1、考研数学二（一元函数微分学）-试卷 8 及答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 （分数：2.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN3.设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )（分数：2.00）A. 0 x f(t)dtB. 0 x f(t 2 )dtC. 0 x f“(t 2 )dtD. 0 x f(t)f“(t)dt4.下列反常积分收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.5.以下 4 个命
2、题，正确的个数为 ( ) 设 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，则 - + f(x)dx 必收敛，且 - + (x)dx=0； 设 f(x)在(一，+)上连续， （分数：2.00）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.设 f(x)有一个原函数 （分数：2.00）填空项 1:_7. （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9. 0 tsintdt= 1（分数：2.00）填空项 1:_10. （分数：2.00）填空项 1:_11.设 f“(sin 2 x)=cos 2x+tan 2 x(0x1)，则 f(x)= 1（
3、分数：2.00）填空项 1:_12.设 y=y(x)，如果 （分数：2.00）填空项 1:_13.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_14. （分数：2.00）填空项 1:_15.设 n 是正整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：19，分数：38.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_17.如图 131，设曲线方程为 ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ，点 A 的坐标为(a，0)，a0，证明： （分数：2.00）_18.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内
4、大于零，并且满足 xf(x)= （分数：2.00）_19.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_20.设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角的平面截此柱体，得一楔形体(如图 132)，求此楔形体的体积 V。 （分数：2.00）_21.计算曲线 y
5、=ln(1-x 2 )上相应于 0x （分数：2.00）_22.求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数（分数：2.00）_23.求极限 （分数：2.00）_24.设 f(x)在(一，+)内连续，以 T 为周期，则 (1) a a+T f(x)dx= 0 T f(x)dx(a 为任意实数)； (2) 0 x f(t)dt 以 T 为周期 0 T f(x)dx=0； (3)f(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为 T （分数：2.00）_25.计算不定积分 （分数：2.00）_26.计算不定积分 （分数：2.00）_27.计算不定积分x|sinx|dx 如(x0)，其中x表
6、示不大于 x 的最大整数（分数：2.00）_28.求定积分的值 （分数：2.00）_29.设常数 0a1，求 （分数：2.00）_30. （分数：2.00）_31.设 a，b 均为常数，a一 2，a0，求 a，b 为何值时，使 （分数：2.00）_32.直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 =6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 （分数：2.00）_33.设 f(x)= 求曲线 y=f(x)与直线 （分数：2.00）_34.设 g(x)= （分数：2.00）_考研数学二（一元函数微分学）-试卷 8 答案解析(总分：68.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：5，分
7、数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 （分数：2.00）A.NPMB.MPNC.NMPD.PMN 解析：解析： 是奇函数，所以，M=03.设 f(x)是以 T 为周期的可微函数，则下列函数中以 T 为周期的函数是 ( )（分数：2.00）A. 0 x f(t)dtB. 0 x f(t 2 )dtC. 0 x f“(t 2 )dtD. 0 x f(t)f“(t)dt 解析：解析：当 g(x+T)=g(x)时，因为 0 x+T g(t)dt= 0 x g(t)dt+ x x+T g(t)dt= 0 x g(t)dt+ 0 T
8、 g(t)dt，若 0 x+T g(t)dt= 0 x g(t)dt，则 0 T g(t)dt=0反之，若 0 T g(t)dt=0，则 0 x+T g(t)dt= 0 x g(t)dt 因为 f(x)是以 T 为周期的函数，所以 4 个选项中的被积函数都是以 T 为周期的周期函数，但是仅 4.下列反常积分收敛的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：选项(A)中，5.以下 4 个命题，正确的个数为 ( ) 设 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，则 - + f(x)dx 必收敛，且 - + (x)dx=0； 设 f(x)在(一，+)上连续， （分数：2.00）A.1 个
9、B.2 个C.3 个D.4 个解析：解析： - + f(x)dx 收敛 存在常数 a，使 - a f(x)dx 和 a + f(x)dx 都收敛，此时 - + f(x)dx= - a f(x)dx+ a + f(x)dx设 f(x)=x，则 f(x)是(一，+)上连续的奇函数，且 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.设 f(x)有一个原函数 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 2 +2+6）解析：解析：7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：9
10、. 0 tsintdt= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：）解析：解析： 0 tsintdt=一 0 td(cos t)=一 tcos t| 0 + 0 costdt=.10. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2(e 2 +1)）解析：解析：11.设 f“(sin 2 x)=cos 2x+tan 2 x(0x1)，则 f(x)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 ln(1 一 x)一 x 2 +C，其中 C 为任意常数）解析：解析：12.设 y=y(x)，如果 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：
11、e -x）解析：解析：由已知得 由不定积分定义有13.设 f(x)连续，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：xf(x 2 )）解析：解析：14. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：sin x 2）解析：解析：令 xt=u，则原式= 15.设 n 是正整数，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析： 当 f(x)+f(a-x)便于积分时可简化定积分 0 a f(x)dx 的计算 三、解答题(总题数：19，分数：38.00)16.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：17.如图 131
12、，设曲线方程为 ，梯形 OABC 的面积为 D，曲边梯形 OABC 的面积为 D 1 ，点 A 的坐标为(a，0)，a0，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：18.设函数 f(x)在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足 xf(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由题设，当 x0 时， 据此并由 f(x)在点 x=0 处的连续性，得 )解析：19.设函数 y(x)(x0)二阶可导且 y(x)0，y(0)=1过曲线 y=y(x)上任意一点 P(x，y)作该曲线的切线及 x 轴的垂线，上述两直线与 x 轴所围成的三角形的面积记为 S 1 ，区
13、间0，x上以 y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为 S 2 ，并设 2S 1 一 S 2 恒为 1，求此曲线 y=y(x)的方程（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：曲线 y=y(x)上点 P(x，y)处的切线方程为 Y-y=y“(X-x) 它与 x 轴的交点为 由于 y(x)0，y(0)=1，从而 y(x)0，于是 又 S 2 = 0 x y(t)dt，由条件 2S 1 一 S 2 =1 知 两边对 x 求导并化简得 yy”=(y) 2 令 P=y，则上述方程可化为 )解析：20.设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为 2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成 角的平面截此柱体，得一
14、楔形体(如图 132)，求此楔形体的体积 V。 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：底面椭圆的方程为 以垂直于 y 轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，两直角边长分别为 )解析：21.计算曲线 y=ln(1-x 2 )上相应于 0x （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22.求心形线 r=a(1+cos)的全长，其中 a0 是常数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：r()=一 asin ， 由对称性得 )解析：23.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.设 f(x)在(一，+)内连续，以 T 为周期，则 (1) a a+T f(
15、x)dx= 0 T f(x)dx(a 为任意实数)； (2) 0 x f(t)dt 以 T 为周期 0 T f(x)dx=0； (3)f(x)dx(即 f(x)的全体原函数)周期为 T （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：(1) a a+T f(x)dx=f(a+T)一 f(a)=0 a a+T f(x)dx= a a+T f(x)dx| a=0 = 0 T f(x)dx. (2) 0 x f(t)dt 以 T 为周期 0 x+T f(t)dt- 0 x f(t)dt= x x+T f(t)dt )解析：25.计算不定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.计算不
16、定积分 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.计算不定积分x|sinx|dx 如(x0)，其中x表示不大于 x 的最大整数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设原函数为 F(x)，分别求出在区间0，1)，1，2)，2，3)，x，x)上满足 F(0)=0 的原函数 F(x)的增量如下： 在0，1)上，0sinxdx=C 1 ,F(1)一 F(0)=0； 从而，对于 x0，得到 xsinx|dx=F(x)+C =(F(1)一 F(0)+(F(2)一 F(1)+(F(3)一 F(2)+(F(x)一F(x)+C )解析：28.求定积分的值 （分数：2.00）_正确答案：(正确
17、答案： )解析：29.设常数 0a1，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：30. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.设 a，b 均为常数，a一 2，a0，求 a，b 为何值时，使 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 若 b 一 a0，上述极限不存在，所以要使原等式成立，必须 a=b，那么)解析：32.直线 y=x 将椭圆 x 2 +3y 2 =6y 分为两块，设小块面积为 A，大块面积为 B，求 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：直线与椭圆的交点为(0，0)， 则 令 y 一 1=sint，则 )解析：33.设 f(x)= 求曲线 y=f(x)与直线 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：先求 f(x)的表达式，注意到函数 e x 在 x+与 x一的极限，可知 所以所求旋转体体积 其中，令 x=tant 得， )解析：34.设 g(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：显然，g(0)=1，而当 x0 时由“1 ”型极限得 (2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积为 )解析：
