1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 7 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 I k = 0 k sin xdx(k=1，2，3)，则有 ( )（分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1C.I 2 I 3 I 1D.I 2 I 1 I 33. （分数：2.00）A.B.C.D.4. （分数：2.00）A.B.C.D.5. （分数：2.00）A.B.C.D.6. （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：9，分数
2、：18.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_8.已知 （分数：2.00）填空项 1:_9.x x (1+lnx)的全体原函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_10.(arcsin x) 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_11. （分数：2.00）填空项 1:_12.若f(x)dx=F(x)+C 且 x=at+b(a0)，则f(t)dt= 1（分数：2.00）填空项 1:_13. （分数：2.00）填空项 1:_14.设 f“(e x )=1+x，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_15. （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38
3、.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.求xsin 2 xdx（分数：2.00）_18.设 f(x)= （分数：2.00）_19.求不定积分 （分数：2.00）_20.求不定积分 （分数：2.00）_21.已知 f(x)的一个原函数为(1+sin x)ln x，求xf“(x)dx（分数：2.00）_22.计算 （分数：2.00）_23. （分数：2.00）_24.求e x sin 2 xdx（分数：2.00）_25. （分数：2.00）_26. （分数：2.00）_27. （分数：2.00）_28. （分数：2.00）_29.求(x 5 +3x 2
4、 2x+5)cos xdx（分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31. （分数：2.00）_32. （分数：2.00）_33.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_34.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 7 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 I k =
5、 0 k sin xdx(k=1，2，3)，则有 ( )（分数：2.00）A.I 1 I 2 I 3B.I 3 I 2 I 1C.I 2 I 3 I 1D.I 2 I 1 I 3 解析：解析：首先，由 sin xdx0 可得 I 2 I 1 其次， 其中 3. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：4. （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：设 x=t 6 ， dx=6t 5 dt 5. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：6. （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：9，分数：18.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正
6、确答案：正确答案： ）解析：解析：8.已知 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*其中 C 为任意常数）解析：解析：因为 是 f(x)的原函数，所以9.x x (1+lnx)的全体原函数为 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：x x +C，其中 C 为任意常数）解析：解析：因为(x x )=(e xlnx )=x x (1+ln x)，所以 x 2 (1+lnx)dx=x x +C，其中 C 为任意常数10.(arcsin x) 2 dx= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*其中 C 为任意常数）解析：解析：11. （分数：2
7、.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：12.若f(x)dx=F(x)+C 且 x=at+b(a0)，则f(t)dt= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：F(t)+C，其中 C 为任意常数）解析：解析：因 F“(x)=f(x)，故 F(t)=f(t)，于是f(t)dt=F(t)+C，其中 C 为任意常数13. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：14.设 f“(e x )=1+x，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xln x+C，其中 C 为任意常数）解析：解析：设 u=e
8、 x ，则 x=ln u，由 f“(e x )=1+x，得 f“(u)=1+ln u，f(u)=(1+ln u)du=ulnu+C，因此 f(x)=xln x+C，其中 C 为任意常数15. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：三、解答题(总题数：19，分数：38.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.求xsin 2 xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1 时，f(x)dx=2dx=2x+C 1 ； 当 0x1 时，
9、f(x)dx=xdx= +C 2 ； 当 x0 时，f(x)dx=sin xdx=-cos x+C 3 因为 f(x)在(一，1)内连续，所以f(x)出在(一，1)内存在，因而f(x)dx 在 x=0 处可导，连续，因此 又因 x=1 为 f(x)的第一类间断点，所以在包含 x=1 的区间内 f(x)的原函数不存在，故 )解析：19.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：20.求不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.已知 f(x)的一个原函数为(1+sin x)ln x，求xf“(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由于xf
10、(x)dx=xf(x)一f(x)dx，又由于(1+sin x)ln x 为 f(x)的一个原函数，因此 f(x)=(1+sin x)ln x=cos xln x+ 且f(x)dx=(1+sin x)ln x+C， )解析：22.计算 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：结合图 133，可得 )解析：24.求e x sin 2 xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：e x sin 2 xdx= 而e x cos 2xdx=cos2xde x =e x cos 2x+2sin 2x.e x dx =e x cos 2x+2
11、sin 2xde x =e x cos 2x+2e x sin 2x 一 4e x cos 2xdx， )解析：25. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 x 4 +1=(x 2 +1) 2 一 2x 2 = )解析：26. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：28. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：29.求(x 5 +3x 2 2x+5)cos xdx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：利用表格的形式： )解析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.
12、（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 ln x=t，则 x=e t ， )解析：33.设函数 f(x)在0，1上连续，(0，1)内可导，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由积分中值定理知，在 上存在一点 c 1 ，使 从而有 f(c 1 )=f(0)，故 f(x)在区间0，c 1 上满足罗尔定理条件，因此在(0，c 1 )内存在一点 c，使 f“(c)=0，c(0，c 1 ) )解析：34.设 f(x)，g(x)在a，b上连续，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记 G(x)=f(x) x b g(t)dtg(x) a x f(t)dt求得 G(x)的原函数为 F(x)= a x f(t)dt x b g(t)dt+C，其中 C 为任意常数，因为 f(x)，g(x)在a，b上连续，所以 F(x)：(1)在a，b上连续；(2)在(a，b)内可导；(3)F(a)=F(b)=C，即 F(x)在a，b上满足罗尔定理，所以，至少存在一个 (a，b)，使得 F()=0，即 f() b g(x)dx=g() a f(x)dx)解析：
