1、考研数学二-462 及答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.有四个函数：g(x)=x2D(x)，其中h(x)满足 存在； （分数：4.00）A.B.C.D.2. ，则行列式|A|的所有元素的代数余子式之和为( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.区域 D 是由 r=2 及弦 围成的弓形，则 等于 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.设 f(x)满足 f(x0-0)=f(x0+0)，则 ( )（分数：4.00）A.f(x)在 x=x0可导，且 f(x0)=aB.f(x)在 x=x0连续，但未必可导C.f(x)存在极限D.以上
2、结论都不正确5.设 ，(x)=x 4+x5， （分数：4.00）A.B.C.D.6.设 （分数：4.00）A.B.C.D.7.定积分 (a0)的值为 ( )（分数：4.00）A.B.C.D.8.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 AO，|B|0，|C|0，DO，且满足：ABCD=O，若 r（分数：4.00）A.+rB.+rC.+rD.=r则 r 的取值范围是 &nbs二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 （分数：4.00）填空项 1:_10.函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a-1 恰有两个不同的零点，则 a=_（分数：4.00）_11.微分方程 2(ydx+xd
3、y)+xdx-5ydy=0 满足 y|x=0=1 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_12.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_13.由 （分数：4.00）填空项 1:_14.设 （分数：4.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.设 f(x)在0，1可导且 （分数：9.00）_16.求一条曲线，使曲线上任意一点 P(x，y)的切线 PT 与 x 轴的交点 T 到 P 的距离，等于该切线在 Ox 轴上截距的绝对值|OT|（分数：11.00）_17.设 f(u，)有二阶连续偏导数，且满足 又求 （分数：9.00）_18.求函数 z=x2y(4-x-y)在由直线
4、 x+y=6，x 轴，y 轴所围成区域 D 上的最大值与最小值（分数：10.00）_19.设(1)求 （分数：10.00）_20.求摆线 （分数：11.00）_21.设 f(x)在0，1连续，且对任意的 x，y0，1都有|f(x)-f(y)|M|x-y|其中 M0 是常数试证：（分数：11.00）_22.已知线性方程组 （分数：11.00）_23.二次型 （分数：11.00）_考研数学二-462 答案解析(总分：149.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：8，分数：32.00)1.有四个函数：g(x)=x2D(x)，其中h(x)满足 存在； （分数：4.00）A.B. C.D.解析
5、：考点 函数在一点可导的充要条件答案解析 *故 f(x)在 x=0 不可导*1，x0 为无穷小)，故 g(x)在 x=0 可导，且 g(0)=0取*则*存在，但 h(x)在 x=0 不连续，故不可导*-(0) +(0)故 (x)在 x=0 不可导选(B)2. ，则行列式|A|的所有元素的代数余子式之和为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 求行列式所有元素代数余子式之和答案解析 因为 A*=(Aji)44与 A 可逆时，A *=|A|A-1只需求出 A*，即可求出|A|的所有代数余子式之和记*，其中*则 *而*，于是*所以*应选(A)3.区域 D 是由 r=2 及弦 围成的弓形
6、，则 等于 ( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：考点 极坐标下二重积分的计算答案解析 *的交点为*，于是*4.设 f(x)满足 f(x0-0)=f(x0+0)，则 ( )（分数：4.00）A.f(x)在 x=x0可导，且 f(x0)=aB.f(x)在 x=x0连续，但未必可导C.f(x)存在极限D.以上结论都不正确 解析：考点 单侧导数与导函数单侧极限5.设 ，(x)=x 4+x5， （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：考点 无穷小量阶的比较答案解析 分别将 (x)，(x)，(x)，(x)与 xk相比较对于 (x)，因为*即 (x)是 x 的 3 阶无穷小对于 (x)，因为*
7、，即 (x)是 x 的 4 阶无穷小对于 (x)，因为*，故*即 (x)是 x 的 2 阶无穷小对于 (x)，因为*，即 (x)是 x 的 6 阶无穷小，从而排序为 ，应选(D)6.设 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：考点 确定极限中的参数答案解析 由带皮亚诺型余项的泰勒公式，有*代入极限式中，有*故 a=-4c应选(A)7.定积分 (a0)的值为 ( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：考点 定积分计算答案解析 记*，则*即 g(x)是连续奇函数，故*8.设 A，B，C，D 是四个 4 阶矩阵，其中 AO，|B|0，|C|0，DO，且满足：ABCD=O，若 r（分数：4.0
8、0）A.+rB.+rC.+r D.=r则 r 的取值范围是 &nbs解析：考点 矩阵秩的运算答案解析 因为 AO，DO，故 r(A)1，r(D)1；又|B|0，|C|0，故 r(B)=r(C)=4因此r=r(A)+r(B)+r(C)+r(D)1+4+4+1=10(1)又因为(AB)(CD)=O，AB，CD 都是 4 阶矩阵，B，C 满秩，则 r(AB)=r(A)，r(CD)=r(D)从而r(AB)+r(CD)=r(A)+r(D)4于是 r=r(A)+r(B)+r(C)+r(D)4+4+4=12(2)由(1)(2)知 10r12，应选(C)二、填空题(总题数：6，分数：24.00)9.已知 （分
9、数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：ln2）解析：考点 求定积分中参数答案解析 令*，则 t=ln(1+u2)，*于是*，即*，*从而 ex=2，x=ln210.函数 f(x)=2x3-9x2+12x-a-1 恰有两个不同的零点，则 a=_（分数：4.00）_解析：考点 讨论函数零点，确定参数答案解析 f(x)=6x 2-18x+12*为了函数恰有两个零点，应有m=minf(x)=f(2)=16-36+24-a-1=3-a0M=maxf(x)11.微分方程 2(ydx+xdy)+xdx-5ydy=0 满足 y|x=0=1 的特解为_（分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：x 2+4
10、xy-5y2+5=0）解析：考点 解全微分方程答案解析 将方程写成：(2y+x)dx+(2x-5y)dy=0，因为*，因此是全微分方程，从而有*其解为：*代入 y|x=0=1，得*，所求特解为*，即 x2+4xy-5y2+5=012.曲线 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求平面图形的面积答案解析 x0 时，*x0 时，*即*而*与*的交点为*y=f(x)，y=g(x)，x=1 围成图形的面积为：*13.由 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：*）解析：考点 求隐函数在一点微分的值答案解析 在*两边取微分得：*代入(1，0，-1)，有*即*，亦即 dz=|
11、(1,0,-1)=*14.设 （分数：4.00）填空项 1:_ （正确答案：a-9）解析：考点 含参数矩阵由特征向量的情况确定参数答案解析 A 只有两个线性无关的特征向量，故 A 的特征值中必有重根(否则，若特征值均为单根，A 应有三个线性无关特征向量)，而且属于重根的特征向量个数必小于该特征值的重数*即 =3 是二重特征值，属于它的仅有一个线性无关特征向量，即方程组(3E-A)X=0 基础解系含一个线性无关的解向量，因此 n-r(3E-A)=3-r(3E-A)=1于是 r(3E-A)=2*由 r(3E-A)=2，知 a+90，即 a-9三、解答题(总题数：9，分数：93.00)15.设 f(
12、x)在0，1可导且 （分数：9.00）_正确答案：(令 F(x)=e-x2f(x)则 F(x)在0，1可导，且*再对 F(x)在，1|用罗尔定理，存在 (，1)*(0，1)使得*即 f()=2f()解析：考点 用中值定理做证明题16.求一条曲线，使曲线上任意一点 P(x，y)的切线 PT 与 x 轴的交点 T 到 P 的距离，等于该切线在 Ox 轴上截距的绝对值|OT|（分数：11.00）_正确答案：(过点 P 引垂线交 x 轴于点 Q，如右图所示，则*；*而*，依题意(|PT|=|OT|)得*化简得*令*，方程化为*分离变量得*积分得 x(1+u2)=Cu，即*，代入初值 y(0)=2，C=
13、2，所求曲线为 x2+y2=2y)解析：考点 列微分方程解应用题17.设 f(u，)有二阶连续偏导数，且满足 又求 （分数：9.00）_正确答案：(dg=(yf u+xf )dx+(xfu-y )dy于是 *故*从而*)解析：考点 复合函数的二阶偏导数18.求函数 z=x2y(4-x-y)在由直线 x+y=6，x 轴，y 轴所围成区域 D 上的最大值与最小值（分数：10.00）_正确答案：(z(x，y)在有界闭区域 D 上连续，必在 D 上达到最大值、最小值在区域 D 内部，先求x(x，y)的驻点*令*得区域 D 内部唯一驻点(2，1)，且 z(2，1)=4在边界 y=0(0x6)与边界 x=
14、0(0y6)上，z(x，y)=0在边界 x+y=6 上，可改写方程为 y=6-x(0x6)，代入 z 的解析式，得z=x2(6-x)(-2)=2(x3-6x2)(0x6)，记 h(x)=2(x3-6x2)(0x6)，则 h(x)=6(x2-4x)，h(4)=0，比较h(0)=0，h(4)=-64，h(6)=0 的大小，得 z(x，y)在边界 x+y=6(0x6)上的最大值为 0，最小值为-64，从而得到*)解析：考点 多元函数的最值问题19.设(1)求 （分数：10.00）_正确答案：(1)将 0型化为*型，有*(2)*即 f(x)在(-，+)上为偶函数，只需证 f(x)在0，+)上有界由(1
15、)知*，对*，存在 X0，当 xX 时，*即*表明 f(x)在X，+)上有界，而 f(x)在0，X上连续，从而有界，即存在 M00，使得 x0，X时，|f(x)|M 0取 M=max(1，M 0)，则对任意 x0，+)有|f(x)|M，于足对任意 x(-，+)有|f(x)|M)解析：考点 求极限，证明函数有界20.求摆线 （分数：11.00）_正确答案：(1)曲面面积微元*，故旋转面面积为*注意连续周期函数积分性，积分区间化为-，而被积函数是偶函数，于是*(2)旋转体体积为*)解析：考点 定积分应用于求旋转面的面积，旋转体的体积21.设 f(x)在0，1连续，且对任意的 x，y0，1都有|f(
16、x)-f(y)|M|x-y|其中 M0 是常数试证：（分数：11.00）_正确答案：(将*与*分别改写为：*于是不等式左端*)解析：考点 证明积分不等式22.已知线性方程组 （分数：11.00）_正确答案：(记方程组的系数矩阵为 B，增广矩阵为*，用初等行变换化为阶梯形*方程组有无穷多解表明 r(B)=r(*)=23，当 a=-1 时，进一步有*此时 1=(1，-2，-1) T， 2=(-1，2，1) T， 3=(-3，-1，0) T，但由于 1=- 2， 1， 2， 3线性相关与其线性无关(分属 3 个不同特征值)矛盾，故 a=-1 舍去，当 a=0 时，有*此时 1=(1，0，-1) T，
17、 2=(0，3，2) T， 3=(-2，-1，1) T，线性无关令*，而*(由(P|E)*(E|P -1)可得)于是从*知 A=PP -1，从而*)解析：考点 方程组的解与矩阵相似对角化的逆问题的综合题23.二次型 （分数：11.00）_正确答案：(1)二次型矩阵为 A，*由 r(A)=2，得 t-5=0，即 t=5为了求将二次型化为标准形的可逆变换的矩阵 C，用以下方法：*即*令 X=CY，则f=XTAX=YT(CTAC)Y=YTY*为二次型的标准形(2)二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0)解析：考点 求将二次型化为标准形的可逆变换 X=CY 中的矩阵 C，标准形及正、负惯性指数
