1、考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 11及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设随机向量(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X 与 Y的相关系数为 XY = ，且概率 PaX+bY1= ，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 X是随机变量，EX0 且 E(X 2 )=07，DX=02，则以下各式成立的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.已知随机变量 X n (n=1，2，)相互独立且都
2、在(1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 （分数：2.00）A.(0)B.(1)C.(D.(2)5.设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体 N(， 2 )的样本， 是样本均值，记 则服从自由度为n1 的 t分布的随机变量是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.6.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体的简单随机样本，样本均值为 ，样本方差为 S 2 ，则服从 2 (n)的随机变量为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.7.设总体 X与 Y都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2
3、，Y n 是分别来自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D.8.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n (n1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）A.与 及 n都有关B.与 及 n都无关C.与 无关，与 n有关D.与 有关，与 n无关二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0，3)，YN(0，4)，相关系数 XY = （分数：2.00）填空项 1:_10.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_11.设二
4、维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_12.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_13.设随机变量 X的数学期望 EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计得 PX75k005，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_14.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_15.设总体 XP()，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和S 2 ，则 E( （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：17，分
5、数：34.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是其样本 （分数：2.00）_18.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的一个样本， (X 1 ，X n )是 的一个估计量，若 = （分数：2.00）_19.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自均匀分布在0，上的一个样本，试证：T n =max(X 1 ，X 2 ，X n )是 的相合估计（分数：2.00）_20.已知 X具有概率密度 （分数：2.00）_21.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自
6、 X的样本，证明：估计量 （分数：2.00）_22.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，设 EX=，DX= 2 ，试确定常数 C，使 （分数：2.00）_23.设总体服从 u0，X 1 ，X 2 ，X n 为总体的样本，证明： （分数：2.00）_24.设从均值为 ，方差 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 ，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1的常数 a，b，T= （分数：2.00）_25.设 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，X 1 的取值有四种可能，其概率分布分别为： p 1 =1，p 2 = 2 ，p 3 = 2 3 ，
7、p 4 = 3 ， 记 N j 为 X 1 ，X 2 ，X n 中出现各种可能的结果的次数，N 1 +N 2 +N 3 +N 4 =n确定 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 使 （分数：2.00）_26.设总体 XN( 1 ， 2 )，YN( 2 ， 2 )从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为 m，n 的样本X 1 ，X m 和 Y 1 ，Y n 记样本均值分别为 若 （分数：2.00）_27.设有 k台仪器，已知用第 i台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i ，i=1，2，k，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X k ，设仪器都没有系统误差，即 E
8、(X i )=，i=1，2，k，试求：a 1 ，a 2 ，a k 应取何值，使用 是无偏的，并且 （分数：2.00）_28.设X n 是一随机变量序列，X n 的密度函数为： （分数：2.00）_29.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是独立同分布的随机变量序列，EX i =，DX i = 2 ，i=1，2，令 （分数：2.00）_30.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50千克，标准差为 5千克，若用最大载重为 5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977(2)=0977)（分数：2.00）_31.用概率论方法证
9、明： （分数：2.00）_32.截至 2010年 10月 25日，上海世博会参观人数超过了 7000万人游园最大的痛苦就是人太多假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走 3个小时可到达；沿第二条路径走 5个小时又回到原处；沿第三条路径走 7个小时也回到原处假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆（分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）-试卷 11答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：16.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设随机向量(X，
10、Y)服从二维正态分布，其边缘分布为 XN(1，1)，YN(2，4)，X 与 Y的相关系数为 XY = ，且概率 PaX+bY1= ，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：因为(X，Y)服从二维正态分布aX+bY 服从一维正态分布，又 EX=1，EY=2 则 E(aX+bY)=a+2b，于是 PaX+bY1= 显然，只有 1(a+2b)=0 时，PaX+bY1= 3.设 X是随机变量，EX0 且 E(X 2 )=07，DX=02，则以下各式成立的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：EX= ，于是由切比雪夫不等式知4.已知随机变量 X n (n=1，2
11、，)相互独立且都在(1，1)上服从均匀分布，根据独立同分布中心极限定理有 （分数：2.00）A.(0)B.(1)C.( D.(2)解析：解析：由题设知 EX n =0，DX n = 由中心极限定理，对任意 x有 5.设 X 1 ，X 2 ，X n 是总体 N(， 2 )的样本， 是样本均值，记 则服从自由度为n1 的 t分布的随机变量是 ( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：6.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是取自总体的简单随机样本，样本均值为 ，样本方差为 S 2 ，则服从 2 (n)的随机变量为 ( ) （分数：2.00）A.B.C.
12、D. 解析：解析：由于总体 XN(， 2 )，所以 与 S 2 独立，由 2 分布的可加性，我们仅需确定服从 2 (1)的随机变量因为 N(0，1)， 7.设总体 X与 Y都服从正态分布 N(0， 2 )，已知 X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 是分别来自总体 X与 Y的两个相互独立的简单随机样本，统计量 =( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：应用 t分布的典型模式由于 ，而 N(0，1)，且相互独立，所以 V= 2 (n)，U 与 V相互独立，由 t分布的典型模式 t(n)由题意知 8.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，
13、X n (n1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为 （分数：2.00）A.与 及 n都有关B.与 及 n都无关C.与 无关，与 n有关 D.与 有关，与 n无关解析：解析：由题设有，XN(， 2 )， N(0，1)， N(0，1)，于是 PXa)=P b， 即 所以 因此比值 二、填空题(总题数：7，分数：14.00)9.设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(0，3)，YN(0，4)，相关系数 XY = （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：10.设二维随机变量(X，Y)的分布律为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解
14、析：解析：关于 X与关于 Y的边缘分布律分别为 所以，11.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：Cov(U，V)=Cov(X+2Y，X)=DX2Cov(X，Y) =DX2E(XY)+2EXEY， 其中 E(XY)= 关于 X的边缘概率密度为 所以 EX=EY= E(X 2 )= 将代入得Cov(U，V)= 12.设二维随机变量(X，Y)的概率密度为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：DZ=DX+DY2Cov(X，Y) =DX+DY2E(XY)+2EXEY， E(XY)= 其中D=(x
15、，y)0x1，0yx如图 3-5阴影部分所示 关于 X的边缘概率密度为 EX= 0 1 x.3x 2 dx= ，E(X 2 )= 0 1 x 2 .3x 2 dx= DX=E(X 2 )(EX) 2 = 关于 Y的边缘概率密度为 DY=E(Y 2 )(EY) 2 = 将代入得 DZ= 13.设随机变量 X的数学期望 EX=75，方差 DX=5，由切比雪夫不等式估计得 PX75k005，则 k= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：10）解析：解析：PX75k=PXEXk ，于是由题设得14.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是相互独立的随机变量序列，且都服从参数为 的泊松
16、分布，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(x)）解析：解析：由列维-林德伯格中心极限定理即得15.设总体 XP()，X 1 ，X 2 ，X n 是来自 X的简单随机样本，它的均值和方差分别为 和S 2 ，则 E( （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 三、解答题(总题数：17，分数：34.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.设总体 X服从正态分布 N(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 是其样本 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) 可见当 C= (X i+1 X
17、 i ) 2 是 2 的无偏估计量 因为 于是 故当 k= )解析：18.设 X 1 ，X 2 ，X n 是来自总体 X的一个样本， (X 1 ，X n )是 的一个估计量，若 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由切比雪夫不等式，对任意的 0 有 于是 0 =0 即 依概率收敛于 ，故 )解析：19.设 X 1 ，X 2 ，X n 是取自均匀分布在0，上的一个样本，试证：T n =max(X 1 ，X 2 ，X n )是 的相合估计（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：T n =X (n) 的分布函数为 F T (t)=F n (t)= T n 的密度为 f T (t)=F T
18、 (t)=nf(t)F n1 (t)= 所以 由切比雪夫不等式有 当 n时， )解析：20.已知 X具有概率密度 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求矩估计 再求最大似然估计 得 的最大似然估计 )解析：21.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自 X的样本，证明：估计量 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故 都是 的无偏估计 所以 )解析：22.设 X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X的一个样本，设 EX=，DX= 2 ，试确定常数 C，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由题意知：E( CS 2 )= 2 ,则此时 C= )解析：23
19、.设总体服从 u0，X 1 ，X 2 ，X n 为总体的样本，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，由切比雪夫不等式有： 0(n+) 因此得 )解析：24.设从均值为 ，方差 2 0 的总体中分别抽取容量为 n 1 ，n 2 的两个独立样本，样本均值分别为 证明：对于任何满足条件 a+b=1的常数 a，b，T= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题意得： ，所以 ET= =(a+b)=， 故 T是 的无偏估计量 又 DT= ， 令 f(a)= 2 ，对 a求导并解方程如下： f(a)= 2 =0， 得到 0，所以 f(a)= 处 取得极小值，此时 b=1a= )解析：
20、25.设 X 1 ，X 2 ，X n 独立同分布，X 1 的取值有四种可能，其概率分布分别为： p 1 =1，p 2 = 2 ，p 3 = 2 3 ，p 4 = 3 ， 记 N j 为 X 1 ，X 2 ，X n 中出现各种可能的结果的次数，N 1 +N 2 +N 3 +N 4 =n确定 a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于 N i B(n，p i )，i=1，2，3，4，所以 E(N i )=np i ，从而有： ET= =a 1 n(1)+a 2 n( 2 )+a 3 n( 2 3 )+a 4 n 3 =na 1 +n(a 2 a 1 )
21、+n(a 3 a 2 ) 2 +n(a 4 a 3 ) 3 若使 T是 的无偏估计，即要求 解之得：a 1 =0，a 2 =a 3 =a 4 = 即 T= )解析：26.设总体 XN( 1 ， 2 )，YN( 2 ， 2 )从总体 X，Y 中独立地抽取两个容量为 m，n 的样本X 1 ，X m 和 Y 1 ，Y n 记样本均值分别为 若 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 同理 故 则 C= (2)因 则有 )解析：27.设有 k台仪器，已知用第 i台仪器测量时，测定值总体的标准差为 i ，i=1，2，k，用这些仪器独立地对某一物理量 各观察一次，分别得到 X 1 ，X 2 ，X k
22、，设仪器都没有系统误差，即 E(X i )=，i=1，2，k，试求：a 1 ，a 2 ，a k 应取何值，使用 是无偏的，并且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) =， 即当 是无偏的 (2) 令函数 g(a 1 ，a 2 ，a k )= ，问题归结为求多元函数 g(a 1 ，a 2 ，a k )在条件 a i =1之下的最小值 作拉格朗日函数： G(a 1 ，a 2 ，a k ，)=g(a 1 ，a 2 ，a k )+(a 1 +a 2 +a k 1) 若令 ，则 =2 0 2 ，由此得： )解析：28.设X n 是一随机变量序列，X n 的密度函数为： （分数：2.00）_正
23、确答案：(正确答案：对任意给定的 0，由于 )解析：29.设 X 1 ，X 2 ，X n ，是独立同分布的随机变量序列，EX i =，DX i = 2 ，i=1，2，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 由切比雪夫不等式得： PY n E(Y n )=PY n ， 所以 )解析：30.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的，假设每箱平均重量 50千克，标准差为 5千克，若用最大载重为 5吨的汽车承运，试用中心极限定理说明每辆车最多可装多少箱，才能保障不超载的概率大于 0977(2)=0977)（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 X i 是“装运的第 i箱的重量”，n
24、 表示装运箱数则 EX i =50，DX i =5 2 =25， 且装运的总重量 Y=X 1 +X 2 +X n ，X n 独立同分布， EY=50n，DY=25n 由列维林德伯格中心极限定理知 YN(50n，25n)于是 PY5000= 0977=(2) 故 )解析：31.用概率论方法证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设X n 为一独立同分布随机变量序列，每个 X k 服从参数为 1的泊松分布，则 EX k =1，DX k =1， X k 服从参数为 n的泊松分布故有 由列维林德伯格中心极限定理知： )解析：32.截至 2010年 10月 25日，上海世博会参观人数超过了 7
25、000万人游园最大的痛苦就是人太多假设游客到达中国馆有三条路径，沿第一条路径走 3个小时可到达；沿第二条路径走 5个小时又回到原处；沿第三条路径走 7个小时也回到原处假定游客总是等可能地在三条路径中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达中国馆（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设游客需要 X小时到达中国馆，则 X的可能取值为 3，5+3，7+3，5+5+3，5+7+3，7+7+3， 要写出 X的分布律很困难，所以无法直接求 EX为此令 Y=第一次所选的路径，即Y=i表示“选择第 i条路径”则 PY=1=PY=2=PY=3= 因为 E(XY=1)=3，E(XY=2)5+EX，E(XY=3)=7+EX， 所以 EX= 3+(5+EX)+(7+EX)=5+ )解析：
