1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 96 及答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.AB=0，A，B 是两个非零矩阵，则（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关3.设 1 , 2 ， s 都是 n 维向量，A 是 mn 矩阵，下列选项中正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 , 2 ， s
2、线性相关，则 A 1 ,A 2 ，A s 线性相关B.若 1 , 2 ， s 线性相关，则 A 1 ,A 2 ，A s 线性无关C.若 1 , 2 ， s 线性无关，则 A 1 ,A 2 ，A s 线性相关D.若 1 , 2 ， s 线性无关，则 A 1 ,A 2 ，A s 线性无关4. 1 , 2 , 3 ， 线性无关，而 1 , 2 , 3 ， 线性相关，则（分数：2.00）A. 1 , 2 , 3 ，+ 线性相关B. 1 , 2 , 3 ，c+ 线性无关C. 1 , 2 , 3 ，+c 线性相关D. 1 , 2 , 3 ，+c 线性无关5.设 1 , 2 , 3 线性无关，则( )线性无
3、关：（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3 C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 一 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 3 二、填空题(总题数：2，分数：4.00)6.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关 1 +t 2 ， 2 +2t 3 ， 3 +4t 1 线性相关.则实数 t 等于 1（分数：2.00）填空项 1:_7.设 A 为 3 阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是 1，又设 =(1，0，0) T ，则方程组 AX= 的解为 1（
4、分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：25，分数：50.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_9.已知 可用 1 , 2 ， s 线性表示，但不可用 1 , 2 ， s-1 线性表示.证明 (1) s 不可用 1 , 2 ， s-1 线性表示； (2) s 可用 1 , 2 ， s-1 ， 线性表示（分数：2.00）_10.已知(2，1，1，1) T ，(2，1，a，a) T ，(3，2，1，a) T ，(4，3，2，1) T 线性相关，并且 a1，求 a（分数：2.00）_11.设 1 =(1，1，1，3) T ， 2 =(一 1，一 3,5，1) T ， 3
5、 =(3，2，一 1，p+2) T ， 4 =(一2，一 6，1 0，p) T .P 为什么数时， 1 , 2 , 3 , 4 线性相关?此时求 r( 1 , 2 , 3 , 4 )和写出一个最大无关组（分数：2.00）_12.已知 1 ， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值分别为一 1 和 1，又 3 维向量 3 满足 A 3 = 2 + 3 证明 1 , 2 , 3 线性无关（分数：2.00）_13.设 n 维向量组 1 ， 2 ， s 线性相关，并且 1 0，证明存在 1ks，使得 k 可用 1 ， k-1 线性表示（分数：2.00）_14.设 A 为 n 阶矩阵， 0 0，满
6、足 A 0 =0，向量组 1 ， 2 满足 A 1 = 0 ，A 2 2 = 0 证明 0 ， 1 ， 2 线性无关（分数：2.00）_15.设 A 为 n 阶矩阵， 1 为 AX=0 的一个非零解，向量组 1 , 2 ， s 满足 A i-1 i = 1 (j=2，3，s)证明 1 , 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_16.设 A 是 n 阶矩阵，k 为正整数， 是齐次方程组 A k X=0 的一个解，但是 A k-1 0证明，A，A k-1 线性无关（分数：2.00）_17.设 1 , 2 ， s 线性无关， i = I + I+1 ，i=1，s1， s = S + 1 判断 1
7、2 ， s 线性相关还是线性无关?（分数：2.00）_设 1 , 2 , 3 , 4 线性无关， 1 =2 1 + 3 + 4 ， 2 =2 1 + 2 + 3 ， 3 = 2 一 4 ， 4 = 3 + 4 ， 5 = 2 + 3 （分数：4.00）(1).求 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )；（分数：2.00）_(2).求 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的一个最大无关组（分数：2.00）_18.设 1 , 2 , 3 都是 n 维非零向量，证明： 1 , 2 , 3 线性无关 （分数：2.00）_19.设 1 , 2 ， s ， 都是 n 维向量，证明： （分数：2.00
8、）_20.设 A 是 mn 矩阵证明： r(A)=1 （分数：2.00）_21.设 1 , 2 ， s 和 1 2 ， t 都是 n 维向量组，证明 r( 1 , 2 ， s ， 1 2 ， t )r( 1 , 2 ， s )+r( 1 2 ， t ) 设 A 和 B 是两个行数相同的矩阵，r(AB)r(A)+r(B) 设 A 和 B 是两个列数相同的矩阵， 表示 A 在上，B在下构造的矩阵证明 （分数：2.00）_22.证明 r(A+B)r(A)+r(B)（分数：2.00）_23.设 A 是 n 阶矩阵，满足(A 一 aE)(AbE)=0，其中数 ab证明：r(AaE)+r(AbE)=n（分
9、数：2.00）_24.设 A 是 n 阶矩阵，证明 （分数：2.00）_25.设 1 , 2 ， r ，和 1 2 ， s 是两个线性无关的 n 维向量证明：向量组 1 , 2 ， r ； 1 2 ， s 线性相关甘存在非零向量 r，它既可用 1 , 2 ， r 线性表示，又可用 1 2 ， s 线性表示（分数：2.00）_26.设 A=( 1 , 2 ， n )是实矩阵，证明 A T A 是对角矩阵 （分数：2.00）_27.设 A 为实矩阵，证明 r(A T A)=r(A)（分数：2.00）_28.设 1 , 2 ， n 是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关（分数：2.00）_29.
10、设 1 , 2 ， s 和 1 2 ， t 是两个线性无关的 n 维实向量组，并且每个 i 和 j 都正交，证明 1 , 2 ， s ， 1 2 ， t 线性无关（分数：2.00）_30.设 A 为 n 阶正交矩阵， 和 都是 n 维实向量，证明：(1)内积(，)=(A，A)(2)长度=A（分数：2.00）_31.设 A 是 n 阶非零实矩阵(n2)，并且 A T =A * ，证明 A 是正交矩阵（分数：2.00）_考研数学三（线性代数）模拟试卷 96 答案解析(总分：64.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符
11、合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.AB=0，A，B 是两个非零矩阵，则（分数：2.00）A.A 的列向量组线性相关B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关B 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性相关B 的行向量组线性相关D.A 的行向量组线性相关B 的列向量组线性相关解析：3.设 1 , 2 ， s 都是 n 维向量，A 是 mn 矩阵，下列选项中正确的是( )（分数：2.00）A.若 1 , 2 ， s 线性相关，则 A 1 ,A 2 ，A s 线性相关 B.若 1 , 2 ， s 线性相关，则 A 1 ,A 2 ，A s 线性无关C.若 1 , 2 ， s 线性无关，
12、则 A 1 ,A 2 ，A s 线性相关D.若 1 , 2 ， s 线性无关，则 A 1 ,A 2 ，A s 线性无关解析：解析：本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明(A)的正确性，做法如下： 因为 1 , 2 ， s 线性相关，所以存在不全为 0 的数 c 1 ，c 2 ，c s 使得 c 1 1 +c 1 2 +c s s =0，用 A 左乘等式两边，得 c 1 A 1 +c 1 A 2 +c s A s =0，于是 A 1 ，A 2 ，A s 线性相关但是用秩来解此题，则更加简单透彻只要应用两个基本性质，它们是： 1 1 , 2 ， s 线性无关 4. 1 , 2 , 3 ，
13、线性无关，而 1 , 2 , 3 ， 线性相关，则（分数：2.00）A. 1 , 2 , 3 ，+ 线性相关B. 1 , 2 , 3 ，c+ 线性无关C. 1 , 2 , 3 ，+c 线性相关D. 1 , 2 , 3 ，+c 线性无关 解析：解析：由于 1 , 2 , 3 ， 线性无关， 1 , 2 , 3 是线性无关的于是根据定理32， 1 , 2 , 3 ，c+(或 +c)线性相关与否取决于 c+(或 +c)可否用 1 , 2 , 3 线性表示 条件说明 不能由 1 , 2 , 3 线性表示，而 可用 1 , 2 , 3 线性表示 c+ 可否用 1 , 2 , 3 线性表示取决于 c，当
14、c=0 时 c+= 可用 1 , 2 , 3 线性表示；c0 时 c+ 不可用 1 , 2 , 3 线性表示c 不确定，(A)，(B)都不能选 而 +c总是不可用 1 , 2 , 3 线性表示的，因此(C)不对，(D)对5.设 1 , 2 , 3 线性无关，则( )线性无关：（分数：2.00）A. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 3 一 1 B. 1 + 2 ， 2 + 3 ， 1 +2 2 + 3 C. 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 D. 1 + 2 + 3 ，2 1 一 3 2 +22 3 ，3 1 +5 2 5 3 解析：解析：容易看出 A 中的向量组的第 2 个减
15、去第 1 个等于第 3 个，所以相关B 组的前两个之和等于第 3 个，也相关于是 A 和 B 都可排除 现在只用判断 C 组是否相关(若相关，选 D，若无关，选 C) 1 +2 2 ，2 2 +3 3 ，3 3 + 1 对 1 , 2 , 3 的表示矩阵为 二、填空题(总题数：2，分数：4.00)6.已知 1 ， 2 ， 3 线性无关 1 +t 2 ， 2 +2t 3 ， 3 +4t 1 线性相关.则实数 t 等于 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t=一 12）解析：解析：本题可以用定义做，但是表述比较哕嗦，用秩比较简单，证明 1 +t 2 ， 2 +2t 3 ， 3
16、 +4t 1 线性相关就是要证明其秩小于 3 记矩阵 A=( 1 +t 2 ， 2 +2t 3 ， 3 +4t 1 )用矩阵分解，有 记 由于 1 , 2 , 3 线性无关，( 1 , 2 , 3 )是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质，r( 1 +t 2 ， 2 +2t 3 ， 3 +4t 1 )=r(A)=r(C)于是 1 +t 2 ， 2 +2t 3 ， 3 +4t 1 线性相关甘 r(c)7.设 A 为 3 阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是 1，又设 =(1，0，0) T ，则方程组 AX= 的解为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1，0，0) T ）解
17、析：解析：设 A=( 1 , 2 , 3 )A 为正交矩阵，列向量是单位向量于是 1 是(1，0，0) T 则 = 1 =A(1，0，0) T ，解为(1，0，0) T 。三、解答题(总题数：25，分数：50.00)8.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：9.已知 可用 1 , 2 ， s 线性表示，但不可用 1 , 2 ， s-1 线性表示.证明 (1) s 不可用 1 , 2 ， s-1 线性表示； (2) s 可用 1 , 2 ， s-1 ， 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用秩说明，条件说明， r( 1 , 2 ， s ，)=r( 1 , 2 ， s
18、 )，r( 1 , 2 ， s-1 ，)=r( 1 , 2 ， s-1 )+1 于是有 r( 1 , 2 ， s ),r( 1 , 2 ， s ，)r( 1 , 2 ， s-1 ，) r( 1 , 2 ， s-1 )+1r( 1 , 2 ， s )从而其中两个“”号都为等号于是 r( 1 , 2 ， s-1 )+1=r( 1 , 2 ， s ) 因此， s 不可用 1 , 2 ， s-1 线性表示 r( 1 , 2 ， s ，)=r( 1 , 2 ， s-1 ，)，因此， s 可用 1 , 2 ， s-1 ， 线性表示)解析：10.已知(2，1，1，1) T ，(2，1，a，a) T ，(3，
19、2，1，a) T ，(4，3，2，1) T 线性相关，并且 a1，求 a（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为这 4 个向量线性相关，所以以它们为列向量的 4 阶行列式为 0求出此行列式的值： )解析：11.设 1 =(1，1，1，3) T ， 2 =(一 1，一 3,5，1) T ， 3 =(3，2，一 1，p+2) T ， 4 =(一2，一 6，1 0，p) T .P 为什么数时， 1 , 2 , 3 , 4 线性相关?此时求 r( 1 , 2 , 3 , 4 )和写出一个最大无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：计算 r( 1 , 2 , 3 , 4 ) )解析：12.
20、已知 1 ， 2 都是 3 阶矩阵 A 的特征向量，特征值分别为一 1 和 1，又 3 维向量 3 满足 A 3 = 2 + 3 证明 1 , 2 , 3 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：根据特征向量的性质， 1 , 2 都是 A 的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的根据定理 32，只用再证明 3 不可用 1 , 2 线性表示 用反证法如果 3 可用 1 , 2 表示，设 3 =c 1 1 +c 2 2 ，用 A 左乘等式两边，得 2 + 3 =一 c 1 1 +c 2 2 ，减去原式得 2 =一 2c 1 1 ， 与 1 ， 2 线性无关矛盾，说明 3 不可用 1
21、 ， 2 线性表示)解析：13.设 n 维向量组 1 ， 2 ， s 线性相关，并且 1 0，证明存在 1ks，使得 k 可用 1 ， k-1 线性表示（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 1 , 2 ， s 线性相关，所以存在不全为 0 的数 c 1 ，c 2 ，c s ，使得 c 1 1 +c 2 2 +c s s =0 设 c k 是 c 1 ，c 2 ，c s 中最后一个不为 0 的数，即 c k 0，但 ik 时，c i =0则 kl(否则 1 =0， 与条件矛盾)，并且有 c 1 1 +c 2 2 +c k k =0则于 )解析：14.设 A 为 n 阶矩阵， 0 0，满
22、足 A 0 =0，向量组 1 ， 2 满足 A 1 = 0 ，A 2 2 = 0 证明 0 ， 1 ， 2 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：用定义证明即要说明当 c 1 ，c 2 ，c 3 满足 c 1 0 +c 2 1 +c 3 2 =0时它们一定都是 0 记此式为(1)式，用 A 乘之，得 c 2 0 +c 3 A 2 =0 (2) 再用 A 乘(2)得 c 3 0 =0由 0 0，得 c 3 =0代入(2)得 c 2 =0再代入(1)得 c 1 =0)解析：15.设 A 为 n 阶矩阵， 1 为 AX=0 的一个非零解，向量组 1 , 2 ， s 满足 A i-1 i
23、= 1 (j=2，3，s)证明 1 , 2 ， s 线性无关（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 c 1 1 +c 2 2 +c s s =0(1)，要推出系数 c i 都为 0条件说明 A i i =A 1 =0(i=1，2，3，s)用 A s-1 乘(1)的两边，得 c s 1 =0，则 c s =0 冉用 A s-2 乘(1)的两边，得 c s-1 1 =0，则 c s-1 =0这样可逐个得到每个系数都为 0)解析：16.设 A 是 n 阶矩阵，k 为正整数， 是齐次方程组 A k X=0 的一个解，但是 A k-1 0证明，A，A k-1 线性无关（分数：2.00）_正确答案：
24、(正确答案：用定义证明用反证法如果 ，A，A k-1 线性相关，则存在不全为 0的 c 1 ，c 2 ，c k ，使得 c 1 + c 2 A+c k A k-1 =0，设其中第一个不为 0 的系数是 c i ，则 c i A i-1 +c k A k-1 =0，用 A k-i 乘之，得 c i A k-1 =0从而 A k-1 =0，与条件矛盾)解析：17.设 1 , 2 ， s 线性无关， i = I + I+1 ，i=1，s1， s = S + 1 判断 1 2 ， s 线性相关还是线性无关?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 2 ， s 对 1 , 2 ， s 的表示矩阵为
25、 )解析：设 1 , 2 , 3 , 4 线性无关， 1 =2 1 + 3 + 4 ， 2 =2 1 + 2 + 3 ， 3 = 2 一 4 ， 4 = 3 + 4 ， 5 = 2 + 3 （分数：4.00）(1).求 r( 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 )；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 对 1 , 2 , 3 , 4 的表示矩阵为用初等行变换化为阶梯形矩阵： )解析：(2).求 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的一个最大无关组（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 C 的列向量组为 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 则由(1
26、)的计算结果知 1 ， 2 ， 4 是线性无关的又( 1 ， 2 ， 4 ) =( 1 , 2 , 3 , 4 )( 1 ， 2 ， 4 )得到 r( 1 ， 2 ， 4 )=r( 1 ， 2 ， 4 )=3， 1 ， 2 ， 4 线性无关，是 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 的一个最大无关组)解析：解析：实际上 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 与 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 有相同的线性关系。18.设 1 , 2 , 3 都是 n 维非零向量，证明： 1 , 2 , 3 线性无关 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“”用定义法也不麻烦(请读者自己做)，但是用 C 矩阵
27、法更加简单 1 +s 3 ， 2 +t 3 对 1 , 2 , 3 的表示矩阵为 显然对任何数 s，t，C 的秩都是 2，于是 1 +s 3 ， 2 +t 3 的秩为 2，线性无关 “”在 s=t=0 时，得 1 ， 2 线性无关，于是(根据定理 32)只要再证明 3 不可用 1 ， 2 线性表 示用反证法如果 3 可以用 1 ， 2 线性表示，设 3 =c 1 1 +c 2 2 ，则因为 3 不是零向量，c 1 ，c 2 不能全为 0不妨设 c 1 0，则有 于是 ， 2 线性相关，即当 )解析：19.设 1 , 2 ， s ， 都是 n 维向量，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确
28、答案：把 1 , 2 ， s 的一个最大无关组放在 1 , 2 ， s ，中考察，看它是否也是 1 , 2 ， s ， 的最大无关组 设(I)是 1 , 2 ， s 的一个最大无关组，则它也是 1 , 2 ， s ， 中的一个无关组 问题是：(I)增添 后是否相关? 若 可用 1 , 2 ， s 表示，则 可用(I)表示(因为 1 , 2 ， s 和(I)等价!)，于是(I)增添 后相关，从而(I)也是 1 , 2 ， s ， 的最大无关组，r( 1 , 2 ， s ，)=r( 1 , 2 ， s )若 不可用 1 , 2 ， s 表示，则 不可用(1)表示，(I)增添 后无关，从而(I)不是
29、 1 , 2 ， s ， 的最大无关组，此时(I)， 是 1 , 2 ， s ， 的最大无关组，r( 1 , 2 ， s ，)=r( 1 , 2 ， s ，)+1)解析：20.设 A 是 mn 矩阵证明： r(A)=1 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：“”记 A 的列向量组为 1 , 2 ， n ，则因为 r(A)=1，所以 r( 1 , 2 ， n )=1于是 A 一定有非零列向量，记 为一个非零列向量，则每个 i 都是 的倍数设 i =b i ，i=1，2，n 记 =(b 1 ，b 2 ，b n ) T ，则 0，并且 A=( 1 , 2 ， n )=(b 1 ，b 2 ，b n
30、 )= T “”设 A= T ，则 r(A)r()=1由于 ， 都不是零向量，可设 的第 i 个分量 a i 0， 的第 j 个分量 b j 0则 A 的(i，j)位元素为 a i b j 0，因此 A0，从而 r(A)0得 r(A)=1)解析：21.设 1 , 2 ， s 和 1 2 ， t 都是 n 维向量组，证明 r( 1 , 2 ， s ， 1 2 ， t )r( 1 , 2 ， s )+r( 1 2 ， t ) 设 A 和 B 是两个行数相同的矩阵，r(AB)r(A)+r(B) 设 A 和 B 是两个列数相同的矩阵， 表示 A 在上，B在下构造的矩阵证明 （分数：2.00）_正确答案
31、：(正确答案：这是 3 个互相等价的命题：是的向量形式；是的转置形式因此对其中之一的证明就完成了这 3 个命题的证明 证明取 1 , 2 ， s ， 1 2 ， t 的一个最大无关组(I)，记(I)，是(I)中属于 1 , 2 ， s 中的那些向量所构成的部分组，(I)2 是(I)中其余向量所构成的部分组于是(I)，和(I)2 分别是属于 1 , 2 ， s 和 1 2 ， t 的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过 r( 1 , 2 ， s )和 r( 1 2 ， t )从而 r( 1 , 2 ， s ， 1 2 ， t )=(I)中向量个数=(I)1 中向量个数+(I) 2 中向量个数)r( 1 , 2 ， s )+r( 1 2 ， t )解析：2
