1、考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 12及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设数列x n 和y n 满足 （分数：2.00）A.x n 是无穷小B.C.x n 有界D.x n 单调递减3.以下三个命题， 若数列u n 收敛于 A，则其任意子数列 必定收敛于 A； 若单调数列x n 的某一子数列 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.34.设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是( )（分数：2.00）A.f(
2、x)B.ff(x)C.f(x)D.(x)5.设 f(x)=sin(cos x)，(x)=cos(sin x)，则在区间(0， （分数：2.00）A.f(x)是增函数，(x)是减函数B.f(x)，(x)都是减函数C.f(x)是减函数，(x)是增函数D.f(x)，(x)都是增函数6. （分数：2.00）A.B.C.D.7.设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)一 v(x)，并设 都不存在，下列论断正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 （分数：2.00）填空项 1:_9.设 f(x)是奇函数，且对一切 x有 f(x+2)=f
3、(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)= 1（分数：2.00）填空项 1:_10.对充分大的一切 x，给出以下 5个函数：100 x ，log 10 x 100 ，e 10x ， （分数：2.00）填空项 1:_11.= 1 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：22，分数：44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_13.设 f(x)= （分数：2.00）_14.设 f(x)= （分数：2.00）_15.(1)求函数 f(x)= （分数：2.00）_16.求极限： （分数：2.00）_17.求极限： （分
4、数：2.00）_18.求极限： （分数：2.00）_19.求极限： （分数：2.00）_20.求极限： （分数：2.00）_21.求极限： （分数：2.00）_22.设 a （分数：2.00）_23.求极限： （分数：2.00）_24.求极限： （分数：2.00）_25.求极限： （分数：2.00）_26.求极限： （分数：2.00）_27.求极限： （分数：2.00）_28.求极限： （分数：2.00）_29.求极限： （分数：2.00）_30.求极限： （分数：2.00）_31.求极限： （分数：2.00）_32.求极限： （分数：2.00）_33.求极限： （分数：2.00）_考研数学二
5、（函数、极限、连续）-试卷 12答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：7，分数：14.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设数列x n 和y n 满足 （分数：2.00）A.x n 是无穷小B. C.x n 有界D.x n 单调递减解析：解析：若 =0，故(B)正确 若取 x n = 3.以下三个命题， 若数列u n 收敛于 A，则其任意子数列 必定收敛于 A； 若单调数列x n 的某一子数列 （分数：2.00）A.0B.1C.2D.3 解析：解析：对于命题，由数列收敛的定义可知，若数列u n 收敛于
6、 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 nN 时，恒有u n 一 A 则当 n i N 时，恒有 一 A 因此数列 也收敛于 A，可知命题正确 对于命题，不妨设数列x n 为单调增加的，即 x 1 x 2 x n ， 其中某一给定子数列 收敛于 A，则对任意给定的 0，存在自然数 N，当 n i N 时，恒有 A 由于数列x n 为单调增加的数列，对于任意的 nN，必定存在 n i nn i+1 ，有 ， 从而 x n 一 A 可知数列x n 收敛于 A因此命题正确 对于命题，因 =A，由极限的定义可知，对于任意给定的 0，必定存在自然数 N 1 ，N 2 ： 当 2nN 1 时，恒有x
7、 2n 一 A； 当 2n+1N 2 时，恒有 x 2n+1 一 A 取 N=maxN 1 ，N 2 )，则当 nN 时，总有x n 一 A因此 4.设 f(x)是偶函数，(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是( )（分数：2.00）A.f(x)B.ff(x)C.f(x)D.(x) 解析：解析：令 g(x)=(x)，注意 (x)是奇函数，有 g(一 x)=(一 x)=一 (x)=一(x)=一 g(x)， 因此 (x)为奇函数，同理可得 f(x)，ff(x)，f(x)均为偶函数答案选(D)5.设 f(x)=sin(cos x)，(x)=cos(sin x)，则在区间(0， （
8、分数：2.00）A.f(x)是增函数，(x)是减函数B.f(x)，(x)都是减函数 C.f(x)是减函数，(x)是增函数D.f(x)，(x)都是增函数解析：解析：注意在(0， )内，sinx 是增函数，cosx 是减函数 任取 x 1 ，x 2 (0， 6. （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：f(一 x)=7.设 f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)一 v(x)，并设 都不存在，下列论断正确的是 ( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：令 u(x)= ，当 x0 时可排除(B)；令 u(x)=二、填空题(总题数：4，分数：8.00)8.设 （分数：2.
9、00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：5， ）解析：解析：9.设 f(x)是奇函数，且对一切 x有 f(x+2)=f(x)+f(2)，又 f(1)=a，a 为常数，n 为整数，则 f(n)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：na）解析：解析：令 x=一 1，则 f(1)=f(一 1)+f(2)，因 f(x)是奇函数，得到 f(2)=f(1)一 f(一 1)=2f(1)=2a再令 x=1，则 f(3)=f(1)+f(2)+f(1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na 当 n=1，2，3 时，已知或者已证假设 n=k时，有 f(k)=ka当 n=k+1时，f(k
10、+1)=f(k 一 1)+f(2)=(k一 1)a+2a一(k+1)a，故对一切正整数 n，有 f(n)=na，令 x=0，则 f(2)=f(0)+f(2)，即 f(0)=0=0a，又 f(x)是奇函数，故对一切负整数 n有 f(n=一 f(一 n)=一(一 na)=na所以对一切整数 n，均有 f(n)=na10.对充分大的一切 x，给出以下 5个函数：100 x ，log 10 x 100 ，e 10x ， （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：当 x充分大时，有重要关系：e x e ln x，其中 ，0，故本题填 11.= 1 （分数：2.00）填空项
11、1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：三、解答题(总题数：22，分数：44.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：13.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：由 fg(x)= )解析：14.设 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：本题同样考查分段函数的复合方法下面用解析法求解 首先，广义化为 fg(x)= ， 由 g(x)的表达式知， 当 g(x)0，即(2e x 一 10)(x0)或x 2 一 10)x0，而 2e x 一 10)x0)=x一 ln 2)x0=(x一 ln 2， x 2 一 10)x0
12、)=一 1x1)(x0)=(0x1 当 g(x)0，即(2e x 一 10)(x0)或x 2 一 10)x0，而 2e x 一 10)x0一x一 ln 2)x0)=(一 ln 2x0， x 2 一 10)x0)一(x1 或 x一 1x0=(x1 综上，得 fg(x)= )解析：15.(1)求函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：16.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，tan xx， )解析：18.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，s
13、in xx，e x e 一 x =e 一 x (e 2x 一 1)2x，故原极限=2)解析：19.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，ln(1+x 4 )x 4 ，1 一 cos x )解析：20.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是“1 ”型极限，可用公式 计算事实上 lnu=ln1+(u一 1)u 一1(u1)故原式= )解析：21.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：这是“一”型未定式极限，首先通分变成 型未定式，然后使用洛必达法求极限。 )解析：22.设 a （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 是“1 ”型极限，
14、可以使用洛必达法则求极限，也可以凑成第二个重要极限，还可以利用等价无穷小代换 )解析：23.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0 时，e tanx e sinx =e sinx (e tanx一 sinx 1)tan xsin x，zsin 2 xx 3 ，故 )解析：25.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：27.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x=0，原式=1； )解析：28.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= )解析：29.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= )解析：30.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：31.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：32.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：33.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原式= )解析：
