，y)|0x2，0y1)上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 Y= X
7、i ，Z= （分数：4.00）(1).D(y)，D(Z)；（分数：2.00）_(2). XZ （分数：2.00）_18.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i 一 （分数：2.00）_19.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=max(X，Y)，求 E(Z)（分数：2.00）_考研数学三（概率统计）-试卷 27 答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 X 和 Y 分别表示
8、扔 n 次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.D.1解析：解析：设正面出现的概率为 p，则 XB(n，p)，Y=n 一 XB(n，1 一 p)， E(X)=np，D(X)=np(1 一p)，E(Y)=n(1 一 p)，D(Y)=np(1 一 p)， Cov(X，Y)=Cov(X，n 一 X)=Cov(X，n)一 Cov(X，X)， 因为Cov(X，n)=E(nX)一 E(n)E(X)=nE(X)一 nE(X)=0， Cov(X，X)=D(X)=np(1 一 p)，所以 XY = 3.设随机变量 XU一 1，1，则随机变量 U=arcs
9、inX，V=arccosX 的相关系数为( )（分数：2.00）A.一 1 B.0C.D.1解析：解析：当 PY=aX+b=1(a0)时， XY =1；当 PY=aX+b=1(a0)时， XY =一 1因为arcsinx+arccosx= (一 1x1)，即 U+V= 或 U=一 V+ 4.对于随机变量 X 1 ，X 2 ，X n ，下列说法不正确的是( )（分数：2.00）A.若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则 D(X 1 +X 2 +X n ) B.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )C
10、.若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立同分布，服从 N(0， 2 )，则 D.若 D(X 1 +X 2 +X n )=D(X 1 )+D(X 2 )+D(X n )，则 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关 解析：解析：若 X 1 ，X 2 ，X n 相互独立，则(B)，(C)是正确的，若 X 1 ，X 2 ，X n 两两不相关，则(A)是正确的，选(D)5.设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，yN(2，4)，X，Y 的相关系数为 XY =一05，且 P(aX+bY1)=05，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布
11、，所以 aX+bY 服从正态分布， E(aX+bY)=a+2b，D(aX+bY)=a 2 +4b 2 +2ab Cov(X，Y)=a 2 +4b 2 2ab，即 aX+bYN(a+2b，a 2 +4b 2 2ab)，由 P(aX+bY1)=05得 a+2b=1，所以选(D)二、填空题(总题数：3，分数：6.00)6.设 X 的分布函数为 F(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 06）解析：解析：随机变量 X 的分布律为 X 7.设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）填空项 1:_ （正确答案：*）解
12、析：解析：8.设随机变量 XP()，且 E(X 一 1)(X 一 2)=1，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 2 +由 E(X一 1)(X 一 2)=E(X 2 3X+2)=E(X 2 )一 3E(X)+2= 2 一 2+2=1 得 =1三、解答题(总题数：15，分数：38.00)9.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：10.设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)=_（
13、分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布律为 P(X=k)=0208 k 一 1 ，k=1，2， )解析：n 把钥匙中只有一把可以把门打开，现从中任取一把开门，直到打开门为止，下列两种情况分别求开门次数的数学期望和方差：（分数：4.00）(1).试开过的钥匙除去；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X 为第一种情况开门次数，X 的可能取值为 1，2，n 且 P(X=k)= ，k=1，2，n )解析：(2).试开过的钥匙重新放回（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 Y 为开门次数，Y 的可能取值为 1，2，n， )解析：11.设一部机器一天内发生故障的概率为 （分数：
14、2.00）_正确答案：(正确答案：用 X 表示 5 天中发生故障的天数，则 以 Y 表示获利，则 )解析：12.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品，销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(T)=一 1P(X10)+20P(10X12)一 5P(X12) =一 (10 一 )+20(12 一 )一 (10 一 )一 51 一 (12 一 ) =25(12 一 )一 21(10 一 )一 5 解得 =
15、11 一 )解析：13.某商店经销某种商品，每周进货数量 X 与顾客对该种商品的需求量 Y 之间是相互独立的，且都服从10，20上的均匀分布，商店每出售一单位商品可获利 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利 500 元，计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 R 为商店每周的利润，则有 因为 X，Y 相互独立且都服从10，20上的均匀分布，所以(X，Y)的联合密度函数为 )解析：14.设随机变量 X，Y 相互独立，且 XN(0， )，YN(0， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 U=X 一
16、Y，因为 X，Y 相互独立，且 所以 UN(0，1) 一u+ E(Z 2 )=E(U 2 )=D(U)+E(U) 2 =1 D(Z)=E(Z 2 )一E(Z) 2 =1 一 )解析：设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U= （分数：4.00）(1).(U，V)的分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为 (U，V)的可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1) P(U=0，V=0)=P(X1，X2)=P(X1)=F(1)=1 一 e 一 2 ； P(U=0，V=1)=P(X1，X2)=0； P(U=1，V
17、=1)=P(X1，X2)=P(X2)=1 一 F(2)=e 一 4 ； P(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e 一 2 一 e 一 4 (U，V)的联合分布律为 )解析：(2).U，V 的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 U 得 E(U)=e 一 2 ，E(V)=e 一 4 ，E(UV)=e 一 4 ，E(U 2 )=e 一 2 ，E(V 2 )=e 一 4 ，则 D(U)=E(U 2 )=E(U) 2 =e 一 2 一 e 一 4 ，D(V)=E(V 2 )一E(V) 2 =e 一 4 一 e 8 ， Cov(U，V)=E(UV)一 E(U)E(V)=e 一 4 一
18、e 一 6 ， 于是 UV = )解析：15.设有 20 人在某 11 层楼的底层乘电梯上楼，电梯在途中只下不上，每个乘客在哪一层下等可能，且乘客之间相互独立，求电梯停的次数的数学期望（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用随机变量分解法 设随机变量 X 表示停靠的总的次数，令 X i = 则X=X 2 +X 3 +X 11 ，E(X)= )解析：设随机变量 X 的密度函数为 f(x)= （分数：6.00）(1).求 E(X)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(X)= 一 + xf(x)dx=0)解析：(2).求 Cov(X，|X|)，问 X，|X|是否不相关？（分数：2.0
19、0）_正确答案：(正确答案：因为 Cov(X，|X|)=EX|X|一 EXE|X|=EX|X| = 一 + x|x|f(x)dx=0， 所以 X，|X|不相关)解析：(3).问 X，|X|是否相互独立？（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：对任意的 a0，PXa，|X|a)=P|X|a， 而 0P(Xa)1，所以PXa，|X|a)P|X|aP(Xa)， 故|X|，X 不相互独立)解析：16.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1，3 2 )，YN(0，4 2 )，且 X，Y 的相关系数为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设随机变量(X，Y)在区域
20、D=(x，y)|0x2，0y1)上服从均匀分布，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 Y= X i ，Z= （分数：4.00）(1).D(y)，D(Z)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X m+n 相互独立，所以 )解析：(2). XZ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Cov(Y，Z)=Cov(X 1 +X m )+(X m+1 +X n )，X m 一 1 +X m+n =Cov(X 1 +X m ，X m+1 +X m+n )+Cov(X m+
21、1 +X n ，X m 一 1 +X m+n ) =D(X m+1 +X n )+Cov(X m+1 +X n ，X n+1 +X m+n ) =(n 一 m) 2 则 YZ = )解析：18.设 X 1 ，X 2 ，X n (n2)相互独立且都服从 N(0，1)，Y i =X i 一 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 因为 X 1 ，X 2 ，X n 独立且都服从正态分布，所以 Y 1 +Y n 服从正态分布， )解析：19.设随机变量 X，Y 相互独立且都服从 N(， 2 )分布，令 Z=max(X，Y)，求 E(Z)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X，Y 都服从 N(， 2 )分布，所以 且 U，V 相互独立，则X=U+，Y=aV+，故 Z=max(X，y)=max(U，V)+， 由 U，V 相互独立得(U，V)的联合密度函数为 (一u，+) 于是 E(Z)=Emax(U，V)+ 而 Emax(U，V)= 一 + du 一 + max(u，)f(u，)d )解析：
