1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 12 及答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导D.可导3.关于函数 y=f(x)在点 x 0 的以下结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 f“(x 0 )=0，则 f(x 0 )必是一极值B.若 f“(x 0 )=0，则点(x 0 ，f(x 0 )必是曲线 y=f(x)的拐点C.若极限 存在(n 为正整数)，则 f(x)
2、在 x 0 点可导，且有 D.若 f(x)在 x 0 处可微，则 f(x)在 x 0 的某邻域内有界4.设 F(x)= （分数：2.00）A.连续点B.第一类间断点C.第二类间断点D.连续点或间断点不能由此确定5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导数不连续D.可导，且导数连续6.设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（分数：2.00）A.f(0)=0B.f“(0)=0C.f(0)+f“(0)=0D.f(0)一 f“(0)=07.设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一
3、，)时，恒有|f(x)|x 2 ，则 x=0 必是 f(x)的( )（分数：2.00）A.间断点B.连续，但不可导的点C.可导的点，且 f“(0)=0D.可导的点，且 f“(0)08.设 f(x)=f(一 x)，且在(0，+)内二阶可导，又 f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(一，0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（分数：2.00）A.单调增，凸B.单调减，凸C.单调增，凹D.单调减，凹9.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f“(0)0，F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与 x k 是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（分数：2.
4、00）A.1B.2C.3D.410.设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，设 （分数：2.00）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导函数不连续D.可导，导函数连续二、填空题(总题数：7，分数：14.00)11.若 f(t)= （分数：2.00）填空项 1:_12. （分数：2.00）填空项 1:_13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.设 y=ln(1+3 -x )，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_16.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cos xy=0 确定，则 （分数：2.00）填空项
5、1:_17.设 其中 f 可导，且 f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：28，分数：56.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_19.若函数 f(x)在(一，+)内满足关系式 f“(x)=f(x)，且 f(0)=1，证明：f(x)=e x （分数：2.00）_20.设 f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f“(x)的零点（分数：2.00）_21.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，求证： (1)存在 (a，b)，使f()+f“()=0； (2)存在 (a
6、，b)，使 f()+f“()=0（分数：2.00）_22.设函数 f(x)在一 2，2上二阶可导，且|f(x)|1，又 f 2 (0)+f“(0) 2 =4试证：在(一 2，2)内至少存在一点 ，使得 f()+f“()=0（分数：2.00）_23.设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f“(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使|f“()|4（分数：2.00）_24.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导且 f(a)f(b)试证：存在 ，(a，b)，使得（分数：2.00）_25.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续(a，b0)，在(a，b)内可导试
7、证：在(a，b)内至少有一点 ，使等式 （分数：2.00）_26.设 f(x)在0， 上具有连续的二阶导数，且 f“(0)=0证明：存在 ，(0， )，使得 f“()= （分数：2.00）_27.试求方程 e x =ax 2 (a0 为常数)的根的个数（分数：2.00）_28.设 f(x)为a，b上的函数且满足 则称 f(x)为a，b上的凹函数，证明： (1)若 f(x)在a，b上二阶可微，且 f“(x)0，则 f(x)为a，b上的凹函数 (2)若 f(x)为a，b上的有界凹函数，则下列结论成立： (i) 0，1，f(x 1 +(1 一 )x 2 )f(x 1 )+(1)f(x 2 )，x 1
8、 ，x 2 a，b； （分数：2.00）_29.设 f(x)在 x 0 处 n 阶可导，且 f (n) (x 0 )=0(m=1，2，n 一 1)，f (n) (x 0 )0(n2)，证明： (1)当 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0 时 f(x)在 x 0 处取得极大值； (2)当 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0 时f(x)在 x 0 处取得极小值（分数：2.00）_30.设 f(x)在 x 0 处 n 阶可导，且 f (n) (x 0 )=0(m=1，2，n 一 1)，f (n) (x 0 )0(n2)，证明：当 n 为奇数时，(x 0 ，f(x 0 )为拐点（分数：2.
9、00）_31.求函数 f(x)=nx(1 一 x) n 在0，1上的最大值 M(n)及 （分数：2.00）_32.求曲线 y=e x 上的最大曲率及其曲率圆方程（分数：2.00）_33.设一质点在单位时间内由点 A 从静止开始作直线运动至点 B 停止，两点 A，B 间距离为 1，证明：该质点在(0，1)内总有一时刻的加速度的绝对值不小于 4（分数：2.00）_34.设 f(x)在a，b上连续，ax 1 x 2 x n b，试证：在a，b内存在 ，使得 （分数：2.00）_35.设 f(x)在闭区间一 1，1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f“(0)=0，证明：在一 1，1
10、内存在 ，使得 f“()=3（分数：2.00）_36.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证：必存在(0，3)，使 f“()=0（分数：2.00）_37.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明：(1)在(a，b)内，g(x)0；(2)在(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_38.在区间0，a上|f“(x)|M，且 f(x)在(0，a)内取得极大值证明：|f“(0)|+|f“(a)|Ma（分数：2.00）_39.设 f(x)在闭区间1，2上可导，证明
11、： （分数：2.00）_40.f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f“(x)0证明： (a，b)，使得 （分数：2.00）_41.设 （分数：2.00）_42.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=g(a)=0，证明： （分数：2.00）_43.设 f(x)在a,b上二阶可导，且 f“(a)=f“(b)=0，证明： (a，b)，使 （分数：2.00）_44.设 f(x)=arcsin x， 为 f(x)在闭区间0，t上拉格朗日中值定理的中值点，0t1，求极限（分数：2.00）_45.设 f(x)在a，b上有定义，在(a，b)内可导，ba4求证： （分数：
12、2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 12 答案解析(总分：90.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：10，分数：20.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.极限不存在B.极限存在，但不连续C.连续，但不可导 D.可导解析：解析：3.关于函数 y=f(x)在点 x 0 的以下结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.若 f“(x 0 )=0，则 f(x 0 )必是一极值B.若 f“(x 0 )=0，则点(x 0 ，f(x 0 )必是曲线 y=f(x)的拐点C.若极限 存在
13、(n 为正整数)，则 f(x)在 x 0 点可导，且有 D.若 f(x)在 x 0 处可微，则 f(x)在 x 0 的某邻域内有界 解析：解析：(A)不一定，反例：f(x)=x 3 ，f“(0)=0，但 x=0 非极值点；(B)不一定，需加条件：f“(x)在 x 0 点两侧异号；(C)项所给的只是必要条件，即仅在子列上收敛，这是不够的4.设 F(x)= （分数：2.00）A.连续点B.第一类间断点 C.第二类间断点D.连续点或间断点不能由此确定解析：解析：5.设函数 f(x)= （分数：2.00）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导数不连续 D.可导，且导数连续解析：解析：6.设 f(x
14、)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)，若使 F(x)在 x=0 处可导，则必有( )（分数：2.00）A.f(0)=0 B.f“(0)=0C.f(0)+f“(0)=0D.f(0)一 f“(0)=0解析：解析：由于7.设函数 f(x)在区间(一 ，)内有定义，若当 x(一 ，)时，恒有|f(x)|x 2 ，则 x=0 必是 f(x)的( )（分数：2.00）A.间断点B.连续，但不可导的点C.可导的点，且 f“(0)=0 D.可导的点，且 f“(0)0解析：解析：f(0)=0，8.设 f(x)=f(一 x)，且在(0，+)内二阶可导，又 f“(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(一，
15、0)内的单调性和图形的凹凸性是 ( )（分数：2.00）A.单调增，凸B.单调减，凸 C.单调增，凹D.单调减，凹解析：解析：当 x0 时，f“(x)0f(x)在(0，+)内单调增；f“(x)0f(x)在(0，+)内为凸曲线由 f(x)=f(一 x)f(x)关于 y 轴对称f(x)在(一，0)内单调减，为凸曲线，选(B)9.设 f(x)有连续的导数，f(0)=0，f“(0)0，F(x)= 0 x (x 2 一 t 2 )f(t)dt，且当 x0 时，F(x)与 x k 是同阶无穷小，则 k 等于 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：用洛必达法则, =f“(0)0，所以
16、 k=3，选(C)其中(1)F(x)=(x 2 0 x f(t)dt一 0 x t 2 f(t)dt)=2x 0 x f(t)dt；(2)洛必达法则的使用逻辑是“右推左”，即右边存在(或为无穷大)，则左边存在(或为无穷大)，本题逻辑上好像是在“左推右“，事实上不是，因为 10.设 g(x)在 x=0 处二阶可导，且 g(0)=g(0)=0，设 （分数：2.00）A.不连续B.连续，但不可导C.可导，但导函数不连续D.可导，导函数连续 解析：解析：二、填空题(总题数：7，分数：14.00)11.若 f(t)= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(2t+1)e 2t）解析：解
17、析：12. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：因为13.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：15.设 y=ln(1+3 -x )，则 dy= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：复合函数求导 y=ln(1+3 -x )= 16.设函数 y=y(x)由方程 e x+y +cos xy=0 确定，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：方程两边同时对 x 求导，可得1
18、7.设 其中 f 可导，且 f“(0)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：3）解析：解析：三、解答题(总题数：28，分数：56.00)18.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：19.若函数 f(x)在(一，+)内满足关系式 f“(x)=f(x)，且 f(0)=1，证明：f(x)=e x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：作函数 ，x(一，+)，于是有 “(x)= 已知 f“(x)=f(x)，从而“(x)=0，于是 当 x=0 时，易知 )解析：20.设 f(x)可导，证明：f(x)的两个零点之间一定有 f(x)+f“(x)
19、的零点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：构造辅助函数 F(x)=f(x)e x ，由于 f(x)可导，故 F(x)可导，设 x 1 和 x 2 为f(x)的两个零点，且 x 1 x 2 ，则 F(x)在x 1 ，x 2 上满足罗尔定理条件，由罗尔定理，至少存在一点 (x 1 ，x 2 )，使得 F()=0，即 f“()e +f()e =e f“()+f()=0由于 e 0，因此必有 f“()+f()=0)解析：21.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，求证： (1)存在 (a，b)，使f()+f“()=0； (2)存在 (a，b)，使 f()
20、+f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 (x)=xf(x)，则 (x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 (a)=(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 “()=0，即 f()+f()=0 (2)设 F(x)= 则 F(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 F(a)=F(b)=0，由罗尔定理得，存在 (a，b)，使 )解析：22.设函数 f(x)在一 2，2上二阶可导，且|f(x)|1，又 f 2 (0)+f“(0) 2 =4试证：在(一 2，2)内至少存在一点 ，使得 f()+f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f(0)一 f(
21、一 2)=2f“( 1 ),一 2 1 0， f(2)-f(0)=2f“( 2 )，0 2 2 令 (x)=f 2 (x)+f“(x) 2 ，则有 ( 1 )2，( 2 )2 因为 (x)在 1 ， 2 上连续，且 (0)=4，设 (x)在 1 ， 2 上的最大值在 1 ， 2 )解析：23.设函数 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(0)=f“(0)=f“(1)=0，f(1)=1求证：存在 (0，1)，使|f“()|4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：把函数 f(x)在 x=0 展开成带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f“(0)x+ ( 1 )x 2 (0 1
22、x) 在公式中取 利用题设可得 把函数 f(x)在x=1 展开成泰勒公式，得 )解析：24.设函数 f(x)在a，b上连续，在(a，b)上可导且 f(a)f(b)试证：存在 ，(a，b)，使得（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由拉格朗日中值定理知 f(b)一 f(a)=f“()(b 一 a)，又由柯西中值定理知 )解析：25.设函数 f(x)在闭区间a，b上连续(a，b0)，在(a，b)内可导试证：在(a，b)内至少有一点 ，使等式 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 它们在区间a，b上连续，在(a，b)内可导，且 G“(x)= 满足柯西中值定理的三个条件，于是在(a，b)内至
23、少有一点 ，使得 )解析：26.设 f(x)在0， 上具有连续的二阶导数，且 f“(0)=0证明：存在 ，(0， )，使得 f“()= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因 f(x)和 g(x)=cos 2x 在 内可导，且 g(x)=(cos 2x)=一 2sin 2x0，故由柯西中值定理知，存在 使得 )解析：27.试求方程 e x =ax 2 (a0 为常数)的根的个数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： (1)f“(x)= x=0 不是原方程的根 (2)考查区间(一，0)f(x)在(一，0)单调增，又 则有对 0，f(x)在(一，0)有唯一零点 (3)考查区间(0，+)f
24、(x)在(0，2单调减，在2，+)单调增，又 于是，当 f(2)0 即 时，f(x)在(0，+)内无零点；，f(x)在(0，+)有唯一零点(即 x=2)； )解析：28.设 f(x)为a，b上的函数且满足 则称 f(x)为a，b上的凹函数，证明： (1)若 f(x)在a，b上二阶可微，且 f“(x)0，则 f(x)为a，b上的凹函数 (2)若 f(x)为a，b上的有界凹函数，则下列结论成立： (i) 0，1，f(x 1 +(1 一 )x 2 )f(x 1 )+(1)f(x 2 )，x 1 ，x 2 a，b； （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)对 x，x 0 a，b，有 f(x)=
25、f(x 0 )+f“(x 0 )(x 一 x 0 )+ (x-x 0 ) 2 f(x 0 )+f“(x 0 )(xx 0 )，在上式中分别取 x=x 1 ，x=x 2 ， 得到 上述两式相加即得证 (2)先证(i)由(1)有 f(x)f(x 0 )+f“(x 0 )(xx 0 )，分别取 x=x 1 ，x=x 2 ，x 0 =x 1 +(1 一 )x 2 ，得到 f(x 1 )f(x 0 )+(1 一 )f“(x 0 )(x 1 x 2 )， f(x 2 )f(x 0 )+f(x 0 )(x 2 一 x 1 ) +(1 一 )得 f(x 1 )+(1-)f(x 2 )f(x 0 )=f(x 1
26、 +(1 一 )x 2 )， 得证 再证(iv) a，b，设 G 为|f(x)|的上界，取绝对值充分小的 ，mn，使得 x 1 =x 2 =x m =x+n，x m+1 =x n =x由(ii)知 )解析：29.设 f(x)在 x 0 处 n 阶可导，且 f (n) (x 0 )=0(m=1，2，n 一 1)，f (n) (x 0 )0(n2)，证明： (1)当 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0 时 f(x)在 x 0 处取得极大值； (2)当 n 为偶数且 f (n) (x 0 )0 时f(x)在 x 0 处取得极小值（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n 为偶数，令 n=2k
27、，构造极限 )解析：30.设 f(x)在 x 0 处 n 阶可导，且 f (n) (x 0 )=0(m=1，2，n 一 1)，f (n) (x 0 )0(n2)，证明：当 n 为奇数时，(x 0 ，f(x 0 )为拐点（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：n 为奇数，令 n=2k+1，构造极限 当 f (2k+1) (x 0 )0 时， )解析：31.求函数 f(x)=nx(1 一 x) n 在0，1上的最大值 M(n)及 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：容易求得 f“(x)=n1 一(n+1)x(1 一 x) n-1 ， f“(x)=n 2 (n+1)x 一 2(1 一 x)
28、n-2 令 f“(x)=0，得驻点 x 0 = (0，1)，且有 f“(x 0 )= 为 f(x)的极大值点，且极大值f(x 0 )= 将它与边界点函数值 f(0)=0，f(1)=0，比较得 f(x)在0，1上的最大值 M(n)=f(x 0 )= 且有 )解析：32.求曲线 y=e x 上的最大曲率及其曲率圆方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 y=e x ，y“=e x 得曲线 y=e x 上任意点 P(x，y)处的曲率 )解析：33.设一质点在单位时间内由点 A 从静止开始作直线运动至点 B 停止，两点 A，B 间距离为 1，证明：该质点在(0，1)内总有一时刻的加速度的绝对值
29、不小于 4（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设质点运动的距离 y 关于时间 t 的函数为 y=y(t)，0t1，则有 y(0)=0,y(1)=1，y“(0)=0，y(1)=0将 在 t=0 与 t=1 处的一阶泰勒展开分别为 )解析：34.设 f(x)在a，b上连续，ax 1 x 2 x n b，试证：在a，b内存在 ，使得 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以 mf(x)M，其中 m，M 分别为 f(x)在a，b上的最小值和最大值 mf(x 1 )M， mf(x 2 )M， mf(x n )M， + mnf(x 1 )+f(x 2 )+f(x
30、n )nM，故 由介值定理可得 a，b，使得 )解析：35.设 f(x)在闭区间一 1，1上具有三阶连续导数，且 f(-1)=0，f(1)=1，f“(0)=0，证明：在一 1，1内存在 ，使得 f“()=3（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f(x)=f(x 0 )+f“(x 0 )(xx 0 )+ ， 取 x 0 =0，x=1 代入， f(1)=f(0)+ f“(0)(10) 2 + f“( 1 )(10) 3 ， 1 (0，1) 取 x 0 =0，x=一 1 代入， f(一 1)=f(0)+ f“(0)(-1 一 0) 2 + f“( 2 )(一 10) 3 ， 2 (一 1，0)
31、一:f(1)一 f(一 1)= f“( 1 )+f“( 2 )=10 因为 f“(x)存一 11上连续刚存存m 和 M使得 mf“( 1 )M，mf“( 2 )M 代入式，有 m3M，由介值定理，)解析：36.设函数 f(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3，f(3)=1试证：必存在(0，3)，使 f“()=0（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：函数 f(x)在0，3上连续，则 f(x)在0，2上连续，那么其在0，2上必有最大值 M 和最小值 m，于是 mf(0)M，mf(1)M，mf(2)M， 由介值定理知，至少存在一点0，2，使得 于是便有 f
32、()=1=f(3)，满足罗尔定理条件，于是存在 (，3) )解析：37.设 f(x)，g(x)在a，b上二阶可导，g“(x)0，f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，证明：(1)在(a，b)内，g(x)0；(2)在(a，b)内至少存在一点 ，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1)设 c(a，b)，g(c)=0 由 g(a)=g(c)=g(b)=0，g(x)在a，c，c，b上两次运用罗尔定理可得 g( 1 )=g( 2 )=0，其中 1 (a，c)， 2 (c，b)，对 g(x)在 1 ， 2 上运用罗尔定理，可得 g“( 3 )=0 因已知 g“(x)0，故 g(c)0 (2)F(x)=f(x)g(x)一f“(x)g(x)在a，b上运用罗尔定理， F(a)=0
