1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 56及答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，令 pP(X4)，qP(Y5)，则( )（分数：2.00）A.PqB.PqC.pqD.p，q 的大小由 的取值确定3.设 X为随机变量，E(X)，D(X) 2 ，则对任意常数 C有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 E(X) 2B.E(XC) 2 E(X) 2C.E(XC) 2 E(X 2 )C 2D.E(XC) 2 E(
2、X) 2 4.设 X，Y 都服从标准正态分布，则( )（分数：2.00）A.XY 服从正态分布B.X 2 Y 2 服从 2 分布C.X 2 ，Y 2 都服从 2 分布D.X 2 Y 2 服从 F分布5.设随机变量 X的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a)1 0 a f(x)dxB.F(a) C.F(a)F(a)D.F(a)2F(a)16.设 X和 Y分别表示扔 n次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（分数：2.00）A.1B.0C.D.1二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7
3、.设事件 A，B 相互独立，P(A)03，且 P(A （分数：2.00）填空项 1:_8.设随机变量 XN(， 2 )，且方程 x 2 4xX0 无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(XY2) 1（分数：2.00）填空项 1:_10.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 U0，6，X 2 N(0，2 3 )，X 3 P(3)，记 YX 1 2X 2 3X 3 ，则 D(Y) 1（分数：2.00）填空项 1:_11.设随机变量 X方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 PXE(X)2 1（分数：2.0
4、0）填空项 1:_12.设 X为总体，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X的样本，且总体的方差 DX 2 ，令 S 0 2 （分数：2.00）填空项 1:_13.三次独立试验中 A发生的概率不变，若 A至少发生一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_14.设随机变量 X与 Y的相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_15.设 XN(1， 2 )，YN(2， 2 )为两个相互独立的总体，X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分 别为来自两个总体的简单样本， （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：24.00)16.解答题解答应写出
5、文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.一批产品有 10个正品 2个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率（分数：2.00）_18.设 XN(0，1)，YX 2 ，求 Y的概率密度函数（分数：2.00）_19.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 （分数：2.00）_20.设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(x) 设 AXa与 BYa相互独立，且 P(AB)求：(1)a；(2)E （分数：2.00）_21.设 XU(1，1)，YX 2 ，判断 X，Y 的独立性与相关性（分数：2.00）_22.设总体 X的概率密度为 f(x) （分数：2
6、.00）_23.设事件 A，B 独立证明：事件 A， （分数：2.00）_24.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 独立同分布，且 X i (i1，2，3，4)，求 X （分数：2.00）_25.设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)_（分数：2.00）_26.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X mn (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 （分数：2.00）_27.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本， （分数：2.00）_考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷
7、56答案解析(总分：54.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 XN(，4 2 )，YN(，5 2 )，令 pP(X4)，qP(Y5)，则( )（分数：2.00）A.PqB.PqC.pq D.p，q 的大小由 的取值确定解析：解析：由 pP(X4)P(X4)P ， qP(Y5)P(Y5)P3.设 X为随机变量，E(X)，D(X) 2 ，则对任意常数 C有( )（分数：2.00）A.E(XC) 2 E(X) 2B.E(XC) 2 E(X) 2 C.E(XC) 2 E(X
8、 2 )C 2D.E(XC) 2 E(X) 2 解析：解析：E(XC) 2 一 E(X) 2 E(X 2 )一 2CE(X)C 2 E(X 2 )2E(X) 2 C 2 2E(X)E(X)CE(X) 2 CE(X) 2 0，选(B)4.设 X，Y 都服从标准正态分布，则( )（分数：2.00）A.XY 服从正态分布B.X 2 Y 2 服从 2 分布C.X 2 ，Y 2 都服从 2 分布 D.X 2 Y 2 服从 F分布解析：解析：因为 X，Y 不一定相互独立，所以 XY 不一定服从正态分布，同理(B)，(D)也不对，选(C)5.设随机变量 X的密度函数为 f(x)，且 f(x)为偶函数，X 的
9、分布函数为 F(x)，则对任意实数 a，有( )（分数：2.00）A.F(a)1 0 a f(x)dxB.F(a) C.F(a)F(a)D.F(a)2F(a)1解析：解析：F(a) a f(x)dx a f(t)dt a f(t)dt1 a f(t)dt 1( a f(t)dt a a f(t)dt)1F(a)2 0 a f(t)dt 则 F(a) 6.设 X和 Y分别表示扔 n次硬币出现正面和反面的次数，则 X，Y 的相关系数为( )（分数：2.00）A.1 B.0C.D.1解析：解析：设正面出现的概率为 P，则 XB(n，p)，YnXB(n，1p)， E(X)np，D(X)np(1p)，E
10、(Y)n(1p)，D(Y)np(1p)， Coy(X，Y)Cov(X，nX)Cov(X，n)Cov(X，X)， 因为 Cov(X，n)E(nX)E(n)E(X)nE(X)nE(X)0， Cov(X，X)D(X)np(1p)，所以 XY 二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7.设事件 A，B 相互独立，P(A)03，且 P(A （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：8.设随机变量 XN(， 2 )，且方程 x 2 4xX0 无实根的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：4）解析：解析：因为方程 x 2 4xX0 无实根，所以 16
11、4X0，即 X4 由 XN(， 2 )且P(X4) 9.设 XP(1)，YP(2)，且 X，Y 相互独立，则 P(XY2) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：P(XY2)P(X0，Y2)P(X1，Y1)P(X2，Y0)， 由 X，Y 相互独立得 P(XY2)P(X0)P(Y2)P(X1)P(Y1)P(X2)P(Y0)10.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 相互独立，且 X 1 U0，6，X 2 N(0，2 3 )，X 3 P(3)，记 YX 1 2X 2 3X 3 ，则 D(Y) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：46）解析
12、：解析：由 D(X 1 ) 11.设随机变量 X方差为 2，则根据切比雪夫不等式有估计 PXE(X)2 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：PXE(X)212.设 X为总体，(X 1 ，X 2 ，X n )为来自总体 X的样本，且总体的方差 DX 2 ，令 S 0 2 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：E(S 0 2 ) 13.三次独立试验中 A发生的概率不变，若 A至少发生一次的概率为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：设一次试验中 A发生的概率为 p，B三次试验中 A至少发生一
13、次， 则 P(B) ，又 P(B)1 1(1p) 3 ， 所以有 1(1P) 3 解得 p ，即第一次试验中A发生的概率为 14.设随机变量 X与 Y的相关系数为 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：18）解析：解析：D(X)E(X 2 )E(X) 2 4，D(Y)E(Y 2 )E(Y) 2 9， Cov(X，Y) XY 15.设 XN(1， 2 )，YN(2， 2 )为两个相互独立的总体，X 1 ，X 2 ，X m 与 Y 1 ，Y 2 ，Y n 分 别为来自两个总体的简单样本， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：
14、12，分数：24.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.一批产品有 10个正品 2个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A 1 第一次抽取正品，A 2 第一次抽取次品，B第二次抽取次品， 由全概率公式得 P(B)P(A 1 )P(BA 1 )P(A 2 )P(BA 2 ) )解析：18.设 XN(0，1)，YX 2 ，求 Y的概率密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： F Y (y)P(Yy)P(X 2 y) 当 y0 时，F Y (y)0； 当 y0
15、时，F Y (y)P )解析：19.设二维随机变量(X，Y)的联合分布律为 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 P(Y1)06， )解析：20.设随机变量 X，Y 同分布，X 的密度为 f(x) 设 AXa与 BYa相互独立，且 P(AB)求：(1)a；(2)E （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 P(A)P(B)且 P(AB)P(A)P(B)，所以令 P(A)p， 于是 2pp 2 ，解得 p ，即 P(A)P(Xa) ， 而 P(Xa) a 2 x 2 dx (8a 3 ) ，解得 a )解析：21.设 XU(1，1)，YX 2 ，判断 X，Y 的独立性与相关
16、性（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Cov(X，Y)E(XY)E(X)F(Y)，E(X)0，E(XY)E(X 3 ) 1 1 dx0， 因此 Cov(X，Y)0，X，Y 不相关；判断独立性，可以采用试算法 )解析：22.设总体 X的概率密度为 f(x) （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 x 1 ，x 2 ，x n 为样本值，似然函数为 当 x i 0(i1，2，n)时，lnL()nln x i 0，得 的最大似然估计值为 ，因此 的最大似然估计量为 (2)由于 E E(X i )E(X)，而 E(X)，所以 E )解析：23.设事件 A，B 独立证明：事件 A， （分
17、数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 A，B 独立，得 P(AB)P(A)P(B)， 由 P(A )P(AB)P(A)P(AB)P(A)P(A)P(B)P(A)1P(B)P(A)P( )， 得 A， 独立，同理可证 ，B 独立； 由P 1P(AB)1P(A)P(B)P(AB) 1P(A)1P(B)P )解析：24.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 3 ，X 4 独立同分布，且 X i (i1，2，3，4)，求 X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X X 1 X 4 X 2 X 3 ，令 UX 1 X 4 ，VX 2 X 3 ，且 U，V 独立同分布 P(U1)P(X 1 1，X
18、 4 1)016，P(U0)084，X 的可能取值为1，0，1 P(X1)P(U0，V1)P(U0)P(V1)08401601344， P(X1)P(U1，V0)P(U1)P(V0)01608401344， P(X0)120134407312，于是 X )解析：25.设每次试验成功的概率为 02，失败的概率为 08，设独立重复试验直到成功为止的试验次数为 X，则 E(X)_（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：X 的分布律为 P(Xk)0208 k1 ，k1，2， )解析：26.设随机变量 X 1 ，X 2 ，X mn (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)因为 X 1 ，X 2 ，X mn 相互独立，所以 D(Y) D(X i )n 2 ，D(X) D(X mk )n 2 (2)Cov(Y，Z)Cov(X 1 X m )(X m1 X n )，X m1 X mn Cov(X 1 X m ，X m1 X mn )Cov(X m1 X n ，X m1 X mn ) D(X m1 X n )Cov(X m1 X n ，X n1 X mn ) (nm) 2 )解析：27.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为来自总体 X的简单随机样本， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：
