1、考研数学二（函数、极限、连续）-试卷 8 及答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小B.设当 xx 0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小C.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必是无穷大D.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)有界，则当 x
2、x 0 时，f(x)g(x)必不是无穷大3.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数为 ( )（分数：2.00）A.f(x)sin xB.f(x)+sinxC.f 2 (x)D.|f(x)|4.设当 xx 0 时，(x)，(x)都是无穷小(x)0)，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )（分数：2.00）A.B. 2 (x)+ 2 (x).cos C.ln1+(x). 2 (x)D.|(x)|+|(x)|5.设当 x0 时，e tanx 一 e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n 为 ( )（分数：
3、2.00）A.1B.2C.3D.46.当 x0 时，f(x)=xsin ax 与 g(x)=x 2 ln(1-bx)是等价无穷小，则 ( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_8. （分数：2.00）填空项 1:_9.若当 x0 时，有 （分数：2.00）填空项 1:_10.当 x0 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：23，分数：46.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_12.求极限： （分数：2.00）_13.求极限： （分数：2.00）_14.
4、求极限： （分数：2.00）_15. （分数：2.00）_16. （分数：2.00）_17.设 f(x)是三次多项式，且有 （分数：2.00）_18. （分数：2.00）_19. （分数：2.00）_20.确定常数 a 和 b 的值， （分数：2.00）_21.设函数 f(x)= （分数：2.00）_22. （分数：2.00）_23.求常数 A，B，C，D （分数：2.00）_24. （分数：2.00）_25.数列x n 通项 （分数：2.00）_26.设 a 1 =2， （分数：2.00）_27.设 a 1 =1，当 n1 时 （分数：2.00）_28.设 a 1 =0，当 n1 时，a n
5、+1 =2 一 cosa n ，证明：数列a n 收敛，并证明其极限值位于区间( （分数：2.00）_29.设 a 1 =1，当 n1 时， （分数：2.00）_30.设 x 1 =1，x n+1 = （分数：2.00）_31.如果数列x n 收敛，y n 发散，那么x n y n 是否一定发散?如果x n 和y n 都发散，那么x n y n 的敛散性又将如何?（分数：2.00）_32.证明：若单调数列x n 有一收敛的子数列，则数列x n 必收敛（分数：2.00）_33.分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?（分数：2.00）_考研数学二（函数、极限、连
6、续）-试卷 8 答案解析(总分：66.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设当 xx 0 时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是 ( )（分数：2.00）A.设当 xx 0 时，g(x)是无穷小，则 f(x)g(x)必是无穷小B.设当 xx 0 时，g(x)不是无穷小，则 f(x)g(x)必不是无穷小C.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)无界，则当 xx 0 时，f(x)g(x)必是无穷大D.设在 x=x 0 的某邻域 g(x)有界，则当 xx 0 时，f(x)g
7、(x)必不是无穷大 解析：解析：设 f(x)= ，当 x0 时为无界变量，不是无穷大令 g(x)=x，当 x0 时为无穷小，可排除(A)设 x0 时，令 f(x)=x 2 ，g(x)= 3.设函数 f(x)在点 x 0 的某邻域内有定义，且 f(x)在点 x 0 处间断，则在点 x 0 处必定间断的函数为 ( )（分数：2.00）A.f(x)sin xB.f(x)+sinx C.f 2 (x)D.|f(x)|解析：解析：若 f(x)+sin x 在点 x 0 处连续，则 f(x)=f(x)+sin x一 sin x 在点 x 0 处也连续，与已知矛盾4.设当 xx 0 时，(x)，(x)都是无
8、穷小(x)0)，则当 xx 0 时，下列表达式中不一定为无穷小的是 ( )（分数：2.00）A. B. 2 (x)+ 2 (x).cos C.ln1+(x). 2 (x)D.|(x)|+|(x)|解析：解析：有限个无穷小的和、差、积、绝对值还是无穷小量5.设当 x0 时，e tanx 一 e x 与 x n 是同阶无穷小，则 n 为 ( )（分数：2.00）A.1B.2C.3 D.4解析：解析：6.当 x0 时，f(x)=xsin ax 与 g(x)=x 2 ln(1-bx)是等价无穷小，则 ( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：由泰勒公式 sinax=ax 一 +o(x 3
9、 )(x0)， 二、填空题(总题数：4，分数：8.00)7. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：e 6）解析：解析：8. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2）解析：解析：9.若当 x0 时，有 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：一 3）解析：解析：当 x0 时，10.当 x0 时，若有 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：三、解答题(总题数：23，分数：46.00)11.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：12.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正
10、确答案： )解析：13.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：14.求极限： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：原极限等价于求 令 f(t)=arctan t，t 由拉格朗日中值定理可得)解析：15. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 又 x0 时，a x 一 1=e xlna 一 1xlna )解析：16. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：17.设 f(x)是三次多项式，且有 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 所以 f(2a)=f(4a)=0，从而得知 x 一 2a，x-4a 为 f(x)的因式,又因为f(x)为
11、三次多项式，可令 f(x)=b(x 一 2a)(x 一 4a)(xc)于是 )解析：18. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：19. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 显然由条件知 0，而 )解析：20.确定常数 a 和 b 的值， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：21.设函数 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：22. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：23.求常数 A，B，C，D （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：24. （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 故由归结原则，
12、 )解析：25.数列x n 通项 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：26.设 a 1 =2， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： ，所以a n 有下界下面再证明a n 单调递减 )解析：27.设 a 1 =1，当 n1 时 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： f(x)在0，+)上单增 由 a 1 =10，可得 故 a 1 a 2 0，又由于函数 f(x)在0，+)上单调增加，所以有 f(a 1 )f(a 2 )f(0)=0再根据递归定义式 a n+1 =f(a n )，可得 a 2 a 3 0类似地可以继续得到：a 1 a 2 a 3 a 4 a n a n+
13、1 0，于是可知数列a n 单调减少且有下界 0，所以数列a n 收敛设其极限为 A(A0)，即 =A，则必有 =A 在 a n+1 =f(a n )两边同取 n时的极限，根据函数 f(x)的连续性，有A=f(A)，即 A= )解析：28.设 a 1 =0，当 n1 时，a n+1 =2 一 cosa n ，证明：数列a n 收敛，并证明其极限值位于区间( （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 f(x)=2 一 cos x，则 a n+1 =f(a n )，有 f“(x)=sin x，所以 f(x)在0，3上单增由于 a 1 =0，a 2 =2 一 cos a 1 =1，即 a 1 a
14、 2 3，由于函数 f(x)在0，3上单调增加，所以f(a 1 )f(a 2 )f(3)，即 a 2 a 3 3，从而有 a 1 a 2 a 3 a 3 a n a n+1 3 于是可知数列a n 单调增加且有上界 3，所以数列a n 收敛设其极限为 A(A3)，即 =A，则必有 =A 在 a n+1 =f(a n )两边同取 n时的极限，有 A=f(A)，即 A=2 一 cos A 记 g(x)=x 一 2+cos x，则上述数列的极限值 A，就是方程 g(x)=0 的解 由于函数 g(x)在0，3上连续，在(0，3)内可导，且有 g(x)=1 一 sin x0，所以函数 g(x)在0，3上
15、单调增加由于 g(3)=1+cos 30， 所以方程 g(x)=0 在区间 )解析：29.设 a 1 =1，当 n1 时， （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 所以 f(x)在0，+)上单调减少，由于 a 1 =1， 可知 a 1 a 3 a 2 ，而 f(x)在0，+)上单调减少，所以有 f(a 1 )f(a 3 )f(a 2 )，即 a 2 a 4 a 3 ，所以 a 1 a 3 a 4 a 2 ，递推下去就可以得到 a 1 a 3 a 5 a 2n-1 a 2n a 6 a 4 a 2 ， 由此可以肯定，给定数列的奇数项子数列a 2n-1 单调减少且有下界 ，偶数项子数列a 2
16、n 单调增加且有上界 a 1 =1，所以他们都收敛,设他们的极限分别为正数 P 和 Q，即 在 a n+1 =f(a n )两边同取 n时的极限，根据函数 f(x)的连续性，有 )解析：30.设 x 1 =1，x n+1 = （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： 即 x n+1 x n ，由数学归纳法可知对一切 n，都有 x n+1 x n 又 x n+1 = 所以x n 单调增加且有上界，x n 必收敛 两边取极限，得 )解析：31.如果数列x n 收敛，y n 发散，那么x n y n 是否一定发散?如果x n 和y n 都发散，那么x n y n 的敛散性又将如何?（分数：2.00
17、）_正确答案：(正确答案：在题设两种情况下，x n y n 的收敛性都不能确定现在先就x n 收敛，y n 发散的情况来分析利用 (x n 0)这个恒等式，就可得到下述结论：若x n 收敛且不收敛于零，y n 发散，则x n y n 必发散这是因为若x n y n )收敛，且又x n 收敛而极限不等于零，则从上述恒等式及极限相除法则，可知y n 收敛，这与假设矛盾若 =0，且y n 发散，则x n y n 可能收敛，也可能发散，如： 则 x n y n =1，于是x n ，y n 收敛 则 x n y n =(一 1) n ，于是x n y n 发散 现在再就x n 和y n 都发散的情况来分
18、析x n y n )的收敛性有下面的结论：若x n 和y n 都发散，且两者至少有一个是无穷大，则x n y n 必发散这是因为如果x n y n 收敛，而x n 为无穷大，从等式 )解析：32.证明：若单调数列x n 有一收敛的子数列，则数列x n 必收敛（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：记数列y n 为单调数列x n 的收敛子数列，因为单调数列x n 的子数列y k 也一定是单调数列由于收敛的单调数列必有界，所以数列y k 一定有界即存在实数 A 和 B，对一切 k成立 Ay k B由于数列y k 是单调数列x n 的收敛子数列，所以存在 N，当 nN 时，有 x n y 1 ，则 Ax n B又根据单调有界数列必收敛的原理可知，数列x n 必收敛)解析：33.分段函数一定不是初等函数，若正确，试证之；若不正确，试说明它们之间的关系?（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：不正确初等函数是指由常数及基本初等函数经有限次四则运算及有限次复合步骤所得到的，并用一个式子表示的函数分段函数虽用几个表达式表示，但并不能说肯定不能用一个表达式表示，因此，分段函数可能是初等函数，也可能不是初等函数，如 (x)=|x|，通常写成分段函数的形式 但也可以写成一个表达式 所以函数 (x)=|x|是初等函数而 )解析：
